2024-2025學(xué)年四川省成都市列五中學(xué)高二（下）7月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3=3，SA.?12或1 B.12或1 C.?2.已知空間向量a=(x,x?1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,1,1)，且a，b，c共面，則實(shí)數(shù)x=(

)A.?2 B.?1 C.0 D.13.雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q分別在C的兩條漸近線上.若PQA.2 B.3 C.2 4.已知函數(shù)f(x)=1ln(x+1)?x，則y=f(x)的圖象大致為A. B. C. D.5.全國(guó)大中學(xué)生心理健康日主題活動(dòng)將于2024年5月25日在京舉行.現(xiàn)將3名心理健康專家和4名志愿者隨機(jī)分配到3個(gè)不同的接待點(diǎn)服務(wù)，要求每個(gè)接待點(diǎn)至少有1名心理健康專家和1名志愿者，則共有多少種分法？(

)A.36 B.72 C.216 D.2566.如圖，可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l：A.?x∈R，?(x)>0

B.?x∈R，?′(x)<0

C.?′(x0)=0，x=x0是?(x)的極大值點(diǎn)

D.?′(x7.甲袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球：乙袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A，B，C表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”.“取出的是黑球”；再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.事件A，B，C是兩兩互斥的事件 B.事件A與事件D為相互獨(dú)立事件

C.P(D|A)=29 8.函數(shù)f(x)=1x?lnx，g(x)=e?x?x，若存在正數(shù)x1，x2A.1e B.e C.1 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若隨機(jī)變量X～B(10,12)，則E(X)=5

B.若隨機(jī)變量X的方差D(X)=1，則D(3X+1)=10

C.若P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.4，則事件A與事件B獨(dú)立

D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6,σ10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1A.數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 B.數(shù)列{an}可以是等比數(shù)列11.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)+xf′(x)=1x2，f(1)=0，則下列說法正確的是A.f(x)在x=e處取得極大值，極大值為12e

B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.若f(x)<k?1x2在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(x?1213.在A，B，C三地爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)人口數(shù)的比為3：2：1，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人，這個(gè)人患流感的概率是______．14.已知函數(shù)f(x)=m(x?1)ex?x2+x在四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn+an=1．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；16.(本小題12分)

某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于[15,25]之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

(1)求a的值；

(2)若從高度在[15,17)和[17,19)中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在[15,17)內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記高度在[15,17)內(nèi)的株數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．17.(本小題12分)

如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=DC=2，AB=4，現(xiàn)將△ADC所在平面沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)D翻折至點(diǎn)P，且成直二面角P?AC?B．

(1)證明：平面PBC⊥平面PAC；

(2)若異面直線PC與AB所成角的余弦值為14，求平面BPA與平面PAC所成角的余弦值；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，△PAB面積的最大值為2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為k1、k2，且3k1=5k2．

19.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x+alnx(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=1且函數(shù)y=f(x)?2x+m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②試比較參考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.B

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ACD

12.35813.47514.(315.(1)當(dāng)n=1時(shí)，可得3S1+a1=3a1+a1=1，解得a1=14≠0．

當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn+an=1，可得3Sn?1+an?1=4，

相減可得3Sn?3Sn?1+an?an?1=0，即有4an?an?1=0，

可得an=14an?1，

即{an}是首項(xiàng)和公比均為14的等比數(shù)列，

所以an=14×(14)n?1=(14)n．

(2)bn

X012

P

1

3

3則E(X)=0×110+1×35+2×310=17.(1)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接CE，

因?yàn)锳B//DC，AD=DC=2，AB=4，

則AE=DC，AE//DC，

故四邊形ADCE為平行四邊形，

所以CE=AD=2，

則CE=AE=EB，所以∠EAC=∠ECA，∠ECB=∠EBC，

又∠EAC+∠ECA+∠ECB+∠EBC=180°，

故∠ECA+∠ECB=90°，

故∠ACB=90°，即CB⊥CA，

又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB=AC，CB?平面ACB，

故CB⊥平面PAC，又CB?平面PBC，

故平面PBC⊥平面PAC；

(2)取AC的中點(diǎn)O，連接OE，則OE//CB，

所以O(shè)E⊥AC，且OP⊥AC，則OC，OE，OP兩兩互相垂直，

故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)OC=a(a>0)，則C(a,0,0)，P(0,0,4?a2)，A(?a,0,0),B(a,24?a2,0)，

故PC=(a,0,?4?a2),AB=(2a,24?a2,0)，

所以|cos?PC,AB?|=|PC?AB||PC||AB|=2a22×4=a24，

因?yàn)楫惷嬷本€PC與AB所成角的余弦值為14，

所以a24=14，解得a=1(負(fù)值已舍去)，

故A(?1,0,0),B(1,23,0),C(1,0,0)，P(0,0,3)，18.解：(1)當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積取最大值，

且最大值為12|AB|?b=12×2ab=ab=2，

由題意可得ca=32ab=2c2=a2?b2，解得a=2b=1c=3，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1．

(2)①證明：設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2)，

若直線PQ的斜率為零，則點(diǎn)P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則k1=?k2，不合乎題意；

設(shè)直線PQ的方程為x=ty+n，由于直線PQ不過橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則n≠±2，

聯(lián)立x=ty+nx2+4y2=4，消去x可得(t2+4)y2+2tny+n2?4=0，

Δ=4t2n2?4(t2+4)(n2?4)=16(t219.(1)f(x)=x+alnx的定義域?yàn)?0,+∞)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1+ax=x+ax，

當(dāng)a≥0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)>0，得x∈(?a,+∞)；由f′(x)<0，得x∈(0,?a)，

f(x)在(?a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,?a)上單調(diào)遞減，

因此當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(?a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,?a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

(2)①當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x+lnx，

y=f(x)?2x+m=lnx?x+m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，

等價(jià)于lnx?x+m=0?m=x?lnx有兩個(gè)不同的根x1，x2，

等價(jià)于?(x)=x?lnx的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

?′