第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省深圳市某校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?z)i=2，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.?i B.?1 C.2i D.22.已知向量a與b的夾角為30°，且|a|=3，|b|=2A.1 B.13 C.13 D.3.如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的三等分點(diǎn)，若AB=a，AC=b，E為AD中點(diǎn)，則BEA.?23a+16b

B.4.設(shè)l，m是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則(

)A.若α//β，l//α，m//β，則l//m B.若α//β，l//m，m⊥β，則l⊥α

C.若α⊥β，l//α，m//β，則l⊥m D.若α⊥β，l//α，m//β，則l//m5.已知向量b=(1,2)，向量a在b方向上的投影向量為?12b，則A.?12 B.12 C.?6.如圖，正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1，上下底面的中心分別為O1和O，若AB=2AA.2023

B.28237.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則(

)A.A與D互斥 B.C與D對(duì)立 C.A與B相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立8.如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭M，N間架設(shè)一條索道.為測(cè)量M，N間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度MC=1003m,NB=502m，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，測(cè)得M點(diǎn)的仰角為60°，N點(diǎn)的人仰角為30°，以及∠MAN=45°，則M，A.1002m B.120m C.100二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖(1)形成對(duì)稱形態(tài)，圖(2)形成“右拖尾”形態(tài)，圖(3)形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)給圖作出以下判斷，正確的是(

)

A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖(2)的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)

C.圖(2)的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù) D.圖(3)的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)10.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.x=?π3是f(x)的一條對(duì)稱軸

B.f(x)在(?π3,π12)上單調(diào)遞增

C.f(x)在[?11.在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，所有棱長(zhǎng)均2，∠BAD=60°，P為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形A.當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體A1BPQ的體積為定值

B.若AQ/?/平面A1BP，則AQ的最小值為5

C.若△A1BQ的外心為M，則A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方形(如圖所示)，則原平面圖形的面積為_(kāi)_____．13.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)為奇函數(shù)，則符合條件的一個(gè)φ的取值可以為_(kāi)_____．14.在△ABC中，∠ACB=120°,AC=2,AB=7,∠ACB的角平分線交AB于D，則CD=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=32．

(1)求a16.(本小題15分)

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且(2a+c)cosB+bcosC=0．

(1)求角B的大小；

(2)若b=13，ac=3，求△ABC17.(本小題15分)

為了解高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)的基本情況，抽取部分高一年級(jí)學(xué)生開(kāi)展體質(zhì)健康能力測(cè)試，滿分100分.參加測(cè)試的學(xué)生共40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計(jì)全校高一年級(jí)體測(cè)成績(jī)的60%分位數(shù)；

(2)為提升同學(xué)們的身體素質(zhì)，校方準(zhǔn)備增設(shè)體育課的活動(dòng)項(xiàng)目.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從得分在[70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在[70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為9，在[80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為4，求得分在[70,90)內(nèi)的平均數(shù)和方差．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA=PD=DC=BC=12AB=1，AB//CD，∠APD=∠ABC=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥面PBD；

(2)點(diǎn)Q在棱PB上，若二面角P?AD?Q的余弦值為19.(本小題17分)

對(duì)于兩個(gè)平面向量a，b，如果有a?b?a?a>0，則稱向量a是向量b的“迷你向量”．

(1)若m=(1,x)，n=(2,1?x)，m是n的“迷你向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)一只螞蟻從坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)沿最短路徑爬行到點(diǎn)N(n,n)處(且n≥2).螞蟻每次只能沿平行或垂直于坐標(biāo)軸的方向爬行一個(gè)單位長(zhǎng)度，爬完第i次后停留的位置記為Pi(1≤i≤2n)，設(shè)M(n?1,0).記事件T=“螞蟻經(jīng)過(guò)的路徑中至少有n個(gè)Pi使得OM是OPi的迷你向量”.(假設(shè)螞蟻選擇每條路徑都是等可能的)參考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.213.π2(答案不唯一14.2315.解：(1)因?yàn)閒(π4)=32，所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(π2+π6)=32，

即12a?12=32，解得a=4，

所以f(x)=4sinxcosx+cos16.(1)∵由已知得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，

∴2sinAcosB+sin(B+C)=0，

∵B+C=π?A，

∴sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，

∴cosB=?12，

∴B=2π3；

(2)∵b=13，ac=3，B=2π3，

∴由b2=17.(1)根據(jù)題意可得(0.01+0.015+0.02+t+0.025)×10=1，解得t=0.03；

因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.1，0.15，0.2，0.3，

所以成績(jī)的60%分位數(shù)在[80,90)內(nèi)，且估計(jì)為80+0.6?0.1?0.15?0.20.03=85；

(2)因?yàn)閇70,80)和[80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3，

所以[70,80)中抽2人，[80,90)中抽3人，

所以再?gòu)倪@5人中挑出2人進(jìn)行試課，則兩人得分分別來(lái)自[70,80)和[80,90)的概率為C21?C31C52=35；

(3)因?yàn)閇70,80)和[80,90)的頻率之比為0.2：0.3=2：3，

且得分在[70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75，方差為9，在[80,90)內(nèi)的平均數(shù)為8518.(1)證明：由題意：BC=CD=1，∠BCD=90°，AB//CD，

∴解這個(gè)直角梯形ABCD可得：BD=2，AD=2，

又AB=2，∴BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD，又∵PA?平面PAD，∴BD⊥PA，

又∵PA⊥PD，且BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，

∴PA⊥平面PBD；

(2)以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，P(22,0,22)，

∴DA=(2,0,0)，DP=(22,0,22)，PB=(?219.(1)∵m是n的“迷你向量”，

∴m?n=?x2+x+2>m?m=1+x2，解得x∈(?12,1)；

(2)①如圖，

當(dāng)n=3時(shí)，能使得OM是OPi的迷你向量的Pi共有四個(gè)，即A1，A2，A3，N，

要想使得經(jīng)過(guò)的路線中至少有其中3個(gè)點(diǎn)，則路徑必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2，

故只需要考慮所有最短路徑中經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2的條數(shù)即可，

先考慮總共最短路徑條數(shù)：

最短路徑一共6步，其中三步向上，三步向右，

也即是在6步中選擇三步向上，其余三步向右，

故可以用這樣的樣本點(diǎn)組成的樣本空間描述最短路徑的走法：

“1