大學(xué)《數(shù)學(xué)建?！房荚囶}目匯總含答案一、初等數(shù)學(xué)模型題目1.某城市出租車計(jì)費(fèi)規(guī)則如下：起步價包含3公里內(nèi)費(fèi)用10元；3公里后至10公里（含）部分，每公里2.5元；超過10公里部分，每公里加收50%空駛費(fèi)（即每公里3.75元）。（1）建立乘車距離\(x\)（公里，\(x>0\)）與車費(fèi)\(y\)（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某乘客支付車費(fèi)47.5元，求其乘車距離。答案（1）分段函數(shù)：當(dāng)\(0<x\leq3\)時，\(y=10\)；當(dāng)\(3<x\leq10\)時，\(y=10+2.5(x3)=2.5x+2.5\)；當(dāng)\(x>10\)時，\(y=10+2.5\times7+3.75(x10)=3.75x10\)。（2）代入車費(fèi)47.5元：若\(x\leq10\)，則\(2.5x+2.5=47.5\)，解得\(x=18\)（矛盾，舍去）；若\(x>10\)，則\(3.75x10=47.5\)，解得\(x=15\)公里。二、優(yōu)化模型題目2.某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A需3小時工時、2單位材料，生產(chǎn)1件B需2小時工時、4單位材料。工廠每日可用工時最多120小時，材料最多160單位。A每件利潤50元，B每件利潤60元。求利潤最大的生產(chǎn)計(jì)劃。答案設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品\(x_1\)件，B產(chǎn)品\(x_2\)件，目標(biāo)函數(shù)為最大化利潤：\[\maxz=50x_1+60x_2\]約束條件：\[3x_1+2x_2\leq120\quad\text{（工時限制）}\]\[2x_1+4x_2\leq160\quad\text{（材料限制）}\]\[x_1,x_2\geq0\]通過圖解法或單純形法求解，約束條件交點(diǎn)為：工時與材料約束交點(diǎn)：聯(lián)立\(3x_1+2x_2=120\)和\(2x_1+4x_2=160\)，解得\(x_1=20\)，\(x_2=30\)；工時約束與\(x_2=0\)交點(diǎn)：\(x_1=40\)，\(x_2=0\)，利潤\(50\times40=2000\)元；材料約束與\(x_1=0\)交點(diǎn)：\(x_2=40\)，\(x_1=0\)，利潤\(60\times40=2400\)元；交點(diǎn)\((20,30)\)利潤：\(50\times20+60\times30=2800\)元（最大）。因此，最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃為A生產(chǎn)20件，B生產(chǎn)30件，最大利潤2800元。三、微分方程模型題目3.某地區(qū)人口增長符合Logistic模型，初始人口\(P_0=100\)萬，環(huán)境容量\(K=500\)萬，內(nèi)稟增長率\(r=0.02\)/年。（1）建立人口增長的微分方程；（2）求人口隨時間\(t\)（年）的變化函數(shù)；（3）計(jì)算\(t=50\)年時的人口數(shù)量（保留1位小數(shù)）。答案（1）Logistic模型微分方程：\[\frac{dP}{dt}=rP\left(1\frac{P}{K}\right)\]（2）通解為：\[P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{P_0}1\right)e^{rt}}\]代入\(P_0=100\)，\(K=500\)，\(r=0.02\)，得：\[P(t)=\frac{500}{1+4e^{0.02t}}\]（3）當(dāng)\(t=50\)時，\(e^{0.02\times50}=e^{1}\approx0.3679\)，代入得：\[P(50)=\frac{500}{1+4\times0.3679}\approx\frac{500}{2.4716}\approx202.3\)萬。四、統(tǒng)計(jì)回歸模型題目4.某城市10個小區(qū)的房價（\(y\)，萬元）與面積（\(x_1\)，\(m^2\)）、房齡（\(x_2\)，年）數(shù)據(jù)如下表：|小區(qū)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||||||||||||||\(x_1\)|80|90|100|110|120|130|140|150|160|170||\(x_2\)|5|4|6|3|7|2|8|1|9|0||\(y\)|120|140|160|180|200|220|240|260|280|300|（1）建立多元線性回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\varepsilon\)；（2）預(yù)測面積120\(m^2\)、房齡5年的房價。答案（1）通過最小二乘法估計(jì)系數(shù)，計(jì)算得：\(\sumx_1=1250\)，\(\sumx_2=45\)，\(\sumy=2100\)，\(\sumx_1^2=171500\)，\(\sumx_2^2=285\)，\(\sumx_1x_2=5450\)，\(\sumx_1y=287000\)，\(\sumx_2y=8550\)，\(\sumy^2=497000\)。設(shè)計(jì)矩陣\(X\)和觀測向量\(Y\)，計(jì)算正規(guī)方程\((X^TX)\hat{\beta}=X^TY\)，解得：\(\hat{\beta}_1=2\)（面積每增加1\(m^2\)，房價增加2萬元），\(\hat{\beta}_2=10\)（房齡每增加1年，房價減少10萬元），\(\hat{\beta}_0=1202\times80+10\times5=120160+50=10\)（截距）?；貧w方程：\(y=10+2x_110x_2\)。（2）代入\(x_1=120\)，\(x_2=5\)，得預(yù)測房價：\(y=10+2\times12010\times5=10+24050=200\)萬元。五、圖論與網(wǎng)絡(luò)模型題目5.某物流網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為A、B、C、D、E，邊權(quán)（距離，公里）如下：AB=3，AC=5，AD=2，BC=4，BE=6，CD=1，CE=3，DE=7。求A到E的最短路徑及總距離。答案使用Dijkstra算法，步驟如下：1.初始化：節(jié)點(diǎn)A距離為0，其他節(jié)點(diǎn)距離為∞，已訪問集合\(S=\{A\}\)。2.更新鄰接節(jié)點(diǎn)：B（3）、C（5）、D（2），最小距離為D（2），加入\(S\)。3.從D出發(fā)，鄰接節(jié)點(diǎn)C（DC=1，總距離2+1=3<原C的5）、E（DE=7，總距離2+7=9）。更新C=3，E=9。當(dāng)前最小距離為B（3），加入\(S\)。4.從B出發(fā)，鄰接節(jié)點(diǎn)C（BC=4，總距離3+4=7>已更新的C=3）、E（BE=6，總距離3+6=9=原E的9）。無更新，當(dāng)前最小距離為C（3），加入\(S\)。5.從C出發(fā)，鄰接節(jié)點(diǎn)E（CE=3，總距離3+3=6<原E的9）。更新E=6。當(dāng)前最小距離為E（6），加入\(S\)。最終，A到E的最短路徑為A→D→C→E，總距離6公里。六、層次分析模型題目6.選擇筆記本電腦時，考慮“性能”（C1）、“價格”（C2）、“續(xù)航”（C3）、“品牌”（C4）四個準(zhǔn)則。準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的判斷矩陣如下：|目標(biāo)|C1|C2|C3|C4||||||||C1|1|3|2|4||C2|1/3|1|1/2|2||C3|1/2|2|1|3||C4|1/4|1/2|1/3|1|方案層為華為（P1）、蘋果（P2）、小米（P3），各準(zhǔn)則下的判斷矩陣如下：性能（C1）：|C1|P1|P2|P3|||||||P1|1|1/2|3||P2|2|1|5||P3|1/3|1/5|1|價格（C2）：|C2|P1|P2|P3|||||||P1|1|3|1/2||P2|1/3|1|1/4||P3|2|4|1|續(xù)航（C3）：|C3|P1|P2|P3|||||||P1|1|2|4||P2|1/2|1|2||P3|1/4|1/2|1|品牌（C4）：|C4|P1|P2|P3|||||||P1|1|1/3|2||P2|3|1|5||P3|1/2|1/5|1|（1）計(jì)算準(zhǔn)則層權(quán)重并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)（\(RI_{4}=0.90\)）；（2）計(jì)算各方案在準(zhǔn)則下的權(quán)重并檢驗(yàn)一致性；（3）確定最優(yōu)方案。答案（1）準(zhǔn)則層判斷矩陣最大特征值\(\lambda_{\text{max}}\approx4.12\)，一致性指標(biāo)\(CI=(\lambda_{\text{max}}n)/(n1)=(4.124)/3=0.04\)，一致性比率\(CR=CI/RI=0.04/0.90\approx0.044<0.1\)，通過檢驗(yàn)。歸一化特征向量（權(quán)重）：\(w=[0.46,0.15,0.28,0.11]\)（保留兩位小數(shù)）。（2）各準(zhǔn)則下方案權(quán)重（以C1為例）：C1判斷矩陣\(\lambda_{\text{max}}\approx3.06\)，\(CI=(3.063)/2=0.03\)，\(RI_{3}=0.58\)，\(CR=0.03/0.58≈0.05<0.1\)，通過檢驗(yàn)。權(quán)重：\(w_{C1}=[0.25,0.64,0.11]\)。同理，C2權(quán)重\(w_{C2}=[0.26,0.11,0.63]\)，C3權(quán)重\(w_{C3}=[0.57,0.29,0.14]\)，C4權(quán)重\(w_{C4}=[0.17,0.70,0.13]\)。（3）組合權(quán)重計(jì)算：華為：\(0.46\times0.25+0.15\times0.26+0.28\t