第02章一元二次方程章節(jié)（12知識點回顧+27題型練習(xí)）題型匯聚題型匯聚題型一一元二次方程的定義題型二化成一元二次方程的一般式題型三判斷是否是一元二次方程題型四由一元二次方程的定義求參數(shù)題型五判斷是否是一元二次方程的解題型六由一元二次方程的解求參數(shù)題型七一元二次方程的解的估算題型八解一元二次方程——直接開平方法題型九解一元二次方程——配方法題型十配方法的應(yīng)用題型十一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況題型十二根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)題型十三公式法解一元二次方程題型十四因式分解法解一元二次方程題型十五換元法解一元二次方程題型十六一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系題型十七傳播問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型十八增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型十九與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十?dāng)?shù)字問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十一營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十二動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十三工程問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十四行程問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十五圖表信息題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十六其他問題(一元二次方程的應(yīng)用)題型二十七握手、循環(huán)賽問題（一元二次方程的應(yīng)用）知識清單知識清單知識點1．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．知識點2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．知識點3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．知識點4．解一元二次方程直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點5．解一元二次方程配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．知識點6．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．知識點7．解一元二次方程公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知識點8．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．知識點9．解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．知識點10．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．知識點11．由實際問題抽象出一元二次方程在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．知識點12．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．題型練習(xí)題型練習(xí)題型一一元二次方程的定義1．下列一元二次方程中，一次項系數(shù)為3的是（

）【答案】B【知識點】一元二次方程的定義故選：B．【答案】1【知識點】一元二次方程的定義故答案為：1．題型二化成一元二次方程的一般式【答案】B【知識點】化成一元二次方程的一般式【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．故選：．題型三判斷是否是一元二次方程4．下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）【答案】B【知識點】判斷是否是一元二次方程【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據(jù)只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定義也是解題關(guān)鍵．故選B．題型四由一元二次方程的定義求參數(shù)A．1，，3 B．1，4， C．1，， D．1，2，3【答案】B【知識點】由一元二次方程的定義求參數(shù)【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式及其相關(guān)定義，掌握一元二次方程的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵；先把原方程化為一般形式，再求解即可．故選：．【答案】5【知識點】由一元二次方程的定義求參數(shù)故答案為：5．題型五判斷是否是一元二次方程的解【答案】8【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、判斷是否是一元二次方程的解【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值等知識點，熟練掌握整體代入法求值是解題的關(guān)鍵．，故答案為：．題型六由一元二次方程的解求參數(shù)A． B． C．2 D．4【答案】C【知識點】由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題主要考查一元二次方程解的概念，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵；故選：C．【答案】1【知識點】已知式子的值，求代數(shù)式的值、由一元二次方程的解求參數(shù)故答案為：1．題型七一元二次方程的解的估算2022.52526.2527.528.7830031.2575101.5625131.25164.0625200【答案】C【知識點】一元二次方程的解的估算故選：C題型八解一元二次方程——直接開平方法【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】此題考查了解一元二次方程，移項，然后利用直接開平方法求解即可．【知識點】解一元二次方程——直接開平方法題型九解一元二次方程——配方法【答案】A【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題主要考查配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)配方法進行求解．故選A．【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可．題型十配方法的應(yīng)用【答案】A【知識點】配方法的應(yīng)用【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法進行求解即可．故選：A．16．閱讀材料：解：根據(jù)實數(shù)的除法法則：同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為【知識點】因式分解的應(yīng)用、配方法的應(yīng)用、求不等式組的解集題型十一根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．不能確定【答案】B【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要考查了二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式．求出方程的判別式的值后，和0比較大小就可以判斷根的情況．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【答案】沒有【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況∴此方程沒有實數(shù)根，故答案為：沒有．題型十二根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【答案】C【知識點】求一元一次不等式的解集、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)故選：C．(1)求k的取值范圍；【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、由一元二次方程的解求參數(shù)【分析】本題考查一元二次方程根的判別式和己知方程的根求參數(shù)，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵，題型十三公式法解一元二次方程【知識點】公式法解一元二次方程【分析】本題主要考查公式法解一元二次方程．根據(jù)求根公式求解即可．22．按指定方法解一元二次方程【知識點】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，即降次．（1）將常數(shù)項移至方程的右邊，然后兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方配方成完全平方式后，再開方，即可得出結(jié)果；方程有兩個不等的實數(shù)根，題型十四因式分解法解一元二次方程A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】D【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題主要考查了解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程即可．故選：D．24．解方程：【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等．題型十五換元法解一元二次方程A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【知識點】換元法解一元二次方程故選B．問題：(1)在由原方程得到①的過程中，利用達到降次的目的，表現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；【答案】(1)換元，轉(zhuǎn)化【知識點】換元法解一元二次方程【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用換元法解方程．（1）換元法的目的是降次；（2）利用換元法解決問題．【詳解】（1）解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到降次的目的，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；題型十六一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系A(chǔ)． B． C．1 D．【答案】D【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．，故選：D．【知識點】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．（1）運用因式分解法求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．題型十七傳播問題(一元二次方程的應(yīng)用)29．有一個人患了某種傳染病，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患?。?1)每輪平均1個人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，三輪感染后，患病的人數(shù)會不會超過700人？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染8個人(2)患病的人數(shù)會超過700人【知識點】傳播問題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了這種傳染病即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病的人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)×8，即可求出結(jié)論．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，答：每輪傳染中平均一個人傳染8個人．（2）患病的人數(shù)會超過700人．答：患病的人數(shù)會超過700人題型十八增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)【知識點】增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系．【詳解】解：設(shè)平均每年增長率為x，題型十九與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)【答案】邊和邊減少的長度是20米【知識點】與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)答：邊和減少的長度是20米．題型二十?dāng)?shù)字問題(一元二次方程的應(yīng)用)32．如圖是2024年11月的月歷表，用一個方框在表中圈出六個數(shù)（如圖所示），若圈出的六個數(shù)中，最小的數(shù)與最大的數(shù)的乘積為112，求這個最大的數(shù)（

）A．6 B．7 C．14 D．16【答案】D【知識點】數(shù)字問題(一元二次方程的應(yīng)用)答：這個最大的數(shù)為16．故選：D．題型二十一營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)33．商場將進貨價為30元/個的臺燈以40元/個的價格銷售，每月能售出600個，調(diào)查表明：這種臺燈的銷售單價每上漲1元，其月銷售量就會減少10個．規(guī)定該臺燈的銷售單價不得低于40元且不得超過60元．為了實現(xiàn)這種臺燈的月銷售利潤為10000元，則銷售單價應(yīng)定為多少元？【答案】銷售單價應(yīng)定為50元【知識點】營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)【詳解】解：設(shè)這種臺燈的銷售單價上漲x元，答：銷售單價應(yīng)定為50元．題型二十二動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應(yīng)用)【知識點】用勾股定理解三角形、動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積公式列出方程可得出答案．【詳解】（1）解：不存在．原方程無實數(shù)根，題型二十三工程問題(一元二次方程的應(yīng)用)35．某工程隊采用A、B兩種設(shè)備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；【答案】(1)A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米(2)18【知識點】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)、工程問題(一元二次方程的應(yīng)用)（2）根據(jù)A型設(shè)備鋪的路+B型設(shè)備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．所以A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面110米；答：m的值是18．【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．題型二十四行程問題(一元二次方程的應(yīng)用)36．今年年初一美麗的白鵝潭江而進行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？【答案】(1)甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時(2)的值為【知識點】行程問題(一元二次方程的應(yīng)用)、分式方程的行程問題【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，利用時間路程速度