初中幾何輔助線進階訓(xùn)練——菱形的輔助線一、階段一（較易）1．如圖，菱形ABCD中，AB=4，E為BC中點，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于點H，交AD于點G.（1）求證：四邊形AECG是矩形.（2）求∠CHA的度數(shù).（3）求菱形ABCD的面積.2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F.（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明：四邊形ADCF是菱形：（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面積.3．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E是AD的中點，點F，H是對角線BD上兩點，且FH=3，點G在邊BC上．若四邊形EFGH是矩形，則菱形ABCD的周長為．4．如圖1，平行四邊形ABCD中，點E、點F分別是AD、CD上的點，連接CE、（1）求證：四邊形ABCD是菱形．（2）如圖2，當(dāng)點E是AD中點時，AF與CE交于點O，連接BE、BF，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積等于△AEO面積5．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=10，點F為AD的中點，F(xiàn)E⊥BD于E，則EF的長為（）A．23 B．52 C．5326．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長是（）A．15 B．20 C．63 D．7．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O，AC=2AB，BE∥AC，OE∥AB（1）求證：四邊形ABEO是菱形．（2）若AC=45，BD=8，求四邊形ABEO的面積．8．如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別是AB、AD的中點，連接EF交對角線AC于點M，連接BM.若∠BAD=120°，AE=2，則BM的長為．9．如圖，菱形ABCD中，∠A=108°，AD的垂直平分線交對角線BD于點P，垂足為N，連結(jié)CP，則∠BPC＝度．10．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE=BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）試連接AF，CE．當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請說明理由．二、階段二（中等）11．如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．當(dāng)點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是（）A．43 B．543 C．33 D12．如圖，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長是（）A．15 B．20 C．63 D．13．如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點（1）求證：四邊形EGFH是矩形；（2）過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形14．如圖，菱形ABCD的邊長是4，∠A=60°，點G為AB的中點，以BG為邊作菱形BEFG，其中點E在CB的延長線上，點P為FD的中點，連接PB．則PB=．15．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E是AD邊上一點，且OD=OE．若AC=8，BD=6，則AE的長是．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點E，F(xiàn)為DC的中點，連結(jié)EF，BF，下列結(jié)論：①∠ABC=2∠ABF，②∠DEF+∠EBF=90°；③S四邊形DEBC=2S△EFBA．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，線DC于點F（1）求證：CE=CF；（2）若∠ABC=120°，F(xiàn)G//CE，F(xiàn)G=CE，求∠BDG.18．（問題發(fā)現(xiàn)）數(shù)學(xué)小組成員小明做作業(yè)時遇到以下問題：圖1圖2圖3（1）若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，如圖1，當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE、CA，則BP與CE（2）（類比探究）數(shù)學(xué)小組對該問題進行進一步探究：若四邊形ABCD是正方形，點P是射線BD上一動點，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作等腰Rt△APE，其中∠APE=90°，①如圖2，當(dāng)點P在對角線BD上時，小組發(fā)現(xiàn)點E恰好在射線CD上，求BP與CE之間的數(shù)量關(guān)系（過程只用說明點E在線段CD上的情況即可）；②如圖3，當(dāng)P是對角線BD的延長線上一動點時，小組發(fā)現(xiàn)點E恰好在射線CD上，連接BE，若BE=6，?AB=2，求△BPE19．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F(xiàn)是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE，EF。（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點時，BE和EF的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點E不是線段AC的中點，其它條件不變時，請你判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由。20．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，過對角線AC延長線上的一點P分別作AD、DC延長線的垂線，垂足分別為E、F，則PE-PF=。三、階段三（較難）21．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的對角線OB上有P，Q兩個動點，且PQ=2，已知點A(23，0)，∠AOC=60°，當(dāng)22．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE（A，P，E按逆時針排列），點E的位置隨點P的位置變化而變化.（1）如圖1，當(dāng)點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；（3）當(dāng)點P在直線BD上時，其他條件不變，連接BE，若AB=2，BE=31，請直接寫出△APE的面積23．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，M、N分別為線段AB、BC上的兩點．且BM=CN，AN，CM相交于點E（1）證明：△BCM≌△CAN；（2）求∠AEM的度數(shù)；（3）證明：AE+CE=DE．24．菱形ABCD的邊長為30，∠ADC=120°，點O是對角線AC中點，M是線段OC上任一點，連接DM，作∠DMN=120°，邊MN與直線AB相交于點N．小南和小浦觀察以上問題時，猜想DM=MN，老師引導(dǎo)他們用“從特殊到一般”的思想方法去嘗試研究．（1）【特例發(fā)現(xiàn)】

小南發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點M與點重合時，DM與MN的長度相等，為；（2）【探究證明】

小浦認為當(dāng)N在線段AB上時，均有“DM=MN”，請幫助完成證明．（3）【拓展運用】

①連結(jié)DN交AC于點E，求證：∠ADE+∠MDC為定值．②當(dāng)MN2+DE25．小明同學(xué)學(xué)習(xí)了菱形的知識后，結(jié)合之前學(xué)習(xí)的趙爽弦圖，編了一個菱形版“趙爽弦圖”.如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，四邊形EFGH是矩形，若FA=FB=22，則矩形EFGH的面積為26．已知，菱形ABCD（∠C＜90°）的對角線長分別為6和8，點E在邊BC上，BE＝1，若點F在直線AB上，且AE＝DF，則BF的長為.27．如圖，四邊形ABCD是菱形，點M在CD邊上，點N在菱形ABCD外部，且滿足MN∥AD，CM＝MN，連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC.（1）探究BE與AC的關(guān)系；（2）若∠ABC＝120°，探究線段BE、AD、CM所滿足的等量關(guān)系；（3）若∠ABC＝60°，M在DC的延長線上時，其余條件不變，CM＝1，AD＝3，請求出BE的長度.28．如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E為線段BC的中點.若點P是線段AB上的一動點，Q為線段AD上一動點，則△PQE的周長的最小值是.29．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是對角線BD上一點，F(xiàn)是線段AB延長線上一點且BF=DE，連接AE．（1）如圖，若E是線段BD的中點，連接EF，其他條件不變，直接寫出線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，若E是線段BD上任意一點，連接EF，其他條件不變，猜想線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系是什么？并證明你的猜想；（3）如圖，若E是線段DB延長線上一點，其他條件不變，且∠EAB=30°，菱形ABCD的周長為47，直接寫出DF30．如圖，在?ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別與AD，BC，BD相交于點E，F(xiàn)，O．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）在?ABCD中，若AB＝2.5，AD＝4，有兩動點P，Q分別從B，D兩點同時出發(fā)，沿△BAE和△DFC各邊運動一周，即點P自B→A→E→B停止，點Q自D→F→C→D停止，點P運動的路程是x，點Q運動的路程是y，當(dāng)四邊形BPDQ是平行四邊形時，則請直接寫出x+y的值為．

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC=4，∵CG∥AE，∴四邊形AECG是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEC=∠AEB=90°，∴四邊形AECG是矩形.（2）解：連接AC，如圖所示：∵E為BC中點，AE⊥BC，∴AB=AC，∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴∠B=∠BAC=60°，在等邊三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE=1同理∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，∴AE∥CG，∴∠AHC=180°-∠EAF=180°-60°=120°.（3）解：∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴AE=AB×3∴菱形ABCD的面積=BC?AE=4×232．【答案】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE∴△AEF≌△DEB(AAS)；（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF＝DB，∵DB＝DC，∴AF＝CD，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD=DC=1∴四邊形ADCF是菱形；（3）解：連接DF，如圖所示：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF＝AB＝4，∵四邊形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面積=13．【答案】124．【答案】（1）解：如圖1，∵平行四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB∵∠BAF=∠BCE，∴∠DAF=∠DCE∵∠DAF=∠DCE∠ADF=∠CDE∴△ADF≌△CDE，∴AD=CD，又∵平行四邊形ABCD中，AD=BC，CD=AB，∴AD=CD=BC=AB，四邊形ABCD是菱形；（2）解：連接DO，如圖，如圖2，符合條件的三角形有：△ADF，△CDE，△AEB，△CBF，理由如下：在（1）已證得：△ADF≌△CDE，則有∠DFA=∠DEC，DE=DF，∠DAF=∠DCE，∴∠AEO=180°-∠DEC=180°-∠DFA=∠CFO，∵根據(jù)（1）中證得平行四邊形ABCD是菱形，且E、F是AD、DC中點，∴AD=DC，∴AE=ED=DF=FC，∵∠EOA=∠FOC，∴△AEO≌△CFO，∴EO=OF，AO=OC，∴△ADO≌△CDO，△EDO≌△FDO，∵△AEO與△DOE同高等底，∴S△AEO∴S△AEO∴S△ADF∴△ADF滿足條件，∴根據(jù)全等的性質(zhì)可知△DEC滿足條件，∵AD∥BC，DE=AE，∴S△CDE∴△AEB滿足條件，∵AB∥DC，DF=FC，∴S△ADF∴△BCF滿足條件，則滿足條件的三角形有：△ADF，△CDE，△AEB，△CBF．5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】（1）證明：∵BE∥AC，OE∥AB，∴四邊形ABEO是平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2AO．∵AC=2AB，∴AO=AB，∴四邊形ABEO是菱形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=12AC=25，如圖，連接AE交OB于點M．由（1）知，四邊形ABEO是菱形，∴AE，OB互相垂直平分，∴OM=12∴AM=AO∴AE=8，∴四邊形ABEO的面積=128．【答案】139．【答案】7210．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADE=∠CBF，在ΔADE和ΔCBF中，AD=CB∴△ADE?△CBF(SAS)．（2）解：當(dāng)BD平分∠ABC時，四邊形AFCE是菱形．理由：如圖，連接AF，CE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE=BF，∴OE=OF．又∵OA=OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴四邊形AFCE是菱形．11．【答案】D12．【答案】A13．【答案】（1）證明：∵EH平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE，∴∠FEH=12∠BEF，∠EFH=12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH=12×180°＝90°，∴∠EHF＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，EH平分∠BEF，∴∠GEF=12∠AEF，∠FEH=12∠BEF，∵點A、E、B在同一條直線上，∴∠FEG+∠FEH=（2）證明：如圖，延長EH交CD于點O，延長FG交AB與點R，∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四邊形MNQP為平行四邊形．∴MN＝PQ，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FO，由（1）知四邊形EGFH是矩形，∴∠EHF=90°，GH=EF，∴FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴△EHP?△OHQ，∴HP＝HQ=12PQ，同理可得GM＝GN=12MN，∵MN＝PQ，∴GM＝HP，∵GM∥HP，∴四邊形MGHP為平行四邊形，∴GH＝MP，∵MN∥EF，ME∥NF，∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN＝EF，∵GH＝EF，GH＝MP，∴MN＝14．【答案】715．【答案】716．【答案】D17．【答案】（1）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，又AB//BC，∴∠CEF=∠DAF，∵AB//CD，∴∠CFE=∠BAE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF；（2）解：連接EG，CG，如圖所示：∵AB//CD，∴∠ECF=∠ABC=120°，∠BAC=60°，∴∠DAF=30°，∵FG//CE，F(xiàn)G=CE，∴四邊形ECFG是平行四邊形，∵CE=CF，∴四邊形ECFG為菱形，∴∠CFG=60°，∠CFE=30°=∠DAF，∠ECG=∠FCG=60°，△CFG為等邊三角形，∴CG=GF，∠BCG=∠DFG=60°，AD=FD=BC，在△DGF和△BGC中，F(xiàn)D=BC?∠DFG=∠BCG=60°∴△DGF≌△BGC(SAS)，∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，∴∠BGD=∠CGF=60°，∴△BDG為等邊三角形，∴∠BDG=60°.18．【答案】（1）解：BP=CE，理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=60°，又∵△PAE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠EAC，∴△ABP≌ACE（SAS）∴BP=CE；（2）解：①CE=2BP如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，∴AC2∴AC=2AB∵△APE為等腰直角三角形，∠APE=90°，∴∠PAE=45°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴CEBP=∴CE=②連接AC交BD于F，過點E作EG⊥BD于G，∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，∴BC=AB=2，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，∴AF=BF=∴∠FAP+∠AFP=90°，又∵△APE是等腰直角三角形，∴AP=EP，∠APE=90°，∴∠APF+∠EPG=90°，∴∠FAP=∠EPF，又∵∠AFP=∠EGP=90°，∴△AFP≌△PGE（AAS），∴PG=AF=2，設(shè)FP=GE=x，則BG=BF+FP+PG=22+x∵BG2∴(22+x)解得x=4-2∴BP=2+x=4∴S△BPE=19．【答案】（1）BE=EF（2）解：成立，理由如下：

過E作EG

過E作EG∥BF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AE=GE，

∴GE=CF，

∵∠BGE=180°-∠AGE=120°=∠ECF，

∵AB=AC，

∴AB-AG=AC-AE，

∴BG=EC，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF；（3）解決：成立，理由如下：

過E作EG∥BF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AGE是等邊三角形，

∴GE=GE，

∴GE=CF，

∵∠BGE=∠ECF=60°，

∵AB=AC，

∴AG-AB=AE-AC，

∴BG=EC，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF.20．【答案】2321．【答案】(22．【答案】（1）BP⊥CE；CE⊥BC（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，連接AC，∴△ABC，△ACD為等邊三角形，在△ABP和△ACE中，AB=AC，又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP，∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE(SAS)，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，設(shè)CE與AD交于點H，同理可得∠ACD=2∠ACH=60°，∴CE⊥AD，又∵AD∥BC，∴CE⊥BC.（3）133423．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ACD，△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，BC=AC∠B=∠ACN∴△BCM≌△CAN(SAS)．（2）解：∵△BCM≌△CAN，∴∠BCM=∠CAN，∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．（3）證明：如圖，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延長線于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH，在△DGA和△DHC中，∠DGA=∠H=90°∠ADG=∠CDH∴△DGA≌△DHC(AAS)，∴DG=DH，∵DG⊥AN，DH⊥MC，∴∠DEG=∠DEH，∴DE平分∠AEC，即∠GED=60°，在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG，在△DEG和△DEH中，∠DEG=∠DEH∠DGE=∠H△DEG≌△DEH(AAS)，∴EG=EH，∵△DGA≌△DHC，∴GA=CH，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE，即EA+EC=ED．24．【答案】（1）C；30（2）證明：如圖2中，過點M作ME⊥AD于點E，MF⊥AB于點F．∵四邊形ABCD是菱形，∴AM平分∠DAB，CD//∴∠DAB+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠DAB=60°，∵ME⊥AD，MF⊥AB，∴ME=MF，∠MEA=∠MFA=90°，∴∠EMF=120°，∵∠DMN=120°，∴∠EMF=∠DMN，∴∠DME=∠NMF，∵∠MED=∠MFN=90°，∴△MED≌△MFN(ASA)，

∴MD=MN（3）解：①證明：如圖3中，∵MN=MD，∠DMN=120°，∴∠MDN=30°，∵∠ADC=120°，∴∠ADE+∠CDM=120°-30°=90°=定值．②22525．【答案】826．【答案】65或27．【答案】（1）解：BE垂直平分AC，理由如下：如圖1，連接CE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACD＝12∠BCD，∠ADC+∠BCD＝180°∵AD∥MN，∴∠ADC＝∠DMN，∵CM＝MN，∴∠MCN＝∠MNC，∴∠DMN＝∠MCN+∠MNC＝2∠MCN＝∠ADC，∵∠ADC+∠BCD＝180°，∴12∠ADC+12∠BCD＝∴∠MCN+∠ACD＝90°＝∠ACN，∵點E是AN的中點，∠ACN＝90°，∴AE＝CE，∵AE＝CE，AB＝BC，∴BE垂直平分AC；（2）解：BE＝12AD+12理由如下：如圖2，設(shè)BE與AC交于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AD＝BC＝AB，∵AB＝BC，BE垂直平分AC，∴∠ABO＝∠CBO＝60°，∠BOC＝90°，AO＝CO，∴∠BCA＝30°，∴BO＝12BC＝12∵AO＝OC，點E是AN的中點，∴EO＝12CN∵CM＝CN，∠MCN＝12∠ADC＝60°∴CM＝CN，∴BE＝