圖形的周長與面積圖形的周長與面積模塊一：基本圖形的周長模塊一：基本圖形的周長知識精講知識精講1、三角形：三邊之和2、正方形：C=4a3、長方形：C=2(a+b)常用方法總結：（1）對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些不規(guī)則的比較復雜的幾何圖形，我們可以采用轉化的數(shù)學思想方法割補成基本圖形，利用長方形、正方形周長及面積計算的公式求解．（2）轉化是一種重要的數(shù)學思想方法，在轉化過程中要抓住“變”與“不變”兩個部分．轉化后的圖形雖然形狀變了，但其周長和面積不應該改變，所以在求解過程中不能遺漏掉某些線段的長度或某部分圖形的面積．轉化的目標是將復雜的圖形轉化為周長或面積可求的圖形．（3）尋求正確有效的解題思路，意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑．因此，我們在解決數(shù)學問題時，思考的著重點就是要把所需解決的問題轉化為已經(jīng)能夠解決的問題．也就是說，在直接求解不容易或很難找到解題途徑的問題時，我們往往轉化問題的形式，從側面或反面尋找突破口，知道最終把它轉化成一個或若干個能解決的問題．這種解決問題的思想在數(shù)學中叫“化歸”，它是數(shù)學思維中重要的思想和方法．（4）在幾何中，有許多圖形是由一些基本圖形組合、拼湊而成的．這樣的圖形我們稱為不規(guī)則圖形．不規(guī)則圖形的面積往往無法直接應用公式計算．那么，不規(guī)則圖形的面積怎樣去計算呢？對稱、旋轉、平移這幾種幾何變換就是解決這類面積問題的手段．幾個重要的解題思想（1）平移在平面圖形的計算中，常常要將一個平面圖形移動到平面上的另一個位置進行計算．其中，將圖形沿一個固定方向的移動叫做平移，一個圖形經(jīng)過平行移動不改變其形狀與大小，所以圖形面積是保持不變的．利用圖形的平移，可以使面積計算問題的解法簡捷明快，頗有新意．（2）割補割補法在我國古代叫“出入相補原理”，我國古代魏晉時期著名的數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中就明確地提出“出入相補，各從其類”的出入相補原理．這個原理的內容是幾何圖形經(jīng)過分、合、移、補所拼湊成的新圖形，它的面積不變．（3）旋轉在平面圖形的割補中，有時要將一個圖形繞定點旋轉到一個新的位置，產(chǎn)生一種新的圖形結構，圖形在轉動過程中形狀大小不發(fā)生改變．利用這種新的圖形結構可以幫我們解決面積的計算問題．（4）對稱平面圖形中有許多簡單漂亮的圖形都是軸對稱圖形．軸對稱圖形沿對稱軸折疊，軸兩側可以完全重合．也就是說，如果一個圖形是軸對稱圖形，那么對稱軸平分這個圖形的面積．熟悉軸對稱圖形這個性質，對面積計算會有很大幫助．（5）代換在幾何計算中，對有關數(shù)量進行適當?shù)牡攘看鷵Q也是解決問題的已知技巧．小結：本講主要通過求一些不規(guī)則圖形的周長，體會一種轉化思想，重點在于把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形的方法，包括平移、旋轉、割補、差不變原理，通過這些方法的學習，讓學生體會求周長的技巧，提高學生的觀察能力、動手操作能力、綜合運用能力．經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】已知如下圖，一個六邊形的6個內角都是120o，其連續(xù)四邊的長依次是1，9，9，5厘米。求這個六邊形的周長。[思路]：【例2】求圖中所有線段的總長(單位：厘米)解析：圖中共10條線段，總長為48厘米。【例3】三只猴子走得一樣快，所走的路線如下圖。哪只猴子先吃到桃子，就在它旁邊的()里畫勾。解析：A先吃到桃子?！纠?】用一塊長分米，寬分米的長方形紙板與兩塊邊長分米的正方形紙板拼成一個正方形．拼成的正方形的周長是多少分米？解析：拼成的正方形周長為32分米。【例5】用若干個邊長都是厘米的平行四邊形與三角形(如右圖)拼接成一個大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個？解析：三角形與小平行四邊形的數(shù)量相等，都是40個?！纠?】（第六屆走美四年級初賽第15題）E是正方形ABCD的邊CD上的三等分點(如圖)，BE把正方形分成一個梯形和一個三角形．梯形的周長比三角形的周長大8厘米．正方形ABCD的面積是36平方厘米．【例7】如圖所示，一個大長方形被三條線段分成了四個小長方形，各條線段長度見圖(單位：厘米)．求：圖中所有長方形的周長之和．解析：與線段的找法一樣，同樣也有10個長方形，周長之和為136厘米?！纠?】如圖，正方形ABCD的邊長是6厘米，過正方形內的任意兩點畫直線，可把正方形分成9個小長方形。這9個小長方形的周長之和是厘米。解析：6×（4+4×2）=72（厘米）；這9個小長方形的周長之和是72厘米．【例9】將若干個邊長為的正六邊形(即單位六邊形)拼接起來，得到一個拼接圖形，如圖：那么，要拼接成周長等于的拼接圖形，需要多少個單位六邊形？畫出對應的一種圖形．解析：要拼接成周長等于18的拼接圖形，需要4或5或6或7個單位六邊形．【例10】如圖3所示，這是三個邊長為10厘米的正方形紙片。從（1）和（2）中各剪去一個面積是4平方厘米的小正方形，從（3）中剪去一個面積是4平方厘米的長方形。比較（1），（2），（3），剩下部分周長最小的是_________（填圖形編號），它的周長是_________厘米。解析：根據(jù)圖形（1）可以看出，減去面積是4平方厘米的小正方形后，周長沒有變化，還是10×4=40（厘米）；根據(jù)圖形（2）可以看出，減去面積是4平方厘米的小正方形后，周長增加了2個小正方形的邊長，即增加了2×2=4厘米，所以周長是40+2×2=44（厘米）；根據(jù)圖形（3）可以看出，減去小長方形后，周長增加了2個4厘米的長，所以周長是40+4×2=48（厘米）綜上所述，剩下部分周長最小的是（1），它的周長是40厘米．故答案為：（1）；40．【例11】一個長為厘米，寬為厘米的長方形，挖去一個邊長為厘米的正方形補在另一邊上（如圖）。所得圖形的周長為60厘米?！纠?2】如下圖是某校的平面圖，已知線段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．楊老師每天早晨繞學校跑3圈，問每天跑多少米？解析：王老師每天跑1260米?！纠?3】將邊長為10厘米的六張正方形紙片如圖那樣放置，每張小正方形紙片被蓋住的部分是一個較小的正方形，它的邊長是原正方形邊長的一半，則圖中的圖形外輪廓（圖中粗線條）的周長為___________厘米。【例14】兩只小螞蟻同時從圖中的點出發(fā)開始爬向點，紅螞蟻沿圖中的實線爬行，黑螞蟻沿圖中虛線爬行，如果兩只螞蟻的爬行速度相同，則最先到達點的是黑螞蟻．【例15】(第七屆”小機靈杯”數(shù)學競賽初賽)下面兩張圖中，周長較大的是B．(在橫線上填寫表示圖名的字母)【例16】如右圖所示，在一個正方形內畫中、小兩個正方形，使三個正方形具有公共頂點，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙和丙．甲的邊長為厘米，乙的邊長是甲的周長的倍，丙的周長是乙的周長的倍，那么丙的周長為多少厘米？長多少厘米？解析：乙的周長實際是正方形AHJE的周長，丙的周長實際是正方形ABCD的周長=36所以EF=AEAF=2（厘米）模塊二：基本圖形的面積模塊二：基本圖形的面積知識精講知識精講平面圖形所圍成的平面的大小叫做平面圖形的面積，常見的幾種規(guī)則圖形的面積公式有：引言：隨著小升初考察難度的增加，幾何問題變越來越難，一方面，幾何問題仍是中學考察的重點，各學校更喜歡幾何思維好的學生，這樣更有利于小學和初中的銜接；另一方面幾何問題由于類型眾多，很多知識點需要提前學，這就加快了學生知識的綜合運用，而這恰恰是重點中學學校所期望的。所以近幾年的幾何難度年年在增加，很多學校的考題可以說超出小學的范圍，本節(jié)主要是通過分析例題來講解其中的相關知識點和解題思維。例題解析例題解析【例1】如圖，在三角形ABC中，，D為BC的中點，E為AB上的一點，且BE=AB,已知四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積.（06年清華附中入學測試題）【例2】四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是______米.【解】小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，所以外邊四個面積和是51=4，所以每個三角形的面積是1，這個圖形是“玄形”，所以長直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長，所以求出短邊長就是1?！纠?】如圖在長方形ABCD中，△ABE、△ADF、四邊形AECF的面積相等?！鰽EF的面積是長方形ABCD面積的______(填幾分之幾)。（03年資源杯試題）。【解】連接AC，首先△ABC和△ADC的面積相等，又△ABE和△ADF的面積相等，則△AEC和△AFC的面積也相等且等于ABCD的1/6，不難得△AEC與△ABE的面積之比為1/2，由于這兩個三角形同高，則EC與BE之比為1/2，同理FC與DF之比也為1/2。從而△ECF相當于ABCD面積的1/18，而四邊形AECF相當于ABCD面積的1/3，從而答案為1/31/18=5/18?！纠?】如圖1，一個長方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，則圖中陰影部分的面積為_____【解】設圖示兩個三角形的面積分別為a和b，因為△AED面積等于ABCD的一半，則△ABE加上△DEC的面積也等于ABCD的一半。而△FDC的面積也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+陰影面積，可見陰影面積=23+32+12=67?！纠?】右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是平方厘米．【解】：連接AD,則AF是三角形AED的底ED的高,CD是三角形ABD的底AB的高.四邊形ABDE的面積=三角形AED的面積+三角形ABD的面積=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×12=28+18=46?！窘狻咳缦滤荆簩⒈辈糠殖蓛蓚€三角形，并標上字母所以修剪北部草坪需要20+24＝44分鐘．評注：在本題中使用到了比例關系，即：S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；有時把這種比例關系稱之為燕尾定理．【例7】（★★）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD與AD垂直，則四邊形的面積等于多少？[思路]：顯然四邊形ABCD的面積將由三角形ABD與三角形BCD的面積求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通過勾股定理求出，進而可以判定三角形BCD的形狀，然后求其面積．這樣看來，BD的長度是求解本題的關鍵．【例8】（★★）將下圖中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2:3。已知右圖中3個陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少？[思路]：小升初中常把分數(shù)，百分數(shù)，比例問題處理成份數(shù)問題，這個思想一定要養(yǎng)成。解：粗線面積：黃面積=2：3綠色面積是折疊后的重疊部分，減少的部分就是因為重疊才變少的，這樣可以設總共3份，后來粗線變2份，減少的綠色部分為1份，所以陰影部分為21=1份，【例9】（★★★）如圖，長方形的面積是小于100的整數(shù)，它的內部有三個邊長是整數(shù)的正方形，①號正方形的邊長是長方形長的5/12，②號正方形的邊長是長方形寬的1/8。那么，圖中陰影部分的面積是多少？[思路]：從整除入手，我們可以推出長方形的面積只能是8×12=96，再入手就很簡單可。解：=1\*GB3①的面積就是5×5=25=2\*GB3②的面積是1×1=1最大的空白正方形面積=（81）×（81）=49陰影面積==21[總結]：整除的一些討論能提高我們的速度！【例10】（★★★）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米？[方法一]：[思路]：充分利用圖形中的同（等）底，同（等）高關系，這是小升初最基礎的考點。解：連接CF，CF//BD?？梢缘玫疥幱安糠置娣e也等于BCD的面積（利用同底等高）?！郆FD=DCB=10×10/2=50[方法二]：[思路]由于沒有告訴我們小正方形的邊長，我們可以判斷陰影的面積跟小正方形的邊長沒關系，這樣我們大膽的設小正方形的邊長為a。解：陰影面積=四邊形BEFD面積三角形BEF面積四邊形BEFD面積=三角形BCD+梯形CDEF面積=10×10÷2+（a+10）×a÷2三角形BEF面積=BE×EF÷2=（a+10）×a÷2所以陰影面積=四邊形BEFD面積三角形BEF面積=10×10÷2+（a+10）×a÷2（a+10）×a÷2=10×10÷2=50[總結]：小升初考試對面積的處理方法中，“加減法”和“切割法”是最常用的方法，本題是對這兩個方法的綜合運用，建議學生要深刻理解方法的運用，多做練習。[方法三]：極限判斷[思路]：由于沒有告訴我們小正方形的邊長，我們可以判斷陰影的面積跟小正方形的邊長沒關系，這樣我們考慮邊長的特殊情況，如果小正方形的邊長小到0，這樣的話G，F(xiàn)，E都縮到C點上，這樣原來陰影面積B，D兩點沒變，F(xiàn)點變到C點[總結]：這種極限考慮的思路一定要注意是使用的條件，如果能熟練的運用可以大大的提高解題的時間。【例11】（★★★）如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？[方法一]：公共部分的運用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共部分是解題的關鍵。解:GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積陰影MDE面積=(BCM面積+空白面積)(MDE面積+空白面積)=三角形BHE面積長方形CDEH面積=3×6÷23×2=3[總結]：對于公共部分要大膽的進行處理,這樣可以把原來無關的面積聯(lián)系起來,達到解題的目的.【例12】（★★★）如右圖，單位正方形ABCD，M為AD邊上的中點，求圖中的陰影部分面積。【解1】：兩塊陰影部分的面積相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=，所以陰影面積為×2=【解3】：如右圖，連結DG，有：S△ACM=S△BAM（同底等高），又S△BAG=S△ADG（△BAG與△ADG關于AC對稱）又S△AGM=S△GDM（等底同高）【例13】（★★★）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（陰影部分）的面積為多少？【解答】：因為缺少尾巴，所以連接BN如下，拼接法【例14】如圖6，在一塊長為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個單位），求陰影部分草地的面積?！纠?5】（★★★★）如圖，ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點。則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘米？[思路]：出現(xiàn)梯形時可以考慮一下”燕尾定理”的運用.解:連接AC,OE,OF這樣我們可以發(fā)現(xiàn)S1的面積是整個四邊形的1/4=18,在梯形BCOF中,BC=2×OF,這樣我們運用”燕尾定理”得:S5:S3:S2:S4=1:4:2:2,把面積分成9份,求出陰影面積占5份,同理可以求出梯形CDEO中陰影也占5份,所以陰影面積=(7218)×(5/9)=30,總陰影面積為30+18=48平方厘米[總結]：”燕尾定理”的結論對解題速度有很大的提高,建議學生牢記![方法二]：可以得到空白部分是DEBF面積的2/3?？瞻撞糠置娣e為24，7224=48平方厘米?！纠?6】（★★★★）圖是一個正方形，其中所標數(shù)值的單位是厘米。問：陰影部分面積是多少平方厘米？[思路]已知的都是空白部分的長度，所以陰影面積肯定是通過“加減法”來求，這樣我們就退求空白面積，但空白部分是兩個三角形的重疊，所以我們可以“切割”三角形。解：給各點標字母，連接GC，空白部分就分成4個三角形，很明顯，GEC，GED等底同高，面積相等。GFB和GFC也面積相等。設4個面積如圖，得：DFC的面積=X+X+Y=（10+10）×10÷2=100BEC的面積=Y+Y+X=（10+10）×10÷2=100解得X=100/3，所以陰影面積=20×20（100/3）×4=800/3[總結]：此解可以用以這種條件的任一個題中，但要求學生對二元一次方程做基礎練習。[方法二]：燕尾定理的運用[思路]：構建燕尾定理，通過總結的定理來求解解：構建燕尾定理的條件，如果連接BD，這樣我們可以發(fā)現(xiàn)三角形DCF和ECB的面積相等，而兩個面積都減去四邊形ECFG的面積還是相等，這樣我們知道左下角的X和右上角的Y面積相等。而根據(jù)燕尾定理我們可以知道三角形BDG的面積和BGC的面積比就是DE和EC的比，即1：1。所以面積為2Y，這樣我們就把正方形面積的一半即三角形BCD的面積表示成X+X+Y+Y+2Y=20×20÷2=200，X=Y，所以X=Y=100/3，所以陰影面積就是=20×20(X+X+Y+Y)=20×20400/3=800/3【例17】在三角形ABC的各邊上，分別取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA長的三分之一，如果三角形DEF的面積為2平方厘米，求三角形ABC的面積是多少？解析：同理S△ADF=2/9S△ABCS△CEF=2/9S△ABC∴S△DEF=S△ABC(2/9S△ABC+2/9S△ABC+2/9S△ABC)=1/9S△ABC∴S△ABC=9S△DEF=2×9=18所以三角形ABC的面積是18平方厘米?！纠?8】在圖中，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點E，且AF＝CE，BG＝DE，當四邊形ABCD的面積為25平方厘米時，三角形EFG的面積是多少？解析：三角形EFG的面積是1平方厘米.根據(jù)等底同高的兩個△的面積必然相等得到△CDE與△CGB面積相等、△ADE與△AGB面積相等所以△AGC的面積=四邊形ABCD的面積=1平方厘米.同樣的：△FAG與△CEG面積相等所以,三角形EFG的面積也是1平方厘米!【例19】如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形BGHF的面積是________平方厘米?！窘狻浚貉娱LEB到K，使BK=CD。三角形EGK與三角形DGC成比例，DC：EK=2：3，所以DG：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以四邊形EBFG=EGKBKF=24。同理，EB：DC=1：2，所以BH：HD=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四邊形BGHF的面積是2410=14【例20】直線CF與平行四邊形ABCD的AB邊相交于E點，如果三角形BEF的面積為6平方厘米，求三角形ADE的面積是多少？解析：據(jù)分析可知：三角形CBF的面積等于平行四邊形ABCD的面積的一半，而三角形ADE和三角形CBE的面積和也等于平行四邊形ABCD的面積的一半，所以三角形CBF的面積等于三角形ADE和三角形CBE的面積和，三角形BEF和三角形ADE的面積相等，因為三角形BEF的面積為6平方厘米，所以三角形ADE的面積是6平方厘米；故答案為：6．【例21】（★★★）如圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？【解答】：連結AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，∴S△AGD=AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），∴DE=3.2（厘米）。模塊三：模塊三：圓和扇形的初步認識1、圓和圓周長 1）圓的幾個要素：圓心O、半徑，直徑．2、弧與弧長1）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，用符號“”表示，如以A，B為兩端點的弧，記作，讀作弧，如圖中的又稱作半圓． 2）圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角，如圖中的∠AOB稱為圓心角．4、扇形1）扇形概念：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形，圖中的扇形記作扇形OAB．3）扇形統(tǒng)計圖：用圓的面積表示一組數(shù)據(jù)的整體，用圓中扇形面積與圓面積的比來表示各組部分在總體中所占的百分比的統(tǒng)計圖，也叫“餅形統(tǒng)計圖”．經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】要畫一個周長為28．26cm的圓，應該用圓規(guī)的兩腳在直尺上量?。?C ）．A．9cm B．3cm C．4．5cm D．1．5cm【例2】如果圓的半徑增加3cm，那么圓的周長增加____6____厘米．【例3】在半徑為10厘米的圓中，72°圓心角所對的弧長是多少厘米？4【例4】小明騎車到A、B和C三個景點旅游，如果從A地出發(fā)經(jīng)過B地到C地，共行10千米；如果從B地出發(fā)經(jīng)過C地到A地，共行13千米；如果從C地出發(fā)經(jīng)過A地到B地，共行11千米，則距離最短的兩個景點之間相距4千米?！纠?】求下圖中陰影部分的周長【例6】一個圓半徑從3厘米增加到4厘米，面積增加了__7___（結果保留）．【例7】