統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.統(tǒng)計(jì)研究的基本特點(diǎn)是（）A.從數(shù)量上認(rèn)識(shí)總體單位的特征B.從數(shù)量上認(rèn)識(shí)總體的特征C.從性質(zhì)上認(rèn)識(shí)總體單位的特征D.從性質(zhì)上認(rèn)識(shí)總體的特征2.下列屬于統(tǒng)計(jì)量的是（）A.總體均值μB.樣本均值x?C.總體方差σ2D.總體比例π3.某班級(jí)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中，最高分為98分，最低分為45分，則全距（極差）為（）A.50分B.53分C.55分D.58分4.若一組數(shù)據(jù)的偏態(tài)系數(shù)為0.3，說(shuō)明該數(shù)據(jù)分布（）A.左偏（負(fù)偏）B.右偏（正偏）C.對(duì)稱分布D.無(wú)法判斷5.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則其方差為（）A.npB.np(1p)C.p(1p)D.n(1p)6.中心極限定理表明，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，樣本均值x?的抽樣分布近似服從（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.卡方分布7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)H?被拒絕時(shí)，可能犯的錯(cuò)誤是（）A.第Ⅰ類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）B.第Ⅱ類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）C.無(wú)錯(cuò)誤D.無(wú)法確定8.對(duì)兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體均值之差進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，若總體方差未知但相等，應(yīng)采用（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)（合并方差）C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)9.一元線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，ε表示（）A.解釋變量B.被解釋變量C.隨機(jī)誤差項(xiàng)D.回歸系數(shù)10.相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是（）A.[1,0]B.[0,1]C.[1,1]D.(∞,+∞)二、判斷題（每題1分，共10分）1.總體是統(tǒng)計(jì)研究的具體對(duì)象，樣本是從總體中抽取的部分個(gè)體。（）2.中位數(shù)是數(shù)據(jù)排序后處于中間位置的數(shù)值，不受極端值影響。（）3.方差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同。（）4.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是對(duì)稱的鐘形曲線，均值、中位數(shù)、眾數(shù)重合。（）5.置信水平1α表示總體參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)的概率。（）6.假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α是犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率。（）7.方差分析的基本思想是將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異，通過(guò)比較兩者的大小判斷因素對(duì)結(jié)果是否有顯著影響。（）8.相關(guān)系數(shù)r=0說(shuō)明兩個(gè)變量之間不存在任何關(guān)系。（）9.回歸分析中，判定系數(shù)R2越接近1，說(shuō)明回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度越好。（）10.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等。（）三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共30分）1.簡(jiǎn)述總體與樣本的關(guān)系，并舉例說(shuō)明。2.比較均值和中位數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)。3.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括哪些？4.中心極限定理的核心內(nèi)容是什么？其在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的意義是什么？5.相關(guān)系數(shù)與決定系數(shù)（判定系數(shù)）的區(qū)別是什么？6.分層抽樣的適用場(chǎng)景是什么？與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，分層抽樣的優(yōu)勢(shì)是什么？四、計(jì)算題（共40分）1.（6分）某企業(yè)10名員工的月工資（單位：元）如下：5200、5500、6000、6200、6500、6800、7000、7200、7500、8000。計(jì)算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（保留2位小數(shù)）。2.（6分）已知某地區(qū)成年人身高服從正態(tài)分布N(170,102)（單位：cm）。求：（1）身高在160cm到180cm之間的概率；（2）身高超過(guò)185cm的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(1.5)=0.9332，Φ(2)=0.9772）。3.（8分）某品牌手機(jī)電池的標(biāo)稱續(xù)航時(shí)間為12小時(shí)。隨機(jī)抽取25塊電池測(cè)試，測(cè)得平均續(xù)航時(shí)間為11.5小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2小時(shí)。假設(shè)電池續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該品牌電池的實(shí)際續(xù)航時(shí)間是否低于標(biāo)稱值（α=0.05，t?.??(24)=1.711）。4.（8分）為比較兩種教學(xué)方法的效果，分別從采用方法A和方法B的班級(jí)中各隨機(jī)抽取30名學(xué)生，測(cè)得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為82分和78分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為6分和5分。假設(shè)兩總體方差相等，檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異（α=0.05，Z?.???=1.96）。5.（12分）某公司記錄了廣告投入（x，萬(wàn)元）與月銷售額（y，萬(wàn)元）的10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得：∑x=50，∑y=600，∑xy=3500，∑x2=300，∑y2=40000。（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)r；（2）建立一元線性回歸方程y=β?+β?x；（3）計(jì)算判定系數(shù)R2，并解釋其意義。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.B（9845=53）4.A（負(fù)偏態(tài)系數(shù)為負(fù)）5.B6.C7.A8.B9.C10.C二、判斷題1.√2.√3.×（方差單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方）4.√5.√（注：嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是置信區(qū)間覆蓋總體參數(shù)的概率）6.×（α是犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率）7.√8.×（可能存在非線性關(guān)系）9.√10.√三、簡(jiǎn)答題1.總體是統(tǒng)計(jì)研究的全部個(gè)體，樣本是從總體中抽取的部分個(gè)體，用于推斷總體特征。例如：研究某城市所有初中生的視力情況（總體），從中抽取500名初中生測(cè)量視力（樣本），通過(guò)樣本數(shù)據(jù)推斷總體視力水平。2.均值：優(yōu)點(diǎn)是利用所有數(shù)據(jù)信息，數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良；缺點(diǎn)是易受極端值影響。中位數(shù)：優(yōu)點(diǎn)是不受極端值影響，反映中間位置水平；缺點(diǎn)是未充分利用所有數(shù)據(jù)信息，穩(wěn)定性較差。3.步驟：①建立原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；②確定顯著性水平α；③選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值；④確定拒絕域或計(jì)算p值；⑤根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則做出決策。4.核心內(nèi)容：當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，無(wú)論總體分布如何，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。意義：為大樣本統(tǒng)計(jì)推斷（如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)）提供了理論基礎(chǔ)，使非正態(tài)總體的問(wèn)題可通過(guò)正態(tài)分布近似解決。5.相關(guān)系數(shù)r衡量?jī)蓚€(gè)變量線性相關(guān)的方向和程度，取值[1,1]；決定系數(shù)R2=r2，衡量回歸模型中自變量對(duì)因變量變異的解釋比例，取值[0,1]。R2更直接反映回歸效果，r的符號(hào)表示相關(guān)方向。6.適用場(chǎng)景：總體內(nèi)部差異大，可按某些特征（如性別、地區(qū)）分成若干層。優(yōu)勢(shì)：降低抽樣誤差，提高估計(jì)精度；可對(duì)各層分別分析，滿足不同研究需求。四、計(jì)算題1.均值x?=(5200+5500+…+8000)/10=6690元；中位數(shù)：第5、6個(gè)數(shù)的平均=(6500+6800)/2=6650元；標(biāo)準(zhǔn)差s=√[∑(x?x?)2/(n1)]，計(jì)算得：∑(x?x?)2=(52006690)2+…+(80006690)2=(14902+11902+6902+4902+1902+1102+3102+5102+8102+13102)=計(jì)算后得s≈968.23元（具體計(jì)算略）。2.（1）P(160≤X≤180)=Φ((180170)/10)Φ((160170)/10)=Φ(1)Φ(1)=2Φ(1)1=2×0.84131=0.6826；（2）P(X>185)=1Φ((185170)/10)=1Φ(1.5)=10.9332=0.0668。3.①H?:μ≥12，H?:μ<12（單側(cè)檢驗(yàn)）；②檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(x?μ?)/(s/√n)=(11.512)/(1.2/√25)=(0.5)/(0.24)=2.083；③臨界值t?.??(24)=1.711（單側(cè)），拒絕域t<1.711；④2.083<1.711，拒絕H?，結(jié)論：實(shí)際續(xù)航時(shí)間低于標(biāo)稱值。4.①H?:μ?=μ?，H?:μ?≠μ?（雙側(cè)檢驗(yàn)）；②合并方差s_p2=[(n?1)s?2+(n?1)s?2]/(n?+n?2)=[(29×36)+(29×25)]/58=(1044+725)/58=1769/58≈30.5；③檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(x??x??)/√(s_p2(1/n?+1/n?))=(8278)/√(30.5×(2/30))=4/√(2.033)≈4/1.426≈2.805；④Z=2.805>1.96，拒絕H?，結(jié)論：兩種教學(xué)方法效果有顯著差異。5.（1）r=[n∑xy∑x∑y]/√[n∑x2(∑x)2][n∑y2(∑y)2]=[10×350050×600]/√[(10×300502)(10×400006002)]=(3500030000)/√[(30002500)(400000360000)]=5000/√(500×40000)=5000/√20000000=5000