高二數(shù)學上學期期末模擬試卷一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022春·高二?？计谀﹥善叫兄本€和間的距離是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將直線化為，所以兩平行直線和間的距離，故選：A．2．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┤糁本€的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．平行或線在面內(nèi)【答案】A【解析】因為，所以與共線，直線與平面垂直.故選：A.3．（2019春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，所以.故選：A4．（2021春·安徽滁州·高二?？计谀┻^點引圓的切線，其方程是（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑r＝1；過點引圓的切線，若切線的斜率不存在，切線的方程為x＝2，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則有，即kx－y＋3－2k＝0，則有，解得，此時切線的方程為，即12x－5y－9＝0．綜上：切線的方程為x＝2和12x－5y－9＝0．故選：D．5．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┤鐖D，已知正方形所在平面與正方形所在平面構(gòu)成的二面角，則異面直線與所成角的余弦值為（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知，即為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，所以，設(shè)正方形邊長為1，異面直線與所成的角為，，，,所以即所以；即，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.6．（2022秋·河北石家莊·高二?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．28B．148C．168D．248【答案】C【解析】因為等差數(shù)列中，，所以，則．故選：C．7．（2022春·陜西渭南·高二期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知圓：圓心，半徑為4，動圓圓心為，半徑為，當兩圓外切時：，所以；當兩圓內(nèi)切時：，所以；即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，，所以動圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.8．（2020春·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┰O(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2022春·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知兩條直線、的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則D．若，則直線、一定相交【答案】ABD【解析】若，則，，A正確；由A知，，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，B正確；由，則，，C不正確；由A知時，，所以時，則直線、一定相交，D正確．故選：ABD．10．（2022春·福建·高二福建師大附中?？计谀┤鐖D，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且則下列說法中正確的有（）A．B．C．平面D．直線與所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】以為空間一組基底，，，所以，A選項正確.，所以，所以，B選項錯誤.依題意可知，四邊形是菱形，所以，由于，平面，所以平面，C選項正確.設(shè)直線與所成角為，，，，，所以，D選項正確.故選：ACD11．（2022春·山東濟南·高二濟南市歷城第二中學期末）已知函數(shù)，則（）A．恒成立B．是上的減函數(shù)C．在得到極大值D．在區(qū)間內(nèi)只有一個零點【答案】CD【解析】，該函數(shù)的定義域為，所以，由，可得，由，可得，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B選項錯誤，C選項正確；當時，，此時，A選項錯誤；由題可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而，故在區(qū)間內(nèi)只有一個零點，D選項正確.故選：CD.12．（2022春·山東菏澤·高二?？计谀┻^拋物線上一點A(1，-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個交點分別為M，N，則（）A．C的準線方程是B．過C的焦點的最短弦長為8C．直線MN過定點(0，4)D．當點A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程為【答案】AD【解析】將代入中得：，則為，所以的準線方程是，故A正確；由題可知的焦點為，可設(shè)過的焦點的直線為，由，可得，設(shè)交點為，則，，所以，即過C的焦點的最短弦長為16，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立拋物線得：，所以，，又，所以，因為，，即，所以，整理得，故，得，所以直線為，所以直線過定點，故C不正確；當時，到直線的距離最大，此時直線為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022春·陜西西安·高二期末）已知空間三點，，，設(shè)，，，且，則___________.【答案】或【解析】，由于，所以，所以，所以為或.14．（2022秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點，則______.【答案】【解析】已知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以.15．（2022秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）某學校有，兩家餐廳，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：開學第一天的中午，有一半的學生到餐廳就餐，另一半的學生到餐廳就餐；從第二天起，在前一天選擇餐廳就餐的學生中，次日會有的學生繼續(xù)選擇餐廳，在前一天選擇餐廳就餐的學生中，次日會有的學生繼續(xù)選擇餐廳.該學校共有學生3500人，經(jīng)過一個學期（約150天）后，估計該學校到餐廳就餐的學生人數(shù)為_________人.（用整數(shù)作答）【答案】1400【解析】設(shè)第天選擇餐廳就餐的學生比例為，由題意得，，，所以，故，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，經(jīng)過一個學期（約150天）后，估計該學校到廳就餐的學生人數(shù)為（人）.16．（2022秋·吉林·高二吉林一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，則，當或時，，當時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，，故的大致圖像如圖所示：關(guān)于的方程等價于，即或，由圖可得，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得.四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022春·江蘇蘇州·高二蘇州中學?？计谀┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，，點E是線段BC的中點．（1）求直線CD的方程；（2）求四邊形ABED的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，∴直線CD的方程為，即；（2）四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，則，即，直線AD的方程為，即，則E到直線AD的距離為，.故四邊形ABED的面積為.18．（2022春·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知數(shù)列的前n項和.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當時，，即，當時，，時，，與不符，所以；（2）由得，而，所以當時，，當時，，當時，，當時，，所以19．（2022春·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知圓過點、，且圓周被直線平分．（1）求圓的標準方程；（2）已知過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由題意得：∵，，且直線過圓心∴AB的中點坐標為又∴AB的垂直平分線方程為，即聯(lián)立，解得∴圓C的圓心坐標為，則圓C的標準方程為．（2）當斜率存在時，設(shè)直線方程為，即．圓心，到直線的距離，解得∴直線l的方程為當斜率不存在時，也滿足條件則直線l的方程為或．20．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考期末）如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面；（2）若為上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）在梯形ABCD中取AD中點N，連接CN，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，所以.又因為，，平面所以平面.（2）取中點，連接，因為，所以，由（1）得平面，又因為面，所以平面面，因為為兩平面交線，所以面，以為原點，為軸，過且與垂直的直線為軸，為軸建立直角坐標系，設(shè)，則，，，，由，得，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即，取，則，，所以，又因為平面的法向量，所以,因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為.21．（2022春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學校考期末）已知橢圓的左右焦點分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點為M，線段CD的中點為N，證明：直線過定點，并求出該定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【解析】（1）拋物線焦點坐標為，故.設(shè)，由拋物線定義得：點P到直線的距離為t.，由余弦定理，得.整理，得，解得或（舍去）.由橢圓定義，得，，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，即，，代入直線方程得，，同理可得，，，令，得，所以直線MN過定點.22．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶中學?？计谀┮阎瘮?shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2