專題08利用勾股定理求旗桿的高度一、單選題1．學(xué)習(xí)勾股定理后，老師布置的課后作業(yè)為“利用繩子（繩子足夠長）和卷尺，測量學(xué)校教學(xué)樓的高度”，某數(shù)學(xué)興趣小組的做法如下：①將繩子上端固定在教學(xué)樓頂部，繩子自由下垂，再垂直向外拉到離教學(xué)樓底部3m遠處，在繩子與地面的交點處將繩子打結(jié)；②將繩子繼續(xù)往外拉，使打結(jié)處離教學(xué)樓的距離為6m，此時測得繩結(jié)離地面的高度為1m，則學(xué)校教學(xué)樓的高度為（）A．11m B．13m C．14m D．15m【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為，可得，，，利用勾股定理可求出．【解析】如圖，設(shè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為，則，，，左圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方，右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方，∴，解得：．故選：C．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．2．如圖，某自動感應(yīng)門的正上方處裝著一個感應(yīng)器，離地米，當人體進入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開．一個身高1.6米的學(xué)生正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（米），感應(yīng)門才自動打開，則人頭頂離感應(yīng)器的距離（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【答案】B【分析】作DE⊥AB,算出AE,DE的長度,利用勾股定理算出AD即可．【解析】過點D作DE⊥AB交AB于E,則EB=CD=1.6,DE=BC=1.2．∴AE=AB－EB=2.5－1.6=0.9．∴AD=故選B．【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用,關(guān)鍵在于合理利用輔助線和勾股定理．3．如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開．一個身高1.6米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應(yīng)門自動打開，則人頭頂離感應(yīng)器的距離AD等于（）A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米【答案】B【分析】過點D作DE⊥AB于點E，構(gòu)造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長度即可．【解析】如圖，過點D作DE⊥AB于點E，

∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，

∴AE＝AB?BE＝2.5?1.6＝0.9（米）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝==1.5（米）

故選：B．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長度．4．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂上的繩子垂到地面還多1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)繩子剛好拉直并且下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高．【解析】設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m．

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴x2+52=（x+1）2，

解得x=12，

∴AB=12．

∴旗桿的高12m．

故選：C．【小結(jié)】此題考查了學(xué)生利用勾股定理解決實際問題的能力，熟悉勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高為13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛（）A．10米 B．11米 C．12米 D．13米【答案】D【分析】如圖所示，AB，CD為樹，且AB＝13，CD＝8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．【解析】如圖所示，AB，CD為樹，且AB＝13，CD＝8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，AC＝＝＝13．故選：D．【小結(jié)】本題考查勾股定理解直角三角形，關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，然后利用直角三角形的性質(zhì)解題．6．小華想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端上的繩子垂直到地面還多2m，當他把繩子的下端拉開6m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．8m B．10m C．12m D．14m【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理，設(shè)出AB=x,列出關(guān)系式解答即可.【解析】設(shè)旗桿的高AB為m，則繩子AC的長為m

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2

∴

解得x=8

∴AB=8

∴旗桿的高8m.故答案選A.【小結(jié)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.7．小紅同學(xué)經(jīng)常要測量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿的繩子剛好垂到地面上，當她把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)這時繩子的下端正好距地面1m，學(xué)校旗桿的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為x米，在Rt△ACH利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】如圖，已知AB=AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD=BH=1米，CH=5米，設(shè)AB=AC=x米．在Rt△ACH中，∵AC2=AH2+CH2，∴x2=52+（x-1）2，∴x=13，∴AB=13（米），故選B．【小結(jié)】此題考查了勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，能夠正確理解題意繼而構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，難度一般．8．小明想知道學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子剛好垂到地面，當她把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端距離地面1米，則旗桿的高是（）A．8米 B．10米 C．12米 D．13米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為x米，在Rt△ACH利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】如圖，已知AB=AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD=1米，CH=5米，設(shè)AB=AC=x米．在Rt△ACH中，∵AC2=AH2+CH2，∴x2=52+（x-1）2，∴x=13，∴AB=13（米），故選：D．【小結(jié)】此題考查了勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，能夠正確理解題意繼而構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，難度一般．9．小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高是()．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】C【解析】畫出示意圖如下所示：設(shè)旗桿的高AB為xm,則繩子AC的長為(x+1)m，在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，∴x2+52=(x+1)2，解得：x=12，∴AB=12m，即旗桿的高是12m．故選C．10．小明想知道學(xué)校旗桿多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m，當他把繩子的下端拉開10m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．16m B．20m C．24m D．28m【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高．【解析】如圖：設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，

在Rt△ABC中，BC=10米，

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，

∴x2+102=（x+2）2，

解得：x=24，

∴AB=24．

∴旗桿的高24米，

故選：C．【小結(jié)】本題考查學(xué)生利用勾股定理解決實際問題的能力，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形利用勾股定理列出方程．11．如圖，架在消防車上的云梯AB長為10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部離地面的距離BC為2m，則云梯的頂端離地面的距離AE為(

)A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m【答案】B【分析】先根據(jù)勾股定理列式求出BD，則AD可求，AE也可求.【解析】由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，則AD=2BD=4，AE=AD+DE=4+2.故答案為B【小結(jié)】本題考查了勾股定理，靈活應(yīng)用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵.12．如圖，小明為了測量校園里旗桿的高度，將測角儀豎直放在距旗桿底部點的位置，在處測得旗桿頂端的仰角為60°若測角儀的高度是，則旗桿的高度約為（）（精確到.參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】過D作DE⊥AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BC=DE=5m根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AD=10，根據(jù)勾股定理可得的長，根據(jù)AB=AE+BE=AE+CD算出答案.【解析】過D作DE⊥AB于點E，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為60°，∴∠ADE=60°．∴∠DAE=30°．∵BC=DE=5m，AD=2DE=10∴，∴AB=AE+BE=AE+CD=8.65+1.6=10.25m≈10.3m．故答案為:D【小結(jié)】本題考查了仰角俯角問題，正確作出輔助線，構(gòu)造出30°直角三角形模型是解決問題的關(guān)鍵.13．小亮想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子從頂端垂到地面還多2米，當他把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，那么學(xué)校旗桿的高度為()A．8米 B．10米 C．15米 D．17米【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理列出關(guān)于旗桿高的方程，解方程即可．【解析】設(shè)旗桿高為xm，由勾股定理得：

x2+82=（x+2）2

解得x=15．

故旗桿的高為15m．故選：C【小結(jié)】考查了勾股定理在生活中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)知識比較簡單．14．小明想知道學(xué)校旗桿（垂直地面）的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子拉直后，發(fā)現(xiàn)繩子下端拉開5m，且下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】D【分析】將繩子下端拉開5m后,旗桿、繩子和地面組成了一個直角三角形,從已知條件中可得繩子長比旗桿高多1米,可設(shè)旗桿的高是xm,則繩長為(x+1)m,繩子的下端與旗杄底部距離5米,由題意可知,x+1是直角三角形的斜邊;根據(jù)勾股定理得到方程x+5=(x+1),求解即可【解析】設(shè)旗桿高xm,則繩子長(x+1)m.根據(jù)題意,由勾股定理可得:x+5=(x+1)，解得x=12則旗桿的高度為12m故選D【小結(jié)】此題考查勾股定理的運用，難度不大15．從電線桿離地面8米處拉一根長為10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有()m．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，得到一個直角三角形．根據(jù)勾股定理，即可解答．【解析】由題意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，所以BC＝＝6．故選：C．【小結(jié)】能夠把實際問題抽象出幾何圖形，再根據(jù)勾股定理進行計算．16．小亮想了解旗桿的高度，于是升旗的繩子拉倒旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿6m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面1m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為()A．17mB．17.5mC．18mD．18.5m【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．【解析】設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=6m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-1）2+62=x2，解得：x=18.5，即旗桿的高度為18.5米，故選D．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．17．如圖所示，AC是一根垂直于地面的木桿，B是木桿上的一點，且AB=2米，D是地面上一點，AD=3米.在B處有甲、乙兩只猴子，D處有一堆食物.甲猴由B往下爬到A處再從地面直奔D處，乙猴則向上爬到木桿頂C處騰空直撲到D處，如果兩猴所經(jīng)過的距離相等，則木桿的長為（）A．m B．2m C．3m D．5m【答案】B【解析】【分析】設(shè)BC=x，AC=（2+x），從題意可得到AB+AD=BC+CD可得CD=5-x，AB=2，AD=3，把數(shù)據(jù)代入DC

2=AC

2+AD

2，可得到一元二次方程．【解析】設(shè)BC的長為x米，

∵AB+AD=BC+CD，∴CD=5-x，∵AC

2+AD

2=DC

2,∴(2+x)2+32=(5-x)

2，

∴x=

，

AC=2+

=2m．

故選B．【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理及數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形找到等量關(guān)系然后列方程求解．18．劉徽是我國三國時期杰出的數(shù)學(xué)大師，他的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探究的一生，在數(shù)學(xué)理論上的貢獻與成就十分突出，被稱為“中國數(shù)學(xué)史上的牛頓”．劉徽精編了九個測量問題，都是利用測量的方法來計算高、深、廣、遠問題的，這本著作是（）．A．《周髀算經(jīng)》 B．《九章算術(shù)》 C．《孫子算經(jīng)》 D．《海島算經(jīng)》【答案】D【分析】運用《九章算術(shù)注》相關(guān)知識即可直接解答．【解析】由于《九章算術(shù)注》是我國學(xué)者編撰的最早的一部測量數(shù)學(xué)著作，該書第一卷的第一個問題是求海島上的山峰的高度，故本書的名稱是《海島算經(jīng)》．故答案為D．【小結(jié)】本題主要考查了數(shù)學(xué)常識，了解一定的數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)著作是解答本題的關(guān)鍵．19．2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學(xué)校國旗護衛(wèi)隊的其他同學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學(xué)校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解析】設(shè)旗桿高度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝x2+22，右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故選：B．【小結(jié)】此題考查勾股定理，題中有兩種拉繩子的方式，故可以構(gòu)建兩個直角三角形，形狀不同大小不同但都是直角三角形且繩子的長度是不變的，因此根據(jù)繩子建立勾股定理的等式，由此解答問題.20．為測量大樓的高度，從距離大樓底部30米處的，有一條陡坡公路，車輛從沿坡度，坡面長13米的斜坡到達后，觀測到大樓的頂端的仰角為30°，則大樓的高度為（）米．（精確到0.1米，，）A．26.0 B．29.2 C．31.1 D．32.2【答案】B【分析】過點D作DF⊥AB與點F，過點C作CE⊥DF與點E，通過解直角三角形可求出CE、DE、AF的長，再由AB=AF+BF即可求出結(jié)論．【解析】過點D作DF⊥AB與點F，過點C作CE⊥DF與點E，如圖所示．∵CD的坡度i=1：2.4，CD=13，∴設(shè)CE=x，則DE=2.4x，∴CD=x=13，∴x=5，∴CE=5米，DE=12米．在Rt△ADF中，∠ADF=30°，DF=DE+EF=42，∴AF=DF?tan∠ADF≈24.2米，∴AB=AF+BF=29.2米．故選：B．【小結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，正確作出輔助線，通過解直角三角形求出AF、CE的值是解題的關(guān)鍵．21．麗麗想知道學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端上的繩子垂直到地面還多2米，當她把繩子下端拉開離旗桿6米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A．4米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】B【分析】據(jù)題意設(shè)出旗桿的高，表示繩子的長，再利用勾股定理即可求得繩子的長，即旗桿的高【解析】設(shè)旗桿的高為xm，則繩子的長為（x+2）m．

根據(jù)題意得：

x2+62=（x+2）2，

解得x=8，

∴繩長為x+2=8+2=10．

故選：B．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用的知識，根據(jù)題意應(yīng)用勾股定理構(gòu)造方程是解答關(guān)鍵．二、填空題22．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設(shè)繩索的長為尺，根據(jù)題意，可列方程為__________．【答案】x2?（x?3）2＝82【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出相應(yīng)方程是解題的關(guān)鍵．23．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡．問繩索長是多少？”示意圖如圖所示，設(shè)繩索AC的長為尺，木柱AB的長用含的代數(shù)式表示為__尺，根據(jù)題意，可列方程為___．【答案】【分析】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理即可列出方程．【解析】設(shè)繩索長為x尺，則木柱長為尺，根據(jù)勾股定理可列方程：，故答案為：；．【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．24．《九章算術(shù)》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設(shè)繩索長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可直接進行列式求解．【解析】由題意易得：；故答案為．【小結(jié)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．25．如圖，學(xué)校需要測量旗桿的高度．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段．同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為，然后將這根繩子拉直，當繩子的另一端和地面接觸時，繩子與旗桿的底端距離恰好為，利用勾股定理求出旗桿的高度約為__________．【答案】旗桿的高度為12米【分析】設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出方程，解之即可求得旗桿的高度．【解析】設(shè)旗桿的高度AC為x米，則繩子AB的長度為（x+1）米，

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，

解得，x=12．

答：旗桿的高度為12米．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵26．如圖，已知一根長8m的竹竿在離地3m處斷裂，竹竿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有____m．【答案】4【解析】解如圖所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2設(shè)旗桿頂部距離底部AB=x米，則有32+x2=52，解得x=4故答案為：4．【小結(jié)】本題考查勾股定理．27．小華將升旗的繩子從旗桿的頂端拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿的處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面，則旗桿的高度為______．【答案】17【分析】過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)旗桿的高度為xm，在中利用勾股定理即可得出答案．【解析】如圖，過點C作CD⊥AB于點D，則設(shè)旗桿的高度為xm，則在中，解得即旗桿的高度為17m故答案為：17．【小結(jié)】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．28．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，書中的算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應(yīng)用.《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問戶高、廣、邪各幾何?譯文是：今有門不知其高、寬，有竿，不知其長、短，橫放，竿比門寬長出尺；豎放，竿比門高長出尺；斜放，竿與門對角線恰好相等.問門高、寬、對角線長分別是多少?若設(shè)門對角線長為尺，則可列方程為__________．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．【解析】根據(jù)勾股定理可得：

，即x2-8x+16+x2-4x+4=x2，

解得：x1=2（不合題意舍去），x2=10，

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）．

答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．

故答案為：．【小結(jié)】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是解題的關(guān)鍵．29．如圖，已知一根長8m的竹竿在離地3m處斷裂，竹竿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有____m．【答案】4【解析】解如圖所示：在RtABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2設(shè)旗桿頂部距離底部AB=x米，則有32+x2=52，解得x=4故答案為：4．【小結(jié)】本題考查勾股定理．30．如圖，要從電線桿離地面處向地面拉一條鋼纜，要求地面鋼纜固定點與電線桿底部的距離是，則鋼纜的長度為(不計接頭)______________【答案】13m【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝=＝13，答：鋼纜的長度為13米，故答案為：13m．【小結(jié)】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．31．如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿6m處，此時繩子末端距離地面2m，則繩子的總長度為________m．【答案】10【分析】如詳解圖所示，可設(shè)繩子長度為，再用表示出旗桿中部分的長度，然后構(gòu)造直角三角形用勾股定理列出等式，解之即可.【解析】解:如圖，過作于，設(shè)繩子的長度為，則在中，即解得:,即繩子的長度為.故答案為:.【小結(jié)】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用，合理設(shè)未知數(shù)，構(gòu)造直角三角形并運用勾股定理是解答關(guān)鍵.32．如圖，從電線桿離地面5m處向地面拉一條長13m的固定纜繩，這條纜繩的固定點距離電線桿底部有_____m.【答案】12【分析】直接根據(jù)勾股定理進行解答即可．【解析】如圖示：∵電線桿、地面及纜繩正好構(gòu)成直角三角形，AC=5m，BC=13m，

∴（m）故答案為12．【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力．33．同學(xué)們想知道學(xué)校旗桿的高度，發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了2m，當它把繩子的下端拉開8m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，那么旗桿的高是_______米．【答案】15【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，利用勾股定理可求出旗桿的高．【解析】如圖所示：設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+2）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+2）2=x2+82，解得：x=15．故答案為15.【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是畫出示意圖，要求同學(xué)們熟練掌握勾股定理的表達式．34．在地面立一根為13米的電線桿，為了加固電線桿，在距電線桿頂端一米的地方向斜下方拉一條鋼絲，鋼絲所埋地點距電線桿底部5米，則鋼絲最短需________米.（不計鋼絲的損耗）【答案】13【解析】【分析】根據(jù)題意得到直角三角形，利用勾股定理求得斜邊即可確定鋼絲的長度．【解析】根據(jù)題意得：鋼絲長為=13，故答案為13.【小結(jié)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用勾股定理進行計算.35．如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，這棵樹有的高是______________．【答案】15米【分析】根據(jù)題意確定已知線段的長，再根據(jù)勾股定理列方程進行計算．【解析】設(shè)BD=米，則AD=（）米，CD=（）米，

∵，

∴，

解得．

即樹的高度是10+5=15米．故答案為：15米．【小結(jié)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理解決．36．如圖所示，地面上豎立了一根木桿，頂端與地面上有繩索相連．在木桿的8米高處有兩只猴子，一只猴子爬下木桿走到離木桿16米的處．另一只爬到桿頂后沿繩索滑至處，兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，則這根木桿高__________米．【答案】12【分析】閱讀題目信息可得兩只猴子所經(jīng)過的距離相等是指BD+AD=BC+AC=24，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理列方程求解.【解析】設(shè)BD=x米，根據(jù)題意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，∴AD=24-x，在RtΔACD中，由勾股定理得，，∴解得，x=4∴DC=x+8=4+8=12米，即這根木桿高12米.【小結(jié)】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，通過圖形找到等量關(guān)系列方程是解答此題的關(guān)鍵.37．如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛___米．【答案】13【分析】如圖，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．【解析】如圖所示，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，，則小鳥至少要飛13米．故答案為：13．【小結(jié)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是從實際問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，然后利用直角三角形的性質(zhì)解題．三、解答題38．如圖，從高米的電線桿的頂部處，向地面的固定點處拉一根鐵絲，若點距電線桿底部的距離為米，現(xiàn)在準備一根長為米的鐵絲，夠用嗎？請你說明理由．【答案】夠用，理由見詳解．【分析】用勾股定理求出AB邊長，再與12比較大小，即可得到答案．【解析】夠用，理由如下：在△ABC中，∠ACB=90°，∴AB==10，10<12，∴鐵絲夠用．【小結(jié)】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股定理求斜邊長，注意勾股定理的書寫要強調(diào)在直角三角形中．39．如圖為一棵大樹，在樹上距地面的處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)處有一筐水果，一只猴子從處往上爬到樹頂處，又沿滑繩到達處，另一只猴子從處滑到處，再由處跑到處.已知兩只猴子所經(jīng)過的路程都為，求樹高.【答案】12m．【分析】在Rt△ABC中，設(shè)AD=xm，由題意可得AC=（15-x）m，BC=15-10=5m，根據(jù)勾股定理可得，解方程可以求x的值，即可計算樹高AB=10+x．【解析】設(shè)AD=xm，由題意可得AC=（15-x）m，BC=15-10=5m，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

∴，

解得，x=2，即AD=2m，

∴AB=AD+DB=2+10=12m，

答：樹高AB為12m．【小結(jié)】本題考查勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．40．如圖所示，線段AB是電桿的一條固定拉線，AB=2.5m，BC=1.5m，另一條拉線在地面上的固定點到桿底C的距離C=2.4m，拉線=2.5m.求電桿上兩固定點A和的距離.【答案】1.3m.【解析】【分析】在Rt△ABC和Rt△C中，利用勾股定理分別求出AC和C，即可得A的長.【解析】在Rt△ABC和Rt△C中，AC=m，C=m，∴A=AC-C=2-0.7=1.3m.答：電桿上兩固定點A和的距離是1.3m.故答案為：1.3m.【小結(jié)】本題考查勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算．41．如圖是某體育廣場上的秋千，秋千靜止時，其下端離地面0.7m，秋千蕩到最高位置時，其下端離地面1.2m，此時秋千與靜止位置時的水平距離為1.5m，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算秋千擺繩的長度．【答案】．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，表示出圖形中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理得出答案．【解析】如圖，作BE⊥OA，垂足為E，由題意得，，，，∴，．設(shè)，則．在中，由勾股定理得，，即，解得．答：秋千擺繩的長度為．【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確表示出各邊長，運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．42．小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當他把繩子拉展后，下端剛好接觸地面，被拉直的繩子下端拉開5m（繩子下端與旗桿根部的距離），請你幫小明計算旗桿的高．【答案】12m．【分析】設(shè)的長是m，則的長是m，在中，由勾股定理得，據(jù)此代入，結(jié)合方程思想即可解題．【解析】如圖，表示旗桿，表示拉展的繩子，設(shè)的長是m，則的長是m，在中，∴整理得：解得：答：旗桿的高是12m．【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．43．下圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平臺的主視圖．小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大膽猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱AB段的正確長度．

【答案】小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【分析】延長FC交AB于點G，設(shè)BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，進而可得AB的正確長度【解析】如圖，延長FC交AB于點G

則CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米設(shè)BG=x米，則BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵∴解得∴BA=BG＋GA=8+1=9（米）∴小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【小結(jié)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形44．如圖，為測量某寫字樓的高度，小明在點測得點的仰角為30°，朝寫字樓方向前進，到達點，再次測得點的仰角為60°，試求寫字樓的高度．【答案】【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊AB及CD=DC-BC=20構(gòu)造方程關(guān)系式，進而可解，即可求出答案．【解析】由題意，知，，∴．∴．∴．在中，∵，∴．答：寫字樓的高度為．【小結(jié)】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．45．如圖，要從電線桿離地面5米處向地面拉一條13米長的拉線，求地面拉線固定點A到電線桿底部B的距離．【答案】12米【分析】在直角三角形ABC中利用勾股定理可得AB2=AC2-BC2=132-52=122，進而得到AB長．【解析】在Rt△ABC中，BC=5，AC=13，

由勾股定理，得AB2=AC2-BC2=132-52=122，

所以AB=12（米）．

所以地面拉線固定點A到電線桿底部B的距離為12米．【小結(jié)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．46．小剛想知道學(xué)校升旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端處的繩子垂到地面后還多米；當他把繩子拉直后并使下端剛好接觸地面，發(fā)現(xiàn)繩子下端離旗桿下端米．請你幫小剛把旗桿的高度求出來．【答案】4米【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解析】設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，

根據(jù)勾股定理可得：x2+32=（x+1）2，

解得，x=4．

答：旗桿的高度為4米．【小結(jié)】此題考查了學(xué)生利用勾股定理解決實際問題的能力，解答本題的關(guān)鍵是用未知數(shù)表示出三邊長度，利用勾股定理解答．47．如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面(如右圖為示意圖)．請你幫小旭求出風(fēng)箏距離地面的高度AB．【答案】風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米．【分析】設(shè)，從而可得，再利用勾股定理即可得．【解析】由題意得：是直角三角形，，米設(shè)，則在中，由勾股定理得：，即解得（米）答：風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，理解題意，得出AB與AC的關(guān)系是解題關(guān)鍵．48．如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)．【答案】2.9．【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，代入數(shù)可得答案．【解析】由題意可得：米，，，米，米，米，，，，，，則（米．【小結(jié)】本題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是階梯的關(guān)鍵．49．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何?題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點和點距離門檻都為1尺（1尺=10寸），則的長是多少?【答案】101寸【分析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解析】取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA=OB=AD=BC，設(shè)OA=OB=AD=BC=r寸，則AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，∴AE=（r1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．50．如圖，花果山上有兩只猴子在一棵樹上的點B處，且，它們都要到A處吃東西，其中一只猴子甲沿樹爬下走到離樹處的A處，另一只猴子乙先爬到項D處后再沿纜繩滑到A處．己知兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，設(shè)為．求這棵樹高有多少米?【答案】7.5米【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以設(shè)BD為x，找到兩只猴子經(jīng)過路程相等的等量關(guān)系，即BD+DA=BC+CA，根據(jù)此等量關(guān)系列出方程即可求解．【解析】設(shè)BD為x米，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15-x，∵∠C=90°，∴AD2=AC2+DC2，∴（15-x）2=（x+5）2+102，∴x=2.5，∴CD=5+2.5=7.5，答：樹高7.5米．【小結(jié)】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形的構(gòu)建，本題中正確的找出BD+DA=BC+CA的等量關(guān)系并根據(jù)直角△ACD求BD是解題的關(guān)鍵．51．如圖所示，小明在測量旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)，國旗的升降繩自然下垂到地面時，還剩余0.3米，小明走到距離國旗底部6米的C處，把繩子拉直，繩子末端恰好位于他的頭頂D處，假設(shè)小明的身高為1.5米，求旗桿的高度是多少米？【答案】旗桿的高度為10.6米【分析】過點D作，垂足為E，可證四邊形為長方形，可知米，設(shè)旗桿高度為米，則繩子長度為米，米，在中，由勾股定理，得，，解方程即可．【解析】過點D作，垂足為E，∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四邊形為長方形，∴米，設(shè)旗桿高度為米，則繩子長度為米，米，在中，由勾股定理，得，∴，整理得，即，解得．答：旗桿的高度為10.6米．【小結(jié)】本題考查勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的解法，利用勾股定理結(jié)合旗桿與繩長的關(guān)系構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．52．如圖1，創(chuàng)建文明城市期間，路邊設(shè)立了一塊宣傳牌，圖2為從此場景中抽象出的數(shù)學(xué)模型，宣傳牌（）頂端有一根繩子（），自然垂下后，繩子底端離地面還有（即），工作人員將繩子底端拉到離宣傳牌處（即點到的距離為），繩子正好拉直，已知工作人員身高（）為，求宣傳牌（）的高度．【答案】【分析】過點作于點，構(gòu)造直角三角形，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，求出AF，再根據(jù)矩形性質(zhì)，加上DE長即可．【解析】如圖，過點作于點．由題意，得，，，，∴．設(shè)，則，在中，，由勾股定理，得，即，解得．∴．答：宣傳牌（）的高度為．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和矩形的性質(zhì)，恰當?shù)淖鞒鲚o助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理建立方程是解題關(guān)鍵．53．如圖，某人為了測量小山頂上的塔頂離地面的高度，他在山下的點A處測得塔尖點D的仰角為，再沿方向前進到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，求的高度（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】由題意得出∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，設(shè)BC=x，表示出BD，CD和AC的長，利用AB=60得到方程，求出x，最后根據(jù)DC=x得到結(jié)果．【解析】由題知，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠DCA=90°，∴∠BDC=30°，△ACD是等腰直角三角形，設(shè)BC=x，∴BD=2x，∴CD==x=AC，∴AB=AC-BC=x-x=（-1）x=60，解得：x==，∴DC=x=，答：塔高約為．【小結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理的知識求解，難度一般．54．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘，另一只猴子爬到樹頂后直接躍向池塘的處，如果兩只猴子所經(jīng)過距離相等，試問這棵樹有多高．【答案】樹高為15m.【分析】設(shè)樹高BC為xm，則可用x分別表示出AC，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值．【解析】設(shè)樹高BC為xm，則CD=x-10，則題意可知BD+AB=10+20=30，∴AC=30-CD=30-（x-10）=40-x，∵△ABC為直角三角形，∴AC2=AB2+BC2，即（40-x）2=202+x2，解得x=15，即樹高為15m，【小結(jié)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，用樹的高度表示出AC，利用勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵．55．將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?00cm，彩旗完全展開時的尺寸是如圖①所示的長方形，其中∠B=90°，AB=90cm，BC=120cm，在無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂，如圖②所示．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h．【答案】彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h為250cm．【分析】根