2023-2024學(xué)年安徽省合肥市長(zhǎng)豐縣九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知解析式為頂點(diǎn)式，可直接根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是．2.若反比例函數(shù)y＝﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，m），則m的值是（）A. B.2 C.﹣ D.﹣2【答案】C【解析】【分析】把點(diǎn)A（2，m）代入反比例函數(shù)中，即可得到m的值.【詳解】∵反比例函數(shù)y=﹣的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，m），∴.故選C.【點(diǎn)睛】考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意：反比例函數(shù)解析式中橫縱坐標(biāo)的乘積為定值k．3.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形．由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】解：由圖可得：，∴．故選：D．4.如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，則∠BOD的度數(shù)是（）A.50° B.60° C.80° D.100°【答案】D【解析】【分析】首先圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，∵點(diǎn)A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．5.如果，那么下列各式中不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)得出的關(guān)系，分別代入四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案，也可用特殊值法求出；此題主要考查了比例式的性質(zhì)，利用特殊值法進(jìn)行排除更為簡(jiǎn)單，也是數(shù)學(xué)中的重要思想．【詳解】解：設(shè)A、，該選項(xiàng)成立；B、，該選項(xiàng)成立；C、，該選項(xiàng)成立；D、，該選項(xiàng)不成立；故選：D．6.如圖，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為．B的坐標(biāo)為．則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用．如圖以圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為單位1，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，分別連接，分別作線段的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是所給圓弧所在圓的圓心，即可求解．【詳解】解：如圖以圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為單位1，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，分別連接，分別作線段的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是所給圓弧所在圓的圓心，由圖得點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故該圓弧所在圓圓心坐標(biāo)是．故選：B．7.如圖一巡邏艇在A處，發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東方向上距離A處12海里的B處，并以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西方向行駛，若巡邏艇以每小時(shí)25海里的速度追趕走私船，則追上走私船所需時(shí)間是（）A.0.5小時(shí) B.0.75小時(shí) C.0.8小時(shí) D.1.25小時(shí)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，再結(jié)合勾股定理，根據(jù)追及問題求法計(jì)算即可；此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵走私船在處的南偏東方向上，，走私船在處沿南偏西方向行駛，，設(shè)追上走私船所需時(shí)間是小時(shí)，則解得(不合題意，舍去)或故選：C．8.下面四個(gè)圖中，均與相似，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)交于一點(diǎn)；則與成位似圖形有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了位似變換，位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)是位似中心，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)位似圖形的定義可知，圖1，圖2，圖4中的與成位似圖形，圖3中不平行，即與不成位似圖形，故選；C．9.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)的確定以及第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，由拋物線的開口向下知，由與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上可以得到，由對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)為可以推出，然后根據(jù)象限的特點(diǎn)即可得出答案．【詳解】解：由圖象可知∴，∴點(diǎn)在第三象限，故選C．10.如圖，正方形和正方形中，點(diǎn)在上，，，于點(diǎn)，那么的長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的面積，連接，由正方形的性質(zhì)得到，，利用勾股定理可求得，，，再根據(jù)三角形的面積得到，代入已求計(jì)算即可求解，由正方形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵正方形和正方形，∴，，∵，，∴，，，∴，∵，∴，即，解得，故選：．二、填空題11.將拋物線向右平移2個(gè)單位后的解析式為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的平移方法“左加右減，上加下減”直接進(jìn)行解答即可；本題主要考查二次函數(shù)的圖像平移，熟練掌握二次函數(shù)圖像的平移是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由拋物線向右平移2個(gè)單位，得到新的拋物線的解析式是：故答案為：12.已知線段，，則a，b比例中項(xiàng)線段長(zhǎng)是______.【答案】4【解析】【分析】設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可知，，求得c的值，注意兩條線段的比例中項(xiàng)為正數(shù)．【詳解】解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c，∵c是長(zhǎng)度分別為2、8的兩條線段的比例中項(xiàng)，∴，即，∴（負(fù)數(shù)舍去），故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段．根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例中項(xiàng)的定義，如果，即，那么b叫做a與c的比例中項(xiàng)．13.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=8，CD=6，則BE=______．【答案】4-【解析】【詳解】解：如圖，連接OC，∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD=6，∵在中，故答案為：14.拋物線交x軸于，，交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．（1）當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為________；（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，a的值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，即可求出；（2）設(shè)，結(jié)合勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合計(jì)算即可；本題主要考查二次函數(shù)及圖象，勾股定理，根與系數(shù)關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，,，,,在第四象限，,對(duì)稱軸為,點(diǎn)坐標(biāo)為（2）設(shè)是直角三角形，，解得：在負(fù)半軸三、解答題15.已知拋物線的圖象頂點(diǎn)為，且過，試求a、b．c的值．【答案】，，【解析】【分析】由題意設(shè)出拋物線為，把代入即可求出；本題主要考查二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意設(shè)拋物線為；把代入，得：解得：∴∴，，16.如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓分別交AD，BC于F，G，延長(zhǎng)BA交圓于E．求證：=．【答案】證明見解析.【解析】【分析】連接AG，由AB=AG，推出∠ABG=∠AGB，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠EAD=∠ABG，∠DAG=∠AGB，推出∠EAF=∠FAG即可．【詳解】連接AG，∵A為圓心，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，∴∠DAG=∠EAD，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，弧、弦、圓心角的頭等等，解題的關(guān)鍵是求出∠EAF=∠FAG．四、解答題17.如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，與是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出與的位似比；（3）以點(diǎn)P為位似中心，在所給的網(wǎng)格圖的右邊再畫一個(gè)，使它與的位似比等于2．【答案】（1）見解析（2）與的位似比為．（3）見解析【解析】【分析】（1）本題考查位似作圖和位似中心的特點(diǎn)，根據(jù)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在直線的交點(diǎn)即為位似中心，畫出圖形，即可解題．（2）本題考查位似比，由（1）中圖形，得出，的長(zhǎng)度，利用，即可求得與的位似比．（3）本題考查位似作圖，根據(jù)點(diǎn)P為位似中心，與的位似比等于2，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，即找出頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就是所求作的三角形．【小問1詳解】解：如圖所示：點(diǎn)O就是位似中心．小問2詳解】解：由（1）知，，，，與的位似比為．【小問3詳解】解：如圖所示：就是所求作的三角形．18.如圖，在△ABC中，∠BAC=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面積．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AC，根據(jù)勾股定理可求得BE，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．，．在中，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理以及三角形的面積公式，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．五、解答題19.如圖，已知一次函數(shù)y=kx﹣3（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=（x＞0）交于C點(diǎn)，且AB=AC，則k的值為_____．【答案】k=【解析】【詳解】試題分析：如圖：作CD⊥x軸于D，則OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，∴，∵AB=AC，∴OB=CD，由直線y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，故答案為．考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．20.如圖，點(diǎn)A、B為地球儀的南、北極點(diǎn)，直線與放置地球儀的平面交于點(diǎn)D，所成的角度約為，半徑所在的直線與放置平面垂直，垂足為點(diǎn)E．，．求半徑的長(zhǎng)．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】半徑的長(zhǎng)約為．【解析】【分析】首先根據(jù)中的余弦值得出的長(zhǎng)度，然后利用得出答案．本題主要考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題型．找準(zhǔn)直角三角形，選擇合適的三角函數(shù)是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，∵，∴，∴答：半徑的長(zhǎng)約為．21.如圖，已知是的一條弦，是的直徑且于點(diǎn)．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由DE⊥AB，得∠OCA＝90°，OC＝3，OA＝5，通過勾股定理即可求出AC；由DE是⊙O的直徑，所以DE平分AB，得到AB＝2AC，即可得到AB；

（2）由OA＝OE，得∠EAO＝∠E，而直徑DE⊥AB，則，所以∠E＝∠BAD，由此得到∠EAO＝∠BAD．【詳解】（1）∵DE⊥AB∴∠OCA=90°，則OC2+AC2=OA2又∵OC＝3，OA＝5，∴AC=4，∵DE是⊙O的直徑，且DE⊥AB，∴AB＝2AC=8（2）證明∵EO=AO，∴∠E=∠EAO又∵DE是⊙O的直徑，且DE⊥AB，∴，∴∠E=∠BAD∴∠EAO＝∠BAD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了垂徑定理以及勾股定理．22.如圖，點(diǎn)E是正方形邊上一點(diǎn)，過E作的垂線，交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4．①當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為多少？【答案】（1）證明見解析；（2）①1；②當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為2．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意兩個(gè)都是直角，再得出，即可證出；（2）①根據(jù)相似性質(zhì)和E為BC中點(diǎn)，得出，即可求出；②設(shè)，，得到，再根據(jù)相似性質(zhì)，得到的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的證明及性質(zhì)，熟悉以上知識(shí)并采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵，∴∵，∴，∴，又∵∴．【小問2詳解】①∵∴；∵E為BC中點(diǎn)，∴；∴，∴∴②設(shè)，，∴；由（1）知：，∴；即：∴∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值1．即：當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為2．23.如圖，拋物線的頂點(diǎn)A在直線上，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為C．（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；（2）移動(dòng)點(diǎn)A，另一個(gè)交點(diǎn)B，也隨之移動(dòng)，試求出AB的長(zhǎng)；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得由A，B，O，P四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形；若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，拋物線為：或：或：或：.【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合，求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵：（1）先求出，設(shè)，拋物線，把代入求得，即可得出答案；（2）設(shè)，則拋物線為，根據(jù)，得出，，得出B的坐標(biāo)為，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求出，，進(jìn)而得出答案；（3）若為四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)P在直線的上面，此時(shí)四邊形不是平行四邊形；因此，只可能與是對(duì)邊，由（2）知：此時(shí)點(diǎn)P的左邊只能