第1章培優(yōu)課1數(shù)列的通項(xiàng)公式問題重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】

(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,對(duì)任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).這n-1個(gè)等式兩邊分別相加,得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),(2)已知數(shù)列{an}滿足,求an.規(guī)律方法

1.求形如an+1=an+f(n)的通項(xiàng)公式.將原來的遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).2.求形如an+1=f(n)an的通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練1已知在數(shù)列{an}中,a1=2,且滿足an+1=an+2n+n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

由條件知an+1-an=2n+n,∴a2-a1=21+1,a3-a2=22+2,a4-a3=23+3,…,an-an-1=2n-1+n-1(n≥2,n∈N+),把以上(n-1)個(gè)式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1),探究點(diǎn)二構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式【例2】

(1)在數(shù)列{an}中,a1=,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).①證明:數(shù)列

是等差數(shù)列;②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.解

由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以數(shù)列{an-3}是首項(xiàng)為a1-3=-1,公比為2的等比數(shù)列,則an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.規(guī)律方法

1.對(duì)于此類問題,一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓學(xué)生證明,再在此基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)公式,故不必在此處挖掘過深.2.形如an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù),且pq(p-1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式,步驟如下:第一步

假設(shè)遞推公式可改寫為an+1+t=p(an+t);第二步

由待定系數(shù)法,解得第三步

寫出數(shù)列

的通項(xiàng)公式;第四步

寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(1)證明

由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為

的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因?yàn)閍1-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.探究點(diǎn)三

利用前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式

【例3】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,則an等于(

)A.2n+1 B.2nC.2n-1 D.2n-2A解析

因?yàn)镾n=2an-4,所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-4,兩式相減可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以

=2.因?yàn)镾1=a1=2a1-4,即a1=4,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,則an=4×2n-1=2n+1,故選A.

規(guī)律方法

已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解題步驟:第一步

利用Sn滿足條件p,寫出當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1的表達(dá)式;第二步

利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式;第三步

若求出n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式,則根據(jù)a1=S1求出a1,并代入n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.變式訓(xùn)練3在數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,則a9=(

)A.1024 B.1023C.510 D.511D解析

由題意可得an+1-an=2n,則a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a9-a8)=1+21+22+…+28=29-1=511.故選D.123452.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足log2(Sn+1)=n+1,則an=

.

解析

∵log2(Sn+1)=n+1,∴Sn=2n+1-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.∵當(dāng)n=1時(shí),上式不滿足,123453.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=

.

-63解析

由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,S1-1=-2.當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn-1=2(Sn-1-1),所以數(shù)列{Sn-1}是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,所以S