/數(shù)學(xué)試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁，滿分150分.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填涂在試卷上無效.3．非選擇題答案請使用黑色簽字筆填寫在答題卷對應(yīng)題目號的位置上，填寫在試卷上無效.第1卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一240人、高二200人、高三160人中，抽取60人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一年級被抽取的人數(shù)為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】高一抽取的人數(shù)分別，故選B．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.【詳解】由，可得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則該點位于第二象限.故選：B.3.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實數(shù)（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】先由圖得出用表示的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.【詳解】根據(jù)網(wǎng)格圖中的的大小與方向，易于得到，由向量與共線，可得，解得：.故選：D.4.已知空間中三點，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點到直線距離的向量坐標(biāo)公式計算即可求解．【詳解】因為，所以，則點到直線的距離為.故選：C.5.空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；【詳解】對于A，若，則或，又，當(dāng)時，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；當(dāng)時，顯然有，所以，故A正確；對于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯誤；對于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯誤；對于D，若，則或，又，則或，故D錯誤.故選：A.6.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個等級．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下面說法中正確的是（）．A.這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折線圖直接分析各選項.【詳解】A選項：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項錯誤；B選項：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來越好，B選項正確；C選項：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項錯誤；D選項：方差表示波動情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項錯誤；故選：B.7.三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圓半徑，再利用為三棱錐的高，為外接球半徑），即可求解．【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，即，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，平面，且，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，即，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：B．8.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的備選答案中，有多項符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為B.C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量共面【答案】BCD【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量數(shù)量積為0得到向量垂直可判斷B；根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量從而判斷C，得出向量共面可判斷D．【詳解】因為，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A錯誤；因為，，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C正確；由向量，可知，向量與向量共面，所以D正確．故選：BCD.10.下列說法正確的是（）A.從容量為的總體中抽取一個容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和按比例分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為則B.若，則事件A與事件B相互獨立C.一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D.若，，且事件A與事件B相互獨立，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)抽樣方法的相關(guān)概念、獨立事件的概率公式、事件之間的關(guān)系以及概率的乘法運算，逐一檢驗，可得答案.【詳解】對于A，根據(jù)抽樣方法的使用規(guī)則，可知A正確；對于B，，故B正確；對于C，設(shè)事件{兩次均為中}={中槍次數(shù)為}、事件{至多中一次}={中槍的次數(shù)為}，由，則事件包含事件，故C錯誤；對于D，由，則，因為事件與事件相互獨立，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知正方體棱長為2，P為空間中一點，下列論述正確的是（）A.若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B.若三棱錐的體積是定值C.若，有且僅有一個點P，使得平面D.若，則異面直線BP和所成角取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】A：為中點，連接，若分別是中點，連接，找到異面直線BP與所成角為或其補角，求其余弦值；B：在（含端點）上移動，△面積恒定，到面的距離恒定，即可判斷；C：若分別是中點，在（含端點）上移動，證明面，易知要使面，則必在面內(nèi)，即可判斷；D構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，進(jìn)而判斷夾角的范圍.【詳解】A：由，即為中點，連接，若分別是中點，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即或其補角，而，，，故，故A錯誤；B：由知：在（含端點）上移動，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，故B正確；C：若分別是中點，由知：在（含端點）上移動，由面，面，則面面，由，面面，面，所以面，面，則，同理可證：，由，、面，故面，而面面，要使面，則必在面內(nèi)，顯然面，故C錯誤；D：由知：在（含端點）上移動，如圖以為原點，分別為軸建系，則，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；當(dāng)，即時，則，當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，故D正確.故選：BD第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.在一次射擊訓(xùn)練中，某運動員5次射擊的環(huán)數(shù)依次是，則該組數(shù)據(jù)的方差__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式和方差公式計算可得.【詳解】因為平均數(shù)，所以方差.故答案為：13.圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為______________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圓錐的幾何特征，分別求出，最后應(yīng)用圓錐體積公式計算.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則，所以，所以圓錐的體積為.故答案：14.如圖，銳二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，，，則銳二面角的平面角的余弦值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運算，即可得到答案；【詳解】設(shè)銳二面角的平面角為，，則，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.《中華人民共和國民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對民法典的認(rèn)識程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問卷測試（滿分：100分），并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計該組測試成績的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（2）該社區(qū)在參加問卷且測試成績位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測試成績分別位于和”，求.【答案】（1）平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)及百分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定測試成績分別位于和的人數(shù)，按照古典概型計算即可.小問1詳解】由頻率分布直方圖可知測試成績的平均數(shù).測試成績落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為a，有，解得；【小問2詳解】由題知，測試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種，其中“分別落在區(qū)間和”有6種，所以.16.記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若是的中線，且，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角恒等變換求角；（2）由三角形的面積公式得的值，再由向量的線性運算及向量的模求的值，最后由余弦定理求的值.小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∵，∴.即，∵，∴.∴，即.【小問2詳解】∵由題意得，∴.∵是的中線，∴CD=∴，∴，，由余弦定理得，∴.∴的周長為.17.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù)，則需進(jìn)行點球大戰(zhàn)．點球大戰(zhàn)規(guī)則如下：第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球為一輪，球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分，未罰進(jìn)不得分，當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候，比賽即宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場罰球．若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進(jìn)入第二階段的比賽.設(shè)甲、乙兩支球隊進(jìn)入點球大戰(zhàn)，由甲隊球員先罰球，甲隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為，乙隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中，兩隊進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（1）求每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率；（2）若在點球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分，甲隊暫時以領(lǐng)先，求甲隊第5個球員需出場罰球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平局的概念，列舉出所包含的情況，利用概率的乘法公式，可得答案；（2）根據(jù)第一階段的規(guī)則，列舉出符合題意的比分，利用概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【小問1詳解】每一輪出現(xiàn)平局的情況包括：事件{甲乙兩隊都進(jìn)球}和事件{甲乙兩隊都不進(jìn)}，，，，所以每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率為.【小問2詳解】在第三輪比完之后，甲乙兩隊分差小于三分，就必須要進(jìn)行第四輪，第三輪符合題意的情況包括：事件{甲乙的比分為}、事件{甲乙的比分為}、事件{甲乙的比分為}，則，，；在第四輪比完之后，甲乙兩隊分差小于兩分，就必須進(jìn)行第五輪，在事件發(fā)生的條件下，第四輪過后符合題意的情況有事件{甲乙的比分為}，則；在事件發(fā)生的條件下，第四輪過后符合題意的情況有事件{甲乙的比分為}，則；在事件發(fā)生的條件下，第四輪過后符合題意的情況有事件{甲乙的比分為}、事件{甲乙的比分為}、事件{甲乙的比分為}，則，，；綜上所述，甲隊暫時以領(lǐng)先，甲隊第5個球員需出場罰球的概率.18.如圖，且，，且，且，平面，.（1）設(shè)面BCF與面EFG的交線為，求證：；（2）證明:（3）在線段BE上是否存在一點P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出P點的位置，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）線段BE上存在點P，且時使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（3）則以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出點坐標(biāo)，直線DP的方向向量與平面ABE的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.【小問1詳解】因為，，所以，又平面，平面，所以面，又平面，平面平面，所以.【小問2詳解】因為且，所以四邊形ADGE為平行四邊形，又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.因為平面，平面，所以，又，平面，所以CD⊥面，又面，所以，又，平面，所以面，又面，所以.【小問3詳解】由于，，，平面，，則以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖，于是，，設(shè)平面ABE的法向量為，則，，令，得，假設(shè)線段BE上