專題13.3三角形的內(nèi)角（舉一反三講義） 【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1利用三角形內(nèi)角和直接求角】 2【題型2三角形內(nèi)角和的證明】 3【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合】 4【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合】 5【題型5利用三角形內(nèi)角和解決折疊中的角度計(jì)算】 6【題型6利用三角形內(nèi)角和解決三角板中的角度計(jì)算】 7【題型7直角三角形的性質(zhì)】 9【題型8直角三角形的判定】 9知識(shí)點(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理定義：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°如圖所．【拓展】三角形內(nèi)角和的倒角模型：由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)及判定1.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．在ABC中，∵∠C=90°,∴∠A．2.直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．在ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形．【題型1利用三角形內(nèi)角和直接求角】【例1】（2425七年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）定義：當(dāng)三角形中其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”．若一個(gè)“倍角三角形”的其中一個(gè)內(nèi)角為48°，則這個(gè)三角形中最大的內(nèi)角度數(shù)為．【變式11】（2425七年級(jí)下·上?！て谥校┰凇鰽BC中，若∠A=12∠B=【變式12】（2425八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）加圖．△ABC平移后得列△DEF，∠A=55°，∠B=50°，則∠DFE的度數(shù)是．

【變式13】（2425七年級(jí)下·江西九江·期中）一個(gè)安全用電標(biāo)識(shí)如圖①所示，此標(biāo)識(shí)可以抽象為圖②中的幾何圖形，其中AB∥CD，ED∥BF，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上．若∠A=13°，∠B=∠D=50°，則【題型2三角形內(nèi)角和的證明】【例2】（2425七年級(jí)下·山東泰安·期中）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（

）A．如圖①所示，過三角形一邊上點(diǎn)D作ED∥CB,B．如圖②所示，過三角形內(nèi)部一點(diǎn)P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥ABC．如圖③所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)DD．如圖④所示，過三角形外部一點(diǎn)P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥AB【變式21】如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了．【變式22】（2324八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180度，是通過度量或剪拼得出這一結(jié)論的，但是，由于測量和剪拼常常有誤差，這種驗(yàn)證不是數(shù)學(xué)證明，不能完全讓人信服．所以，需要通過推理的方法去證明：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和一定等于180°．請(qǐng)完成下面證明過程．已知：如圖任意畫一個(gè)△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180證明：【變式23】（2425八年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）小明想探究三角形內(nèi)角和的度數(shù)，下面是他的探究過程，請(qǐng)你幫他把探究過程補(bǔ)充完整．在△ABC邊BC上任取一點(diǎn)E，作DE∥AC交AB于點(diǎn)D，作EF∥AB交AC于點(diǎn)F．∵DE∥AC，AB∥EF∴∠1=_______，∠3∵AB∥EF，∴∠4=_______．∵DE∥AC，∴∠4=_______，∴∠2∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C=_______．【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合】【例3】（2425七年級(jí)下·吉林長春·期中）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG平行AB，過點(diǎn)B作BG⊥DG交DG于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②∠BDG=2∠CBE；③∠AFB=135°；④∠BEC=∠FBG．正確結(jié)論的序號(hào)有【變式31】（2425七年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，D,?E分別是BA,?(1)AC，DE是否平行？說明理由．(2)若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2度數(shù)．【變式32】（2425七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE∥AB,GF∥CD，若∠A+∠D=123°，則∠EGF=°．【變式33】（2324七年級(jí)下·四川德陽·期末）如圖，AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合】【例4】（2425八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BM、CM分別平分∠ABC和∠ACB，連接AM，已知∠MBC=25°，∠MCA=30°，則∠MAB的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【變式41】（2425七年級(jí)下·河南駐馬店·期中）如圖，在△ABC中，AE是△ABC的角平分線，F(xiàn)是AE上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=60°，∠C=70°，則∠DFE的度數(shù)為（

）A．15° B．8° C．10° D．12°【變式42】（2425七年級(jí)下·北京·期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接EB，EC，∠DCE的平分線與∠ABE的平分線交于點(diǎn)P．若∠E=α°，則∠BPC=°（用含α的代數(shù)式表示）．【變式43】（2223七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=______°，∠Q______(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)______．【題型5利用三角形內(nèi)角和解決折疊中的角度計(jì)算】【例5】（2425七年級(jí)下·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2=80°，則∠BPC的度數(shù)是（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式51】（2425八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若∠1比∠2大12°，則∠1的度數(shù)為．【變式52】（2425七年級(jí)下·云南昭通·期中）如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F，若∠BFA=38°．則∠DEA=度．【變式53】（2425七年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°．第一步，將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕與邊AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D；第二步，在AC邊上找一點(diǎn)E，將紙片沿ED折疊，點(diǎn)A落在A′處；第三步，將紙片沿DA′折疊，點(diǎn)E落在E′處，當(dāng)點(diǎn)E′【題型6利用三角形內(nèi)角和解決三角板中的角度計(jì)算】【例6】（2425七年級(jí)下·江蘇連云港·期中）如圖，把一副三角板如圖擺放，點(diǎn)E在邊AC上，將圖中的△ABC繞點(diǎn)A按每秒5°速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第秒時(shí)，邊BC恰好與邊DE平行．【變式61】（2425八年級(jí)上·廣東東莞·期中）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（

）A．75° B．65° C．60° D．55°【變式62】（2425七年級(jí)下·浙江·階段練習(xí)）將一副三角板如圖放置，邊BC與邊EF在同一條直線上，∠C=∠DFE=90°,∠ABC=60°，∠E=45°．三角板DEF保持不動(dòng)，將三角板ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°．當(dāng)α=時(shí)，AB⊥DE【變式63】（2425七年級(jí)下·福建漳州·期中）已知一塊三角板CDE,∠CED=90°,∠CDE=30°,∠AOB=α0°<α<90°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C落在OB邊上，經(jīng)過點(diǎn)D作直線MN∥OB交OA邊于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)D的左側(cè)．若∠MDC的平分線DF交OB邊于點(diǎn)F①當(dāng)α=60°且DF∥OA時(shí)，CE∥OA；②當(dāng)CE∥OA時(shí)，∠OFD+1③當(dāng)∠OFD+α=150°時(shí)，DE⊥OA．正確的有（

）A．② B．①② C．①③ D．①②③【題型7直角三角形的性質(zhì)】【例7】（2425八年級(jí)上·安徽淮北·期中）直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，∠A=35°，請(qǐng)求出圖中所有銳角的值，并找出其中所有相等的銳角?！咀兪?1】（2425八年級(jí)下·河北秦皇島·期中）如圖，將直尺與30°角的三角尺疊放在一起，若∠1=65°，則∠2的大小是°．【變式72】（2425七年級(jí)下·全國·期末）如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=60°,∠C=40°，則∠DAE=度．【變式73】（2425七年級(jí)下·河南平頂山·期中）如圖，知AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠BAC=90°，DE∥AC．則下列結(jié)論：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④∠CFG+∠BDE=90°．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【題型8直角三角形的判定】【例8】（2425七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）在下列條件；①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；⑤A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【變式81】（2425七年級(jí)