10.1計數(shù)原理【考點梳理】1．分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．4．兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時的方法最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析——是需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．考點一分類加法計數(shù)原理【例題】（1）現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．7種 B．9種 C．14種 D．70種【答案】C【解析】分為三類：從國畫中選，有2種不同的選法;從油畫中選，有5種不同的選法;從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法，故選：C.（2）為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（

）A．11種 B．19種 C．30種 D．209種【答案】C【解析】該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，所以共有種不同接種點的選法，故選：C．（3）從甲地出發(fā)前往乙地，一天中有4趟汽車、3趟火車和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發(fā)，去乙地旅游，則所有不同走法的種數(shù)是（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】D【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可知共有4＋3＋1＝8種不同的走法，故選：D.（4）解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個人只會用第一種方法，有3個人只會用第二種方法，從這5個人中選1個人能解這道題目，則不同的選法共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：不同的選法共有（種），故選：B.（5）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有_種.【答案】9【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種，故答案為：9.【變式】（1）某班有男生13人，女生17人，從中選一名學(xué)生為數(shù)學(xué)課代表，則不同的選法共有（

）A．30種 B．17種 C．221種 D．13種【答案】A【解析】從該班男中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有13種方法，從該班女中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有17種方法，不同的選法的種數(shù)有種，故選：A．（2）立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果．王老師的果籃里有草莓，蘋果，芒果3種水果．李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，獼猴桃4種水果．小華可以任選一個水果．小華可能拿到的水果有（

）．A．7種 B．6種 C．12種 D．11種【答案】B【解析】王老師有3種水果，李老師有4種水果．其中蘋果是重復(fù)的，所以小華可能拿到的水果總共有（種），故選：B.（3）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，則當集合C中有且只有一個元素時，C的情況有種．【答案】7【解析】分兩種情況：當集合C中的元素屬于集合A時，有3種；當集合C中的元素屬于集合B時，有4種．因為集合A與集合B無公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7(種)，故答案為：7.（4）一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，則不同的取法有______種．【答案】37【解析】一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法有種，故答案為：37．（5）在最強大腦第七季比賽中，選手通過激烈角逐，分別坐上S、A、B、C等4個圈層．各個圈層分別有4人，12人，16人，24人．小明從中選擇一人作為他的私人教練有種選法．【答案】【解析】由分類加法計數(shù)原理可得：不同選法共有（種），故答案為：.考點二分步乘法計數(shù)原理【例題】（1）某景區(qū)南面設(shè)有兩個進出口，北面設(shè)有三個進出口，游客可從任何一個進出口進入景區(qū)，再從另外一個進出口離開景區(qū)，游客進出景區(qū)的不同方式有（

）A．6種 B．12種 C．16種 D．20種【答案】D【解析】由題意可知游客進入景區(qū)有5種方法，出景區(qū)有4種方法，則由分步計數(shù)原理可知，游客進出景區(qū)的不同方式有種方法，故選：D.（2）由村去村的道路有4條，由村去村的道路有3條，從村經(jīng)村去村不同的走法有（

）A．7種 B．9種 C．11種 D．12種【答案】D【解析】由分步乘法計數(shù)原理知有種不同的走法，故選：D.（3）某影劇院東側(cè)有3個大門，西側(cè)有2個大門，每個門都可進出，某人到該影劇院看表演，則他進、出門的方案有（

）A．6種 B．5種 C．20種 D．25種【答案】D【解析】由題意得，進門有5種方案，出門有5種方案，所以共有種方案，故選：D.（4）現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，如果選一條長褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為（

）A．7 B．64 C．12 D．81【答案】C【解析】由題意，有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，從中四件不同款式的上衣中，任選一件有種選法，從中三件不同顏色的長褲中，任選一件有種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種不同的選法，故選：C.（5）在平面直角坐標系中，點的橫坐標在集合內(nèi)取值，縱坐標在集合內(nèi)取值，則不同的點共有個．【答案】4【解析】根據(jù)題意，點的橫坐標在集合內(nèi)取值，有2種情況，縱坐標在集合內(nèi)取值，有2種情況，所以不同的點有個，故答案為：．（6）加工某個零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有種.【答案】【解析】每道工序為一步，共分3步，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，共有種，故答案為：.【變式】（1）某大學(xué)食堂備有6種葷菜、5種素菜、3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數(shù)為（

）A．30 B．14 C．33 D．90【答案】D【解析】因為備有6種素菜，5種葷菜，3種湯，所以素菜有6種選法，葷菜有5種選法，湯菜有3種選法，所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有種，故選：D.（2）現(xiàn)有3位游客來黃山旅游，分別從4個景點中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．24 D．12【答案】B【解析】每位游客有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理知不同選法的種數(shù)是，故選：B.（3）從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有種.【答案】6【解析】由分步計數(shù)的乘法原理，從甲地去丙地可選擇的旅行方式有種，故答案為：6.（4）某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種），故選：B.（5）有一項活動，要從4名老師?7名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加，若需要1名老師?1名學(xué)生參加，則有種不同的選法.【答案】60【解析】完成選人工作需要兩步，第一步先選老師，共有種選法，第二步再選學(xué)生，有兩類，要么選男生共種選法；要么選女生共種選法，由分類加法計數(shù)原理得到一共有15種選法，若需要1名老師?1名學(xué)生參加，需完成第一二步，由分步乘法計數(shù)原理得：則有種不同的選法，故答案為：60.（6）用0，2，4，6，8這五個數(shù)字，可以組成個三位正整數(shù)．【答案】100【解析】百位不能為0，有4種選法，十位有5種選法，個位有5種選法，所以共有種，故答案為：100.【方法總結(jié)】1．運用分類加法計數(shù)原理時，首先要根據(jù)問題的特點，確定分類標準．分類應(yīng)滿足：完成一類事情的任何一種方法，必須屬于某一類且僅屬于某一類，即類與類之間具有確定性與并列性，亦即類與類之間是獨立的、互斥的．2．運用分步乘法計數(shù)原理時，要確定分步的標準．分步必須滿足：完成一件事情必須且只須完成這幾步，即各個步驟是相互依存的，且“步”與“步”之間具有連續(xù)性．3．在處理具體的應(yīng)用問題時，必須先分清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”與“分步”的具體標準是什么，選擇合理、簡潔的標準處理事件，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏．4．對于既要運用分類加法計數(shù)原理，又要運用分步乘法計數(shù)原理的復(fù)雜問題，可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或樹形圖來進行分析，掌握這點對學(xué)習本節(jié)很重要，它可使問題的分析過程更直觀、更明晰，便于探索規(guī)律．5．解答計數(shù)應(yīng)用問題的總體思路：根據(jù)完成事件所需的過程，對事件進行整體分類，確定可分為幾大類，整體分類以后，再確定在每類中完成事件要分幾個步驟，這些問題都弄清楚了，就可以根據(jù)兩個基本原理解決問題了，此外，還要掌握一些非常規(guī)計數(shù)方法，如：(1)枚舉法：將各種情況一一列舉出來，它適用于種數(shù)較少且計數(shù)對象不規(guī)律的情況；(2)轉(zhuǎn)換法：轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題；(3)間接法：若用直接法比較復(fù)雜，難以計數(shù)，則可考慮利用正難則反的策略，先計算其反面情形，再用總數(shù)減去即得．10.1計數(shù)原理一、選擇題1．書架上有1本語文書，3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，某位同學(xué)從中任取1本，共有（

）種取法.A．8 B．7 C．12 D．5【答案】A【解析】任取1本可分三類：第一類取的是語文書，第二類取的是數(shù)學(xué)書，第三類取的是物理書，由此可得取法為，故選：A．2．3名志愿者，每人從4個不同的崗位中選擇1個，則不同的選擇方法共有（

）A．12種 B．64種 C．81種 D．24種【答案】B【解析】每個人都有4種選擇，故不同的選擇方法共有種，故選：B．3．從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同走法種數(shù)共有（

）A．2＋4＋3 B．2×4＋3C．2×3＋4 D．2×4×3【答案】B【解析】分兩類，一是從甲地經(jīng)乙地到丙地，有2×4種，二是直接從甲地到丙地有3種，所以從甲地到丙地的不同走法種數(shù)共有2×4＋3，故選：B.4．書架的第1層放有2本不同的數(shù)學(xué)書，第2層放有3本不同的計算機書，第3層放有4本不同的語文書，從書架上任取1本書，有（

）種不同取法？從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有（

）種不同取法？A．20，9 B．9，20 C．24，9 D．9，24【答案】D【解析】根據(jù)題意可得從書架上任取1本書，有4＋3＋2＝9種不同的取法；從書架的第1，2，3層各取1本書，有2×3×4＝24種不同的取法，故選：D.5．在本次大閱讀活動中增設(shè)了“游園會”中的“學(xué)科素養(yǎng)展”（即學(xué)科知識競答活動），某同學(xué)從高一年級11個學(xué)科素養(yǎng)展、高二年級的9個學(xué)科素養(yǎng)展中各選擇一個學(xué)科參加，則不同的選法共有（

）A．9種 B．11種 C．20種 D．99種【答案】D【解析】由題意得：先從高一年級11個學(xué)科素養(yǎng)展中任選1各科目，然后再從高二年級的9個學(xué)科素養(yǎng)展中選擇一個，共有種選法，故選：D.6．現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各1張，一共可以組成的幣值有（

）A．3種 B．6種 C．7種 D．8種【答案】C【解析】由題意得：三種幣值各取一張，共有種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；三種幣值取兩張，共有種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；三種幣值全取，共有種取法，幣值分別為捌拾圓；一共可以組成的幣值有種，故選：C.7．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有（

）A．3種 B．6種 C．7種 D．9種【答案】C【解析】分3類，買1本書，買2本書，買3本書，各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7(種)，故選：C.8．有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種【答案】B【解析】因為同學(xué)甲只能在周一值日，所以除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，所以5名同學(xué)值日順序的編排方案共有種，故選：B.9．從1~7這七個數(shù)字中選3個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．210 B．120 C．90 D．45【答案】C【解析】先從2，4，6中選1個排在個位，有種情況，再從剩下的6個數(shù)選2個排在十位和百位，有種，則根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得偶數(shù)的個數(shù)為個，故選：C.10．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，樹人中學(xué)舉行“唱紅歌”比賽，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共4人進入決賽，則甲必須在第一或第二個出場，且丁不能最后一個出場的方法有（

）A．6種 B．8種 C．20種 D．24種【答案】B【解析】由題意知：當甲第一個出場時，不同演講的方法有（種）；當甲第二個出場時，不同演講方法有（種）.所以所求的不同演講方法有（種），故選：B.二、填空題11．有不同的紅球個，不同的白球個，從中取出一個球，共有種不同的取法？【答案】15【解析】從中取出一個紅球，有種取法，從中取出一個白球，有種取法，由分類加法計數(shù)原理可知，從中取出一個球，共有種不同的取法，故答案為：15．12．某學(xué)生有語文書5本，數(shù)學(xué)書4本，英語書3本，現(xiàn)各選1本送給同學(xué)，有種不同的選法.【答案】【解析】不同的選法有：種選法，故答案為．13．某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用星期六組織學(xué)生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有種不同的選法．【答案】【解析】選2個班參加社會實踐，這2個班不同年級，2個班為高一和高二各一個班有，2個班為高二和高三各一個班有，2個班為高三和高一各一個班有，所以不同的選法共有，故答案為：．14乘積展開后共有項.【答案】8【解析】根據(jù)題意，乘積展開式后的每一項是，這2個式子中任取一項后相乘，而有2種取法，有4種取法，根據(jù)乘法原理得共有種取法，所以展開式共有8項，故答案為：8．15．有4位教師在同一年級的4個班級各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時，要求每位教師都不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法數(shù)有種.【答案】9【解析】設(shè)四位教師為A、B、C、D，所教班級分別為a，b，c，d，先選A有3種選法，若A老師選b，則B老師有3種選法，剩下兩人都只有1種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有（種）方法，故答案為：9．16．從3名男醫(yī)生和6名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組．如果這個小組中男女醫(yī)生都不能少于2人則不同的建組方案共有種.【答案】75【解析】由題意可知有兩種情況：一種是選3名男醫(yī)生2名女醫(yī)生，有種，另一種是選2名男醫(yī)生3名女醫(yī)生，有，所以由分類計數(shù)原理可得共有種建組方案，故答案為：75．17．4名同學(xué)到A?B?C三個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，且同學(xué)甲安排在A小區(qū)，則共有種不同的安排方案.【答案】【解析】根據(jù)題意，可分為兩類：（1）小區(qū)安排2人，其中一人為甲同學(xué)，共有種不同的安排方法；（2）小區(qū)只安排同學(xué)甲1人，共有種不同的安排方法，由分類計數(shù)原理，可得共有種不同的安排方案，故答案為：．18．某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有種．【答案】180【解析】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有（種），故答案為：180．三、解答題19．某?！皵?shù)學(xué)俱樂部”有高一學(xué)生10人，高二學(xué)生8人，高三學(xué)生7人.（1）從中選出1人擔任總干事，有多少種不同的選法？（2）從每一個年級各選1人擔任本年級的組長，有多少種不同的選法？【答案】(1)25；(2)560.【解析】解：(1)由題可知，該“數(shù)學(xué)俱樂部”有高一學(xué)生10人，高二學(xué)生8人，高三學(xué)生7人，從中選出1人擔任總干事，則共有10+8+7=25種選法.(2)每一個年級各選1人擔任本年級的組長，則共有種．20．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【答案】(1)種；(2)種.【解析】解：(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法，第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法，第3步從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.(2)第1類方法是4本不同的計算機書和3本不同的文藝書中各選取1本，有種方法；第2類方法是4本不同的計算機書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法；第3類方法是3本不同的文藝書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同