第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省青島市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1,3}，B={x|x≥1}，則A∩B=(

)A.? B.{3} C.{1,3} D.{0,1,3}2.函數(shù)f(x)=lnx的定義域是(

)A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)3.二項(xiàng)式(1+x)7展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.21 B.35 C.42 D.704.為調(diào)查某醫(yī)院一段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)聯(lián)性，得到如下2×2列聯(lián)表：性別晚上白天總計(jì)女30男30總計(jì)4090則χ2的值最接近(

)

(附：χ2=A.18 B.11 C.8 D.65.設(shè)a=(23)13,b=(25)1A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a6.已知隨機(jī)變量X～B(6,p)，隨機(jī)變量Y=2X+1，且E(Y)=5，則p=(

)A.13 B.12 C.237.已知a>b>1，若logab+logba=A.1 B.2 C.3 D.48.已知變量x，y線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…6)滿(mǎn)足i=16xi=30，用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=x?1A.?2 B.?1 C.1 D.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.1，則A.P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9

C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=410.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為35；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為45，則(

)A.他第2天去A餐廳的概率為710

B.他連續(xù)兩天都去A餐廳的概率為14

C.他連續(xù)兩天都不去A餐廳的概率為34

D.若他第2天去A餐廳，則他第1天去11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(12)≠0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，則A.f(?12)=0 B.f(12)=?2

C.函數(shù)f(x?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知關(guān)于x的不等式ax2?x+3>0的解集為(?32,1)13.若函數(shù)f(x)=log2(x?1),x>10,x=1f(2?x),x<114.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)g(x)=(x?1)2+f(x)x2+1的最大值為M，最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x(x?a)2．

(1)若a=1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若x=2是f(x)的極值點(diǎn)但不是零點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．16.(本小題15分)

某企業(yè)調(diào)研后，得到研發(fā)投入x(萬(wàn)元)與產(chǎn)品收益y(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下：x12345y912172126(1)若y與x線性相關(guān)，請(qǐng)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r推斷它們的相關(guān)程度；

(若0.3<|r|<0.75，則相關(guān)程度一般；若|r|≥0.75，則相關(guān)程度很強(qiáng))

(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?=b?x+a?，并預(yù)測(cè)當(dāng)研發(fā)投入6萬(wàn)元時(shí)的產(chǎn)品收益．

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2?1，g(x)=ex?ax?a3．

(1)求f(x)的零點(diǎn)；

(2)18.(本小題17分)

系統(tǒng)中每個(gè)元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各個(gè)元件正常工作的事件相互獨(dú)立.如果系統(tǒng)中多干一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.記Pk表示“系統(tǒng)中共有k(k∈N?)個(gè)元作時(shí)，系統(tǒng)正常工作的概率”．

(1)若p=12，求P4；

(2)若p=23，系統(tǒng)中共有3個(gè)元件，記系統(tǒng)中正常工作的元件數(shù)與非正常工作的元件數(shù)之差為X，求X的均值；

19.(本小題17分)

已知函數(shù)y=f(x)的圖象在定義域R上連續(xù)不斷，f(?x)=f(x)，f(x)+f(2?x)=0，f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)．

(1)證明：f(x)是周期函數(shù)；

(2)給定t∈(0,2)，設(shè)a∈R，證明：存在k∈[a?t,a+t]，使得f(k)≤f(t)；

(3)若f′(x)=π2f(x+1),f(0)<2,f(12)=22，設(shè)函數(shù)F(x)=3f(x)?f(3x)．

(i)求F(x)的最大值；

(ii)答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合B={x|x≥1}，A={?1,0,1,3}，則A∩B={1,3}．

故選：C．

由交集的概念即可求解．

本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】D

【解析】解：由題意，可得lnx≥0，解得x≥1，

所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1,+∞)．

故選：D．

根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，再求出解集即可．

本題考查了利用函數(shù)的解析式求定義域，是基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：所求系數(shù)為C72×15=21．

故選：4.【答案】B

【解析】解：2×2列聯(lián)表如下：性別晚上白天總計(jì)女302050男103040總計(jì)405090則χ2=90(30×30?10×20)240×50×50×40=11.025，

所以χ2的值最接近11．

故選：B．5.【答案】C

【解析】解：∵a=(23)13,b=(25)13,c=(45)?12，函數(shù)y=x13是增函數(shù)，23>25，

6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閄～B(6,p)，

所以E(X)=6p，

又因?yàn)閅=2X+1，

所以E(Y)=2E(X)+1=12p+1=5，

解得p=13．

故選：A．

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)求解．7.【答案】D

【解析】解：a>b>1，若logab+logba=52，

則logab+1logab=52，

即2(logab)2?5logab+2=0，

所以logab=12或8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閿?shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…6)滿(mǎn)足i=16xi=30，

所以舊數(shù)據(jù)x?=306=5，

又因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程y=x?1過(guò)樣本中心點(diǎn)(x?,y?)，

所以y?=x??1=5?1=4，

增加數(shù)據(jù)(?2,4)后，x1?=30?27=4，y19.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)閄～N(2,σ2)，所以P(X≤2)=0.5，故A正確；

因?yàn)閄～N(2,σ2)，其P(X≤0)=0.1，所以P(X≥4)=0.1，

所以P(X≤4)=1?P(X≥4)=1?0.1=0.9，故B正確；

因?yàn)閄～N(2,σ2)，所以P(2≤X≤4)=P(X≥2)?P(X≥4)=0.5?0.1=0.4，故C錯(cuò)誤；

由方差性質(zhì)，D(2X+2)=4D(X)=4σ210.【答案】AD

【解析】解：設(shè)事件C=“第一天到餐廳A用餐”，C?=“第一天到餐廳B用餐”，

設(shè)事件D=“第二天到餐廳A用餐”，D?=“第二天到餐廳B用餐”，

由已知得：P(C)=P(C?)=12，P(D|C)=35，P(D|C?)=45，

因?yàn)椋篜(D)=P(D|C)P(C)+P(D|C?)P(C?)=710，故A正確；

因?yàn)椋篜(CD)=P(D|C)P(C)=311.【答案】ABD

【解析】解：令x=12，y=0，則有f(12)+f(12)×f(0)=f(12)[1+f(0)]=0，

又f(12)≠0，故1+f(0)=0，即f(0)=?1，

令x=12，y=?12，則有f(12?12)+f(12)f(?12)=4×12×(?12)，

即f(0)+f(12)f(?12)=?1，由f(0)=?1，可得f(12)f(?12)=0，

又f(12)≠0，故f(?12)=0，故A正確；

令y=?12，則有f(x?12)+f(x)f(?12)=4x×(?12)，

12.【答案】?2

【解析】解：由已知，a<0，且?32,1是一元二次方程ax2?x+3=0的兩根，

由韋達(dá)定理，3a=?32×1=?13.【答案】?1

【解析】解：函數(shù)f(x)=log2(x?1),x>10,x=1f(2?x),x<1，f(12)=f(2?14.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，g(x)=(x?1)2+f(x)x2+1=x2?2x+1+f(x)x2+1=f(x)?2xx2+1+1，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以有f(?x)=?f(x)，

所以g(x)+g(?x)=1+?2x+f(x)x2+1+1+?2(?x)+f(?x)(?x)2+1=2+?2x+2x+f(x)?f(x)x2+1=2，

所以函數(shù)15.【答案】切線方程：y=x．

單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,2)，(6,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,6)．

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x(x?1)2，則f(0)=0．

f′(x)=(x?1)2+x?2(x?1)=(x?1)(3x?1)．

則f′(0)=1．

所以切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，斜率為1，

所以切線方程為y=x．

(2)f′(x)=(x?a)2+2x(x?a)=(x?a)(3x?a)．

因?yàn)閤=2是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(2)=0，即(2?a)(6?a)=0，解得a=2或a=6．

又x=2不是零點(diǎn)，

若a=2，則f(2)=2(2?2)2=0，矛盾，舍去；

若a=6，則f(2)=2(2?6)2=32≠0，符合條件．

所以f′(x)=(x?6)(3x?6)=3(x?6)(x?2)．

令f′(x)>0，解得x∈(?∞,2)∪(6,+∞)；

令f′(x)<0，解得x∈(2,6)

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,2)，(6,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,6)．

(1)根據(jù)已知條件確定f(x)，求出f(0)和導(dǎo)數(shù)f′(x)，根據(jù)k=f′(0)求出切線斜率，從而得到切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)16.【答案】y與x的相關(guān)程度很強(qiáng)；

y=4.3x+4.1，29.9【解析】(1)由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：x?=15(1+2+3+4+5)=3，y?=15(9+12+17+21+26)=17，

則i=15(xi?x?)(yi?y?)=(1?3)(9?17)+…+(5?3)(26?17)=43，

i=15(xi?x?)2i=15(yi?y?)2=10×186≈43.1，

所以r=i=15(xi?17.【答案】1；

(1,+∞)．

【解析】(1)f(x)=lnx+x2?1的定義域?yàn)?0,+∞)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1x+2x>0，

f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，而f(1)=0，

因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是1．

(2)g(x)=ex?ax?a3的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex?a，

當(dāng)a≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)g′(x)>0，g(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)a>0時(shí)，由g′(x)>0，得x>lna；由g′(x)<0，得x<lna，

g(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值g(lna)=a?alna?a3，

根據(jù)題意，g(lna)=a?alna?a3<0，即a2+lna?1>0，

根據(jù)第一問(wèn)知，函數(shù)f(a)=a2+lna?1在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=0，

因此不等式a218.【答案】516；

1；

證明見(jiàn)解析．【解析】(1)因?yàn)閗=4，p=12，

所以P4=C44p4(1?p)0+C43p3(1?p)1=C44(12)4+C43(12)4=516；

(2)記正常工作的元件個(gè)數(shù)為Y，則Y～B(3,23)，

所以E(Y)=kp=3×23=2，又因?yàn)閄=Y?(3?Y)=2Y?3，

所以19.【答案】證明見(jiàn)解析；

證明見(jiàn)解析；

(i)22；(ii)2【解析】(1)證明：由題知：f(?x)=f(x)，f(x)+f(2?x)=0，

所以f(x)=?f(2?x)=?f(x?2)，

所以f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．

(2)因?yàn)閒(x)是周期為4的偶函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，

先看f(x)在一個(gè)周期[?2,2]上的情況：x[?2,0][0,2]f(x)↑↓所以f(2)為f(x)的最小值，

根據(jù)周期性，不妨設(shè)a∈[?2,2]，顯然區(qū)間[a?t,a+t]長(zhǎng)度為2t<4，

若a=0，則f(x)在區(qū)間[?t,0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0,t]上單調(diào)遞減，

所以取k=±t，有f(k)≤f(t)，

若a∈(0,2]，則0<t<a+t<4，

當(dāng)a?t<2<a+t時(shí)，f(x)在區(qū)間[t,2]上單調(diào)遞減，所以取k=2，有f(k)≤f(t)，

當(dāng)a?t<a+t≤2時(shí)，f(x)在區(qū)間[t,a+t]上單調(diào)遞減，所以取k=a+t，有f(k)≤f(t)，

同理可證，a∈[?2,0)時(shí)，存在k∈[a?t,a+t]，使得f(k)≤f(t)，

綜上，對(duì)?a∈R，存在k∈[a?t,a+t]，使得f(k)≤f(t)．

(3)(i)因?yàn)镕(x+4)=3f(x+4)?f(3x+12)=3f(x)?f(3x)=F(x)，

且F(?x)=3f(?x)?f(?3x)=3f(x)?f(3x)=F(x)，

所以F(x)是周期為4的偶函數(shù)，不妨設(shè)x∈[0,2]，

因?yàn)镕′(x)=3f′(x)?3f′(3x)=3