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作業(yè)平行四邊形的判定與性質(zhì)要點一、平行四邊形（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）符號表示：平行四邊形用符號“?”表示．平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”．（3）基本元素：鄰邊

AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC．對邊

AB和DC，AD和BC．鄰角

∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD．對角

∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC．對角線

AC和BD．【注意】平行四邊形的表示一般按一定的方向（順時針或逆時針）依次書寫各頂點．要點二、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的性質(zhì)：邊：平行四邊形的對邊相等．角：平行四邊形的對角相等．對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（2）平行四邊形的面積：平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．要點三、平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB=DC，AD=BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB=DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA=OC，OB=OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．要點四、平行四邊形的對稱性平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點．要點五、反證法（1）對于一個命題，當使用直接證法比較困難時，可以采用間接證法，反證法就是一個間接證法．反證法主要適合的證明類型有：命題的結(jié)論是否定型的；命題的結(jié)論是無限型的；命題的結(jié)論是“至多”或“至少”型的．（2）反證法的一般步驟是：①假設命題的結(jié)論不成立；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型題型一、添一個條件成為平行四邊形1．如圖，四邊形的對角線相交于點，下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B．，C．， D．，2．如圖，在四邊形中，，要使四邊形成為平行四邊形，則應增加的條件是（

）A． B． C． D．3．四邊形中，，對角線、交于點，增加下列條件不能使四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．4．在四邊形中，，下列選項不能說明四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．題型二、利用平行四邊形的性質(zhì)求角度5．在平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，E是邊上一點，，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．如圖，中，AE平分，，則等于．8．如圖，在中，，，垂足分別是E、F．若，則．9．如圖，在中，，，于，則．題型三、利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長度10．如圖，在中，對角線相交于點．若，，，則的長為（

）

A．10 B．8 C．6 D．411．如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，則的長為（

）A． B．5 C． D．12．如圖，在平行四邊形中，，，，分別平分，，那么的長為（）A．3 B．4 C．5 D．以上都不對13．如圖，在平行四邊形中，平分交于點，平分交于點，若，，則為．14．如圖，平行四邊形的周長是，對角線相交于點，交于點，則的周長為．

題型四、利用平行四邊形的性質(zhì)求面積15．如圖，在中，對角線，相交于點，，，，則的面積是（

）A． B． C． D．16．如圖，是平行四邊形內(nèi)任一點，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A．3 B． C．4 D．17．如圖，平行四邊形中，P是邊上一點，若面積是8，則平行四邊形面積是．18．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，過點O，交于點F，交于點E．若，點A到的距離為4，則圖中陰影部分的面積是．19．如圖，點O是平行四邊形的對稱中心，點E、F分別為邊上任意一點，且O、E、F三點在一條直線上，連接．若，則圖中陰影部分的面積是．題型五、平行四邊形的折疊問題20．如圖，將沿對角線折疊，使點落在點處．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．21．如圖，將一張紙片沿著折疊，點的對應點恰好落在上，連接，若，，則圖中陰影部分（）的面積是（

）A． B． C． D．22．如圖，在平行四邊形中，點分別為邊的中點，將平行四邊形沿著折疊，點分別落在處，若，則的度數(shù)為．23．如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點，將沿折疊至處，與交于點F，若，，則的大小為.題型六、平行四邊形的存在性問題24．如圖，在四邊形中，，，，點G是的中點．點M以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿向點D運動，同時點N以每秒1個單位長度的速度從點G出發(fā)，沿向點B運動．當點M停止運動時，點N也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當四邊形是平行四邊形時，t的值為（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.525．如圖，在四邊形中，，，，，．動點從點出發(fā)，沿射線以每秒的速度運動．動點同時從點出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點運動；當動點到達點時，動點也同時停止運動．設點的運動時間為秒，當以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，的值為（

）A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒26．如圖，在中，已知，點P在上以的速度從點A向點D運動，點Q在上以的速度從點C出發(fā)在上往返運動．兩點同時出發(fā)，當點Q第一次返回C點時點P也停止運動，設運動時間為．當時，四邊形是平行四邊形．27．如圖，在等邊三角形中，，射線，點E從點A出發(fā)，沿射線以的速度運動，同時點F從點B出發(fā)，沿射線以的速度運動．設它們運動的時間為，則當時，以點A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．28．如圖所示，在四邊形中，，，，點從向終點以的速度運動．點從點向終點以的速度運動．，兩點同時出發(fā)，有一點到達終點停止后另一點也停止運動，直線將四邊形截成兩個四邊形，分別為四邊形和四邊形，(1)當運動秒時，線段______cm，______cm（用含有的代數(shù)式表示）；(2)直線運動多少秒后將四邊形截得兩個四邊形中一個四邊形為平行四邊形？(3)直線運動多少秒后將四邊形截得兩個面積相等的四邊形？題型七、平行四邊形判定與性質(zhì)的綜合（解答題專練）29．如圖，在中，E，F(xiàn)分別是，的中點．求證：四邊形是平行四邊形．30．如圖，已知，分別延長至點，使得．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求的度數(shù)．31．如圖，在中，E為的中點，延長交的延長線于點F，連接、．(1)求證：；(2)若，，，求的長．32．如圖，在中，是它的一條對角線，過，兩點分別作，，，為垂足．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求四邊形的面積．33．已知：如圖，的對角線，相交于點，直線過點，分別交，于點，，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)將沿直線折疊，點落在點處，點落在點處，設交于點，分別交，于點，．（?。┣笞C：；（ⅱ）連接，求證：．題型八、反證法34．用反證法證明，若，則時，應假設（

）A． B． C． D．35．用反證法證明“在中，若，則”時，應先假設（

）A． B． C． D．36．用反證法證明：“已知：在中，，求證：．”則第一步應先假設．37．用反證法證明“菱形的對角線互相垂直”是真命題時，第一步應先假設．38．在中，平分，交邊于E，，，則的長為（

）A．12 B．7 C．2 D．2439．如圖，四邊形的對角線相交于點，下列條件能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，40．如圖，是的邊延長線上一點，連接，，，交于點．添加以下條件，不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．41．如圖，中，點E、F分別是上一點，連接，連接交于點P，連接分別交于點G、H，設的面積為，的面積為，四邊形的面積為，若，則陰影部分四邊形的面積為（）A．17 B．19 C．18.5 D．2342．如圖所示，在平行四邊形中，，，平分交于點E，則．43．如圖，在中，，，，為的中點，為邊上的點，連接，將沿折疊得到，連接，若以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，則此平行四邊形的面積為．44．在四邊形中，，，M是上一點，且，點E從A出發(fā)以1的速度向D運動，點F從點B出發(fā)以2的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，當t的值為時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

45．如圖，在平行四邊形的邊上分別截取，使得，點是線段上兩點，且，連接．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．46．如圖，在中，為對角線上的兩點（點在點的上方），．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，且，求兩點之間的距離．47．已知，如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點落在處，與相交于點．(1)求證：；(2)連接，判斷與的位置關系并且證明．48．【模型建立】如圖1，在中，點E為邊上一動點，連接．設，，的面積分別為，，．寫出，，之間的數(shù)量關系，并用兩種不同的方法證明；【模型應用】如圖2，在中，，，，點E為邊上的一動點，連接．過點B作．求的值；【模型拓展】如圖3，點P為內(nèi)一點（點P不在上），點E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點．設四邊形的面積為，四邊形的面積為（其中），寫出的面積，并說明理由．（用含，的代數(shù)式表示）49．如圖1，在中，對角線相交于點O，且，，點E為線段上一動點，連接，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，當點F落在的外面，交于點M，且能構(gòu)成四邊形時，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個值，若變化，請說明理由．50．點P是平行四邊形的對角線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線作垂線，垂足分別為點E、F．點O為的中點．(1)如圖1，當點P與點O重合時，線段和的關系是______；(2)當點P運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立請說明理由．(3)當點P在線段上運動，且時，請在備用圖中畫出圖形并直接寫出線段，，之間的關系，不需說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．C【分析】本題考查了平行四邊形的判定．根據(jù)平行四邊形的判定對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：A、，可以判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；B、∵，∴，∵，∴，∴，可以判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；C、，，不可以判定四邊形是平行四邊形，故符合要求；D、∵，∴，，∵，∴，∴，可以判定四邊形是平行四邊形，故不符合要求；故選：C．2．D【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A、錯誤．四邊形是等腰梯形時，也滿足條件．B、錯誤．∵，∴，∴條件重復無法判斷四邊形是平行四邊形．C、錯誤．四邊形是等腰梯形時，也滿足條件．D、正確．∵，∴，又，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形．故選：D．3．B【分析】本題考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)．根據(jù)平行四邊的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：A、由，，能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；B、由，可知，四邊形的一組對邊平行，另一組對邊相等，據(jù)此不能判定該四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；C、由，，能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；D、∵，∴，∵，，∴，∴，能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：B．4．C【分析】本題考查添加條件使四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的判定方法逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，，∴四邊形是平行四邊形；故該選項不符合題意；B、∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；故該選項不符合題意；C、，不能說明四邊形是平行四邊形；故該選項符合題意；D、∵，，∴四邊形是平行四邊形；故該選項不符合題意；故選C．5．A【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)由四邊形是平行四邊形，可得，又由，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，故選A．6．A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對等角，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由四邊形是平行四邊形，得，，則有，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而有．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．7．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義即可推出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，又平分，，，故答案為：．8．135##135度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為求出的度數(shù)，然后根據(jù)平行四邊形的對角相等求解即可．【詳解】解∶∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，故答案為∶135．9．##度【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用等腰三角形性質(zhì)得到，進而利用平行四邊形性質(zhì)得到，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解，即可解題．【詳解】解：，，，四邊形為平行四邊形，，，于，，，故答案為：．10．A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，再根據(jù)勾股定理即可求出，進而可得的長．解決本題的關鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故選：A．11．A【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理的運用，理解并掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾股勾股定理的計算是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義得到,，，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，,∴,∴,∵的平分線和的平分線交于上一點，∴,∴,∴，∴,∴,∴,∵,∴，故選：A．12．B【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求得是解題的關鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的定義可求得、，再由線段的和差可求得．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，，，平分，，，，同理，，故選：B．13．【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．由平分，平分，得，，由，得，，則，，可證明，進而求解，于是得到問題的答案．【詳解】解：平分交于點，平分交于點，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，；故答案為：14．【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段的中垂線的性質(zhì)以及三角形周長等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)解題的關鍵．由四邊形是平行四邊形，則，，，故有，又，則垂直平分，所以，再根據(jù)周長公式即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵平行四邊形的周長是，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴的周長，故答案為：．15．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理逆定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．由平行四邊形的性質(zhì)可得，，可得，從而是直角三角形，且，根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，即，∴是直角三角形，且，∴，故選C．16．D【分析】本題主要考查三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半，即可得到答案．【詳解】解：設兩個陰影部分三角形的高為，則為平行四邊形的高，．故選D．17．【分析】本題考查了平行四邊形的面積，三角形的面積，過點作于點，由面積是8，得到，即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于點，如圖：∵面積是8，∴，∴，∴平行四邊形面積是，故答案為：．18．15【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，利用三角形全等，把陰影面積轉(zhuǎn)化為的面積計算即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案為：15．19．【分析】連接，過A作于H，由含角直角三角形的性質(zhì)解得，再由勾股定理解得，從而求出，根據(jù)平行四邊形中心對稱的性質(zhì)得到，再證明，最后由全等三角形面積相等解答．【詳解】解：如圖所示，連接，過A作于H，∵，∴，，∴，∴，又∵點O是平行四邊形的對稱中心，∴O是的中點，∴，∵平行四邊形，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．20．A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，進而得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，由折疊可知，，∴，故選：A．21．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，再由折疊性質(zhì)可得，，即有，從而可證明是等邊三角形，過作于點，然后由勾股定理和面積公式即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴，，∴是等邊三角形，∴，過作于點，∴，∴，∴，∴，故選：．22．##57度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)，，得出，求出，得到，即可得到答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，∵點分別是的中點，，由折疊可得：，，，，，，故答案為：．23．##36度【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得：，，由三角形的外角性質(zhì)求出，與三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的大?。绢}考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出和是解決問題的關鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∵，，在中，，∴，∵，∴；故答案為：．24．B【分析】此題考查動點及平行四邊形的性質(zhì)，解題關鍵是由已知明確兩條線段之間的數(shù)量關系．由已知表示出,,根據(jù)平行四邊形的判定，由，所以當時為平行四邊形．根據(jù)此列出關于t的方程求解．【詳解】解：在四邊形中，，,,，時，四邊形是平行四邊形，，；故答案為：B．25．C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應用，分兩種情況：①當四邊形為平行四邊形時，②當四邊形為平行四邊形時，分別結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵，動點同時從點出發(fā)，在線段上以每秒的速度向終點運動，∴運動時間為（秒），，的速度為每秒，到達的時間為（秒），當在點以及點的左邊時，即時，，當在的右邊時，即時，，以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，①當四邊形為平行四邊形時，，，∴，解得：；②當四邊形為平行四邊形時，，，∴，解得，綜合上述，當或時，以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．故選：C．26．3或5【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，能求出符合題意的所有情況是解此題的關鍵，用了分類討論思想．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，分情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：設經(jīng)過t秒，四邊形是平行四邊形，∵P在上運動，根據(jù)題意，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，分為以下情況：①點Q的運動在上時，方程為，解得，②點Q的運動在上時，方程為，解得：；故答案為：3或5．27．或4【分析】考查了平行四邊形的判定以及一元一次方程的應用，熟練掌握平行四邊形的判定，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．分兩種情況，①當點在的左側(cè)時，②當點在的右側(cè)時，分別由當時，以、、、為頂點四邊形是平行四邊形，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，分兩種情況：①當點在的左側(cè)時，，，當時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；②當點在的右側(cè)時，，，當時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；綜上所述，當或4時，以、、、為頂點四邊形是平行四邊形．故答案為：或4．28．(1)，(2)或(3)【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定，利用分類討論是解題的關鍵．（1）用含t的代數(shù)式分別表示和的長；（2）分兩種情況，①若四邊形是平行四邊形，則,進而求出t的值；②若四邊形是平行四邊形，則，進而求出t的值；（3）根據(jù)梯形的面積公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：運動t秒時，，故答案為：t；．（2）由（1）可得：，，當四邊形為平行四邊形時，∵，∴，即，解得；當四邊形為平行四邊形時，∵，∴，即，解得；綜上所述：為12或9時，所截得兩個四邊形中，其中一個四邊形為平行四邊形，故答案為：12或9．（3）解：由（1）可得：，，，設邊上的高為，依題意得，∴解得：答：直線運動秒后將四邊形截得兩個面積相等的四邊形．29．見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，根據(jù)中點定義得出，，證明，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，分別是，的中點，，，，四邊形是平行四邊形．30．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是關鍵．（1）根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，再證明，由平行四邊形的判定即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊對等角得到，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點三點共線，共線，，∴，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．31．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是關鍵．（1）根據(jù)中點得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，運用角邊角即可求證；（2）根據(jù)三線合一得到，由勾股定理得到，再證明四邊形為平行四邊形，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，四邊形為平行四邊形，，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴．32．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)垂直可得，，證得，得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，，根據(jù)勾股定理求出，即可根據(jù)平行四邊形的面積公式得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：由（1）得：四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴在中，，∴．33．(1)見解析(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)證明，那么，再根據(jù)對邊平行即可求證；（2）（i）延長，交于點T，由平行得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)證明，即可證明；（ii）過點作，交于點，證明四邊形是平行四邊形即可．【詳解】（1）證明：∵在中，，∴，又∵，在和中，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：（i）由（1）得，延長，交于點T，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊知：，∴，，，∴，∴，∴；（ii）過點作，交于點，如圖所示：∴，∵折疊，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是把握折疊的不變性．34．C【分析】本題考查的是反證法，反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，反面成立．【詳解】解：反證法證明，若，則時，應假設，故選：C．35．D【分析】本題考查了反證法，熟練掌握反證法是解題的關鍵．根據(jù)反證法先假設結(jié)論的反面成立，進行判斷即可．【詳解】解：由題意得，應先假設；故選：D．36．【分析】本題考查了反證法的定義，理解定義是解題的關鍵．根據(jù)反證法定義：先假設命題結(jié)論不成立，然后經(jīng)過推理，得出矛盾的結(jié)果，最后斷言結(jié)論一定成立，這樣的證明方法叫做反證法；據(jù)此即可求解．【詳解】解：假設結(jié)論：不成立，假設；故答案：．37．菱形的對角線不互相垂直【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結(jié)論不成立，反面成立．本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．【詳解】解：反證法證明“菱形的對角線互相垂直”是真命題時，第一步應先假設菱形的對角線不互相垂直，故答案為：菱形的對角線不互相垂直．38．A【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，首先求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴．故選：A．39．C【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，故C符合題意，但是A、B、D條件均不能證明，故不符合題意，故選：C．40．D【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)；添加條件后可證明，得到，進而可得結(jié)論，A不符合題意；添加條件，可證明，進而得到，從而證明結(jié)論，B不符合題意；添加條件，可證，進而證明結(jié)論，C不符合題意；添加條件，無法得到四邊形為平行四邊形，D符合題意．【詳解】解：A、∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，不符合題意；B、∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，不符合題意；C、∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，不符合題意；D、添加條件，無法證明四邊形為平行四邊形，符合題意；故選：D．41．D【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得，進而求得答案．【詳解】四邊形是平行四邊形，，，∴設，，，則，，，∴，，即陰影部分四邊形的面積為23；故選：D．42．3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的概念，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得，進而可得，根據(jù)即可求解，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，，，故答案為：3．43．8或【分析】本題考查含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、平行四邊形性質(zhì)、折疊性質(zhì),直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，分兩種情況：①當點在下方時；②當點在上方時；在各自情況下，先由勾股定理求出長，再由平行四邊形及折疊性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合表示出要求的線段，根據(jù)題意分類討論是解決問題的關鍵．【詳解】解：在中，，，，∴，為的中點，，當點在下方時，如圖所示，過點作于點，四邊形是平行四邊形，，將沿折疊得到，，∴∵∴∴；當點在上方時，如圖所示：同上理，可得，，而，則重合，∴；綜上所述，平行四邊形的面積為8或，故答案為：8或．44．或4【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應用．分情況求解是解題的關鍵．由題意知，，，運動時間，當時，；當時，；由以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，且，可得，分情況求解即可．【詳解】解：由題意知，，，運動時間，當時，；當時，；∵以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，且，∴，∴當時，，解得，；當時，，解得，；綜上所述，當t的值為或4時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，故答案為：或4．45．(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而證得，即可得出結(jié)論；（）由（）可得，從而可得，利用三角形外角的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．46．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查四邊形綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理求線段長是解決問題的關鍵．（1）連接交于點，如圖所示，由平行四邊形的性質(zhì)及題中已知條件得到，從而結(jié)合對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可得證；（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四邊形性質(zhì)得到，最后由勾股定理即可得到兩點之間的距離．【詳解】（1）證明：連接交于點，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，，，即，又，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，兩點之間的距離為．47．(1)見解析；(2)，見解析．【分析