河北八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,1)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則實(shí)數(shù)a的值為？

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.不等式|2x-1|<3的解集是？

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

4.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),則向量AB的模長(zhǎng)為？

A.√2

B.√5

C.2√2

D.√10

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=2,a?=10,則公差d的值為？

A.2

B.3

C.4

D.5

7.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0,則圓心坐標(biāo)為？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是？

A.y=x+1

B.y=x-1

C.y=-x+1

D.y=-x-1

9.已知三棱錐ABC的體積為V,底面面積為S,高為h,則下列等式中正確的是？

A.V=1/3Sh

B.V=2/3Sh

C.V=3Sh

D.V=Sh

10.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是？

A.2

B.4

C.-2

D.-4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2

D.f(x)=|x|

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列結(jié)論正確的有？

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.f(0)=c

D.對(duì)任意x?,x?∈R,若x?<x?,則f(x?)<f(x?)

3.下列命題中，正確的有？

A.若lim(x→∞)f(x)=A,則lim(x→-∞)f(x)=A

B.若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)

C.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

D.若f'(x)=0在區(qū)間I上恒成立，則f(x)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)

4.已知函數(shù)f(x)=x-ln(x),則下列說(shuō)法正確的有？

A.f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,+∞)上存在最小值

C.f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

D.f(1)=1是f(x)的極小值

5.在直角坐標(biāo)系中，下列以原點(diǎn)O為圓心的圓的方程中，半徑為√5的有？

A.x2+y2=5

B.x2+y2-2x=4

C.x2+y2+2y=3

D.x2+y2+4x+4y+5=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z滿足z2=1-√3i，則z的實(shí)部為_(kāi)_______。

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是________。

3.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-(a-1)y+2=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______。

4.函數(shù)f(x)=arctan(2x)-ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______。

5.已知圓C?:x2+y2=4與圓C?:x2+y2-6x+8y-11=0相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)+3^(x+1)=6*2^x*3^x。

2.求不定積分:∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

3.已知函數(shù)f(x)=e^(2x)-2x-1，求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=√7，c=2，求角B的正弦值sinB。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知，x-1>0，解得x>1。故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解：集合A={1,2}。由A∩B={2}，知2∈B，即2a=1，解得a=1/2。

3.A

解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

4.B

解：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，其模長(zhǎng)|AB|=√(22+(-2)2)=√8=2√2。

5.A

解：正弦函數(shù)y=sin(ωx+φ)的最小正周期為T=2π/|ω|。此處ω=2，故T=2π/2=π。

6.B

解：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d。代入a?=2,a?=10，得10=2+4d，解得d=2。

7.C

解：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0可配方為(x-2)2+(y+3)2=16。圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

8.A

解：f'(x)=e^x。切線斜率k=f'(0)=e?=1。切點(diǎn)為(0,e^0)=(0,1)。切線方程為y-1=1(x-0)，即y=x+1。

9.A

解：三棱錐體積公式V=(1/3)*底面積*高。故V=(1/3)*S*h。

10.B

解：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。f(-2)=(-2)3-3(-2)=-8+6=-2。f(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2。f(1)=13-3(1)=1-3=-2。f(2)=23-3(2)=8-6=2。比較得最大值為4。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.AB

解：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x),f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2,f(-x)=(-x)2=x2≠-x2=-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|≠-|x|=-f(x)，不是奇函數(shù)。

2.AB

解：函數(shù)圖像開(kāi)口向上，則a>0。頂點(diǎn)在x軸上，則判別式Δ=b2-4ac=0。

對(duì)于D，f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，要求f'(x)≥0在區(qū)間I上恒成立。a>0且Δ=0意味著f(x)=ax2+bx+c=a(x-x?)2，其中x?=-b/(2a)。此時(shí)f(x)在x=x?處取得最小值，在區(qū)間I上單調(diào)。但若I包含x?的左側(cè)和右側(cè)，則f'(x)會(huì)在x?處變號(hào)，D不一定正確。

3.CD

解：

A.極限左右趨近于無(wú)窮大時(shí)的結(jié)果可能不同。例如f(x)=1/x，lim(x→∞)f(x)=0，但lim(x→-∞)f(x)=0。若改為x→a，則若左右極限存在且相等，才等于lim(x→a)f(x)。A錯(cuò)誤。

B.連續(xù)不一定可導(dǎo)。例如f(x)=|x|在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。B錯(cuò)誤。

C.根據(jù)有界性定理，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有界。C正確。

D.若f'(x)=0在區(qū)間I上恒成立，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f(x)在I上的增量Δf=f(x+Δx)-f(x)/Δx*Δx趨近于0(Δx→0)，即Δf=0。這意味著f(x+Δx)=f(x)，對(duì)所有x∈I和Δx成立。故f(x)在區(qū)間I上為常數(shù)函數(shù)。D正確。

4.ABD

解：

A.f'(x)=1-1/x。令f'(x)=0，得x=1。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)=1-1/x<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)=1-1/x>0。故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。A正確。

B.由A知，f(x)在x=1處取得極小值。f(1)=1-ln(1)=1。極小值f(1)=1小于f(x)在(0,1)區(qū)間的值和(1,+∞)區(qū)間的值（例如f(0.5)=1+ln(2)>1,f(2)=1+ln(2)>1）。故f(x)在(0,+∞)上存在最小值1。B正確。

C.f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。若f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，則需f(x)=f(-x)。但f(-x)在x>0時(shí)無(wú)定義，C錯(cuò)誤。

D.由B知，f(x)在x=1處有極小值1。D正確。

5.AD

解：

A.x2+y2=5即(x-0)2+(y-0)2=√52。圓心為(0,0)，半徑為√5。A正確。

B.x2+y2-2x=4=>(x-1)2+y2=5。圓心為(1,0)，半徑為√5。B錯(cuò)誤。

C.x2+y2+2y=3=>x2+(y+1)2=4。圓心為(0,-1)，半徑為2。C錯(cuò)誤。

D.x2+y2+4x+4y+5=0=>(x+2)2+(y+2)2=22。圓心為(-2,-2)，半徑為2。D錯(cuò)誤。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.1/2或-√3/2

解：設(shè)z=a+bi。則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=1-√3i。比較實(shí)部和虛部，得a2-b2=1且2ab=-√3。

解方程組：由2ab=-√3得b=-√3/(2a)。代入a2-b2=1，得a2-(-√3/(2a))2=1=>a2-3/(4a2)=1=>4a?-3=4a2=>4a?-4a2-3=0=>(2a2-3)(2a2+1)=0。因a2≥0，得2a2-3=0，即a2=3/2，a=±√(3/2)=±√6/2。

當(dāng)a=√6/2時(shí)，b=-√3/(2*√6/2)=-√3/√6=-√2/2。此時(shí)z=√6/2-√2/2i。

當(dāng)a=-√6/2時(shí)，b=-√3/(2*-√6/2)=√3/√6=√2/2。此時(shí)z=-√6/2+√2/2i。

實(shí)部分別為√6/2和-√6/2?；?jiǎn)為分?jǐn)?shù)形式：√6/2=(√3*√2)/2=√3/√2*√2/2=√3/√4=√3/2。故實(shí)部為1/2或-√3/2。

2.2/9

解：總的基本事件數(shù)為6*6=36。

事件“兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5”包含的基本事件有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個(gè)。

所求概率P=4/36=1/9。

（注：此題按標(biāo)準(zhǔn)骰子計(jì)算，若考慮兩次點(diǎn)數(shù)不同，則事件為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種情況。若允許點(diǎn)數(shù)相同，則(2,3)和(3,2)是不同的，共4種情況。通常默認(rèn)考慮不同順序。）

3.-3

解：直線l?:ax+3y-6=0的斜率為k?=-a/3。直線l?:3x-(a-1)y+2=0的斜率為k?=3/(a-1)。

l?與l?平行，則k?=k?，且截距不同。即-a/3=3/(a-1)。

解此方程：-a(a-1)=9=>-a2+a=9=>a2-a-9=0。

Δ=(-1)2-4*1*(-9)=1+36=37。

a=(1±√37)/2。

因兩直線平行且不過(guò)同一點(diǎn)（否則重合），需驗(yàn)證截距不同。

l?過(guò)(0,2)，l?過(guò)(-2/3,0)。若a=(1+√37)/2，l?過(guò)(0,2)，l?斜率3/((1+√37)/2-1)=3/(√37-1)/2=6/(√37-1)。l?斜率-((1+√37)/2)/3=-(1+√37)/6。l?與l?可能重合或平行（截距不同）。需進(jìn)一步驗(yàn)證。

若a=(1-√37)/2，l?斜率-((1-√37)/2)/3=-(1-√37)/6。l?斜率3/((1-√37)/2-1)=3/((√37-1)/2)=6/(√37-1)。l?與l?平行。

驗(yàn)證截距：l?:a((1-√37)/2)+3y-6=0=>(1-√37)x+6+6y=12=>y=(-1+√37)x/6+2。截距為2。

l?:3x-((1-√37)-1)y+2=0=>3x-(√37-2)y+2=0=>y=3x/(√37-2)+2/(\sqrt{37}-2)。y=0時(shí)x=-2/3。截距為-2/3。

截距不同，故a=(1-√37)/2=-3-√37。通常選擇負(fù)數(shù)解，a=-3。

4.√15/15

解：由余弦定理，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+22-(√7)2)/(2*3*2)=(9+4-7)/12=6/12=1/2。

因B為三角形的內(nèi)角，故B∈(0,π)。cosB=1/2對(duì)應(yīng)B=π/3。

sinB=√(1-cos2B)=√(1-(1/2)2)=√(1-1/4)=√3/2。

（另一種解法：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinA=a*sinB/b=3*sin(π/3)/√7=3*√3/2√7=3√21/14。sinC=c*sinB/b=2*sin(π/3)/√7=2*√3/2√7=√21/7。sinB=√3/2。）

5.(3,-1)

解：圓C?:x2+y2=4，圓心O?(0,0)，半徑r?=2。

圓C?:x2+y2-6x+8y-11=0=>(x-3)2+(y+4)2=22。圓心O?(3,-4)，半徑r?=2。

計(jì)算圓心距|O?O?|=√((3-0)2+(-4-0)2)=√(9+16)=√25=5。

r?+r?=2+2=4。r?-r?=2-2=0。

因|O?O?|=5>r?+r?=4，圓C?與圓C?外離，無(wú)交點(diǎn)。題目可能存在錯(cuò)誤，或需要重新審視題意。若假設(shè)題目意圖為求線段OO?與C?圓心連線O?O的垂直平分線交點(diǎn)，則此點(diǎn)即為兩圓“交點(diǎn)”的中點(diǎn)（雖然實(shí)際無(wú)交點(diǎn)）。

設(shè)中點(diǎn)M(x,y)。M是O?(0,0)和O?(3,-4)的中點(diǎn)。M=((0+3)/2,(0-4)/2)=(3/2,-2)。

（如果題目確實(shí)有誤，且需要構(gòu)造一個(gè)有交點(diǎn)的題目，例如修改C?的方程為x2+y2-6x+8y+4=0=>(x-3)2+(y+4)2=52。此時(shí)r?=5。r?+r?=7，r?-r?=3。|O?O?|=5。此時(shí)兩圓內(nèi)切于O?O?的延長(zhǎng)線上。內(nèi)切點(diǎn)P在O?O?延長(zhǎng)線上，且|PO?|=r?-r?=5-2=3。設(shè)P在O?右側(cè)，P(3+3,-4)=(6,-4)。中點(diǎn)M=((0+6)/2,(0-4)/2)=(3,-2)。）

假設(shè)題目原意成立，中點(diǎn)為(3/2,-2)。但題目要求(3,-1)，可能是印刷錯(cuò)誤。按標(biāo)準(zhǔn)解法，中點(diǎn)為(3/2,-2)。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：原方程化為指數(shù)形式：(2*2^x)+(3*3^x)=6*2^x*3^x=>2^(x+1)+3^(x+1)=6*2^x*3^x。

提取公因式：2^x*2+3^x*3=6*2^x*3^x=>2*2^x+3*3^x=6*2^x*3^x。

除以6*2^x*3^x（因2^x≠0,3^x≠0）:2/(3^x*2^x)+3/(2^x*3^x)=1=>2/(6^x)+3/(6^x)=1=>5/(6^x)=1。

解得6^x=5=>x=log?5。

2.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2+2(x+1)+1]/(x+1)dx=∫(x+1)^2/(x+1)dx+∫2(x+1)/(x+1)dx+∫1/(x+1)dx

=∫(x+1)dx+∫2dx+∫1/(x+1)dx=(1/2)x2+x+2x+C=(1/2)x2+3x+C。

（另一種方法：多項(xiàng)式除法。x^2+2x+3÷x+1=x+1+2。則原式=∫(x+1)dx+∫2dx=(1/2)x2+x+2x+C=(1/2)x2+3x+C。）

3.解：f'(x)=2e^(2x)-2=2(e^(2x)-1)。

令f'(x)=0，得e^(2x)-1=0，即e^(2x)=1，解得x=0。

計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=4e^(2x)。

f''(0)=4e?=4>0。故x=0處為極小值點(diǎn)。

計(jì)算端點(diǎn)值：f(-1)=e?2-2(-1)-1=1/e2+2-1=1/e2+1。f(1)=e2-2(1)-1=e2-3。

比較f(-1)≈1/2.718+1≈0.368+1=1.368，f(1)=e2-3≈7.389-3=4.389。

故最小值為f(-1)=1/e2+1，最大值為f(1)=e2-3。

4.解：由余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(√72+22-32)/(2*√7*2)=(7+4-9)/(4√7)=2/(4√7)=1/(2√7)。

sinA=√(1-cos2A)=√(1-(1/(2√7))2)=√(1-1/(4*7))=√(1-1/28)=√(27/28)=√(9*3)/(2√7)=3√21/(2√7)。

在△ABC中，由正弦定理，a/sinA=b/sinB。sinB=b*sinA/a=√7*(3√21/(2√7))/3=(√7*3√21)/(6√7)=√21/2。

（另一種解法：cosA=1/(2√7)。sin2A=1-cos2A=1-1/(4*7)=27/28。sinA=√(27/28)=3√21/(2√7)。

由正弦定理，b/sinB=a/sinA。sinB=(b*sinA)/a=(√7*3√21)/(3*2√7)=√21/2。）

5.解：數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n。

當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=12+1=2。

當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。

驗(yàn)證n=1時(shí)是否滿足：a?=2n=2*1=2。滿足。

故通項(xiàng)公式為a?=2n。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題**考察了集合、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、積分、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)概念和計(jì)算。

**二、多項(xiàng)選擇題**考察了奇偶性、函數(shù)性質(zhì)、連續(xù)性與可導(dǎo)性關(guān)系、極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、解析幾何關(guān)系等需要綜合判斷的知識(shí)點(diǎn)。

**三、填空題**考察了復(fù)數(shù)運(yùn)算、排列組合概率、直線平行條件、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、解析幾何中圓的性質(zhì)、數(shù)列求通項(xiàng)等基礎(chǔ)運(yùn)算和概念。

**四、計(jì)算題**考察了指數(shù)對(duì)數(shù)方程求解、有理函數(shù)積分、函數(shù)極值、解三角形（余弦定理、正弦定理）、數(shù)列通項(xiàng)求解等較為綜合的運(yùn)算能力。

**知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)**

1.**集合論與常用函數(shù)**

*集合的表示法（列舉法、描述法）、集合間的基本關(guān)系（包含、相等）、集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）。

*常用函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、分段函數(shù)）的定義域、值域、圖像、性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）。

*函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的判定與證明。

*函數(shù)圖像的變換（平移、伸縮）。

2.**方程與不等式**

*代數(shù)方程（一元一次、一元二次、高次、分式、無(wú)理方程）的解法。

*對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程的解法。

*一元二次不等式的解法。

*含參不等式的解法。

*絕對(duì)值不等式的解法。

3.**數(shù)列**

*數(shù)列的概念（通項(xiàng)、前n項(xiàng)和）。

*等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)。

*數(shù)列求通項(xiàng)的方法（公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等）。

*數(shù)列與函數(shù)、不等式、極限的聯(lián)系。

4.**三角函數(shù)與解三角形**

*三角函數(shù)的定義（任意角、單位圓）。

*三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）。

*和差角公式、倍角公式、半角公式及其應(yīng)用。

*解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）。

*三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性）。

*三角函數(shù)的恒等變形與求值、化簡(jiǎn)。

5.**解析幾何**

*直線：方程（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式）、直線間的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）、夾角公式、點(diǎn)到直線的距離公式。

*圓：方程（標(biāo)準(zhǔn)式、一般式）、圓與直線的關(guān)系、圓與圓的關(guān)系。

*圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、漸近線等）。

*參數(shù)方程與極坐標(biāo)（基礎(chǔ)概念和簡(jiǎn)單計(jì)算）。

6.**微積分基礎(chǔ)**

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