4/4《綜合法和分析法》疑難點(diǎn)撥一、綜合法解讀1.一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.2.綜合法的特點(diǎn)：(1)從“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因?qū)Ч鸩酵评?，?shí)際上是尋找每一步成立的必要條件.(2)用綜合法證明時(shí)，證明步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔，易于表達(dá)推理的思維軌跡.(3)用綜合法證明命題“若則”可表示為如圖所示的思考過(guò)程.故要從推理到，由推演出的中間結(jié)論未必唯一，如、、等，而由、、能推演出的進(jìn)一步的中間結(jié)論可能更多，如、、、、等，所以如何找到“切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是利用綜合法證明問(wèn)題的關(guān)鍵.例1(★★☆}在中，設(shè)，，求證：.解題導(dǎo)引數(shù)量積定義數(shù)量積運(yùn)算三角形面積結(jié)論例2(★★☆)設(shè)，，.(1)求證：；(2)求證：.解題導(dǎo)引要證的不等式是在已知條件下成立的，從不等式的結(jié)構(gòu)與已知的關(guān)系進(jìn)行考慮，可用綜合法證明.二、分析法解讀(1)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求結(jié)論成立的充分條件，因此分析法又叫做逆推證法或執(zhí)果索因法.(2)分析法與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，逆著分析，由未知、需知逐漸地靠近已知（已知條件、已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、定理、公理、公式、法則等）.這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的毎一步都是可以逆推的，它的常見(jiàn)書(shū)寫(xiě)形式是“要證……，只需證……”或“”.(3)用表示要證明的結(jié)論，則分析法可表示為：得到一個(gè)明顯成立的條件分析法是綜合法的逆過(guò)程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，逐步推理，實(shí)際上是要尋找每一步成立的充分條件.(4)由于分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性，分析法有獨(dú)特的表述，如圖所示.(5)分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，用分析法思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的順序可表述為：(對(duì)于命題“若則”)從上溯尋其論據(jù)，如，，等，再尋求，，的論據(jù)，如，，，，等，如果的論據(jù)之一恰為已知條件，于是命題即可得證.例3(★★☆)已知，求證：.解題導(dǎo)引從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件.三、直接證明直接從原命題的條件逐步推得命題的結(jié)論成立，這種證明方法通常稱為直接證明.(1)直接證明的一般形式：本題結(jié)論.(2)綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，也是解決問(wèn)題常用的思維方式.例4(★★☆)已知，，求證：.解題導(dǎo)引可采用綜合法或分析法證明.

參考答案例1.答案：見(jiàn)解析解析：證明因?yàn)椋?，所以，于?導(dǎo)師點(diǎn)睛這個(gè)證明是從已知條件入手，利用已有數(shù)學(xué)結(jié)論（定義、定理、公式等）經(jīng)過(guò)一系列推理，得到所要證明的結(jié)論，其證明的過(guò)程可以歸結(jié)為：（已知）(結(jié)論）.例2.答案：見(jiàn)解析解析：證明(1)，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).(2)，..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).導(dǎo)師點(diǎn)睛（1)綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч保瑥囊阎鸩酵葡蚪Y(jié)論.(2)綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Ч?，是?shù)學(xué)中最常用的證明方法.例3.答案：見(jiàn)解析解析：證明要證，只需證，只需證，即，即證，只需證，即證.因?yàn)楹愠闪?，所以原不等式成?故.導(dǎo)師點(diǎn)睛本題利用不等式性質(zhì)解題，需注意只有不等號(hào)兩端均為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能直接平方.例4.答案：見(jiàn)解析解析：證明證法一：用綜合法.，，.又，，，.證法二：用分析法.要證，只需證，只需證，又，，只需證，即證，顯然成立，成立.導(dǎo)師點(diǎn)睛