2014年全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)2014年全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)課題：用牛頓迭代法求方程的近似解（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)選修2-2）教學(xué)設(shè)計(jì)授課教師：盧翔天津市耀華中學(xué)指導(dǎo)教師:沈婕天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室曹志勇天津市和平區(qū)教研室徐秀清天津市耀華中學(xué)2014年12月用牛頓迭代法求方程的近似解天津市耀華中學(xué)盧翔一．內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容是人教版選修2-2第一章第二節(jié)探究與發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容，教學(xué)內(nèi)容是用牛頓迭代法求方程的近似解。在本節(jié)課中，在學(xué)生會(huì)用二分法求方程近似解的基礎(chǔ)上，通過探究和發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生能借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，利用切線逼近函數(shù)，進(jìn)而理解迭代法的含義和作法，培養(yǎng)學(xué)生逼近的思想，以直代曲的思想，同時(shí)強(qiáng)化算法思想。本節(jié)課通過Leonardo方程的求近似解問題，復(fù)習(xí)和鞏固二分法求方程近似解的思想，步驟和算法，并借助導(dǎo)數(shù)和切線理解牛頓迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛頓迭代法的步驟和算法，并用牛頓迭代法解決實(shí)際問題。在教學(xué)中，通過借助圖形計(jì)算器的探究，以及問題引導(dǎo)的方式，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，探究問題和合作解決問題的能力，借助二分法的復(fù)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生類比的思想，同時(shí)體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系和應(yīng)用。本節(jié)課中給出的Leonardo方程有豐富的歷史背景，練習(xí)中的開普勒方程又有實(shí)際背景，通過本節(jié)課的例子可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛以及強(qiáng)烈的求知欲望，對(duì)古代數(shù)學(xué)家堅(jiān)忍不拔的毅力的學(xué)習(xí)以及對(duì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的巨大作用的認(rèn)識(shí)都能使學(xué)生更加肯于鉆研，并產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的巨大興趣。教學(xué)重點(diǎn)：牛頓迭代法的迭代思想和過程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．復(fù)習(xí)和鞏固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中數(shù)學(xué)必修教材中的內(nèi)容，和方程與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系一起，作為函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用部分，是學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的重要內(nèi)容，本節(jié)課以求Leonardo方程作為引入和研究對(duì)象，聯(lián)系和復(fù)習(xí)二分法是順理成章的，也能夠?qū)W(xué)習(xí)過的內(nèi)容再現(xiàn)和升華。2．探究并總結(jié)牛頓迭代法求方程的近似解牛頓迭代法是中學(xué)生能夠接受的一種較簡單的迭代方法，而且十分有效，但如果脫離圖形計(jì)算器，也是非常困難的。本節(jié)課的核心就是通過探究和實(shí)踐，使學(xué)生能夠完全理解牛頓迭代法的迭代原理，并能夠通過圖形計(jì)算器進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。3．培養(yǎng)學(xué)生利用圖形計(jì)算器進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算和圖形功能探究解決問題的能力。培養(yǎng)探究精神一直以來都是數(shù)學(xué)課堂上的重要任務(wù)，但探究能力的培養(yǎng)，不是一朝一夕的功夫，需要學(xué)生能夠有所依靠，圖形計(jì)算器的配備和使用，使學(xué)生能夠有充分的工具去施展，不再畏懼圖形的不可知性和計(jì)算的繁瑣復(fù)雜。有了直觀的感知，才是探究的源泉，對(duì)于中學(xué)生而言，這是最為適合的學(xué)習(xí)模式，值得通過大量的問題和實(shí)踐使學(xué)生充分掌握?qǐng)D形計(jì)算器的使用。4．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中需要很多知識(shí)的遷移，類比，本節(jié)課就是在充分利用二分法的思想和步驟進(jìn)行類比的基礎(chǔ)上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線的知識(shí)進(jìn)行遷移，完成對(duì)牛頓迭代法的充分理解的，利用問題鏈進(jìn)行導(dǎo)引，借助小組合作討論的模式，發(fā)揮圖形計(jì)算器的直觀作用和計(jì)算能力，將本節(jié)課內(nèi)容中的精華部分和難點(diǎn)部分逐一消化，使學(xué)生體會(huì)多樣化學(xué)習(xí)模式的帶來的學(xué)習(xí)樂趣。5．讓學(xué)生了解更多數(shù)學(xué)史事及數(shù)學(xué)應(yīng)用更能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣以及科學(xué)研究的價(jià)值觀。學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)和方法的同時(shí)需要更多的人文關(guān)懷，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是學(xué)習(xí)如何計(jì)算和證明，更應(yīng)該在對(duì)應(yīng)的知識(shí)水平中了解數(shù)學(xué)發(fā)展中曾經(jīng)出現(xiàn)過的著名例子和典故。這對(duì)于學(xué)生的榜樣效果和激勵(lì)作用是非常顯著的。同時(shí)，數(shù)學(xué)又應(yīng)用于實(shí)踐，應(yīng)用于其他學(xué)科中，在課堂上給學(xué)生以更多的實(shí)際例子，也會(huì)更強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)有用的信念，提升其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是耀華中學(xué)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生，耀華中學(xué)是天津市的市直屬重點(diǎn)中學(xué)，學(xué)生具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和動(dòng)手實(shí)踐能力，較適于本課題的研究和學(xué)習(xí)，學(xué)生也對(duì)于這樣的探究學(xué)習(xí)模式較為習(xí)慣和適應(yīng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)與方程中的二分法求方程近似解，而且學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)的概念和求解，能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和求切線。學(xué)生有充分的探究意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作能力，圖形計(jì)算器操作熟練，能夠利用圖形計(jì)算器畫圖和計(jì)算。在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能會(huì)在迭代法的探究過程中出現(xiàn)困難，主要體現(xiàn)在對(duì)逼近方式的認(rèn)識(shí)，這點(diǎn)可以通過圖形計(jì)算器的函數(shù)切線的動(dòng)態(tài)演示幫助學(xué)生理解“以直代曲”思想，另一點(diǎn)困難可能是對(duì)迭代的理解上，這點(diǎn)可以通過類比二分法的算法特征加以理解。而且可以充分利用圖形計(jì)算器的遞推計(jì)算功能加以運(yùn)算，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)牛頓迭代法的理解。教學(xué)難點(diǎn)：理解牛頓迭代法的逼近和迭代原理。教學(xué)關(guān)鍵：理論推導(dǎo)和圖形計(jì)算器驗(yàn)證有機(jī)結(jié)合。四、教法分析1.利用有歷史背景的數(shù)學(xué)方程激發(fā)學(xué)生積極探索新知的欲望，鼓勵(lì)學(xué)生積極動(dòng)手實(shí)踐，不斷優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，在“實(shí)踐、理論、再實(shí)踐”的過程中完成對(duì)新知的探索和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識(shí)。2.以學(xué)生為中心，教師適當(dāng)引導(dǎo)，積極創(chuàng)設(shè)合作學(xué)習(xí)的氛圍，使學(xué)生獲得提供“實(shí)踐、探索、交流”的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，更注重合作交流，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，使學(xué)生在開放的活動(dòng)中獲取直接經(jīng)驗(yàn).使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、操作、歸納、概括的認(rèn)知過程，培養(yǎng)綜合運(yùn)用已有知識(shí)解決新問題的能力。五、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課通過PPT演示的方式給學(xué)生介紹背景，引導(dǎo)問題，在復(fù)習(xí)鞏固和小組討論之后采用實(shí)物投影的方式將學(xué)生的討論結(jié)果展示出來，同時(shí)結(jié)合演示圖形計(jì)算器的計(jì)算功能和圖形效果，幫助學(xué)生理解課題和進(jìn)行運(yùn)算。在課堂教學(xué)中，學(xué)生每人配備一個(gè)圖形計(jì)算器，圖形計(jì)算器的存在,能夠幫助學(xué)生從圖形角度思考問題,同時(shí)能夠進(jìn)行快速的計(jì)算和迭代,而且求出的正是近似解.這一切都是本課題所特別要求的.學(xué)生通過函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系,體會(huì)利用函數(shù)研究方程的便利性,同時(shí)利用圖形計(jì)算器,能夠方便地將函數(shù)圖象表示出來;學(xué)生在求近似解的過程中,需要大量繁瑣的計(jì)算,人工計(jì)算費(fèi)時(shí)費(fèi)力,而利用圖形計(jì)算器,學(xué)生能夠方便地快速求得高精度的解，是學(xué)生探究的有力工具。而數(shù)學(xué)研究在有了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，能夠逐層遞進(jìn)，有效歸納，達(dá)到易于研究和深入的目的。從這個(gè)角度來說，本課題是圖形計(jì)算器的特定匹配課程，或者更確切地說，正因?yàn)橛辛藞D形計(jì)算器的存在，才有了本課題實(shí)踐的可能性，也才有了學(xué)生動(dòng)手鉆研和理解課題的可能性。課題要求學(xué)生掌握?qǐng)D形計(jì)算器的畫圖功能，求零點(diǎn)功能，求函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的功能，直接解方程的功能，以及進(jìn)行快速迭代計(jì)算的功能和數(shù)列遞推的功能等，對(duì)學(xué)生的圖形計(jì)算器使用的要求較高，綜合性較強(qiáng)。

六、教學(xué)過程（一）激發(fā)興趣，引出問題〖師生活動(dòng)〗從一個(gè)三次方程求解問題引入，給出一個(gè)數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生興趣，同時(shí)對(duì)學(xué)生滲透德育教育?！締栴}1】對(duì)于方程的求近似解問題，大家了解它的典故嗎？〖設(shè)計(jì)意圖〗這個(gè)方程是學(xué)生所熟悉的，利用它來拋出問題，引發(fā)學(xué)生思考。【背景介紹】斐波那契數(shù)列，也被稱為“兔子數(shù)列”。它最早出現(xiàn)在一本叫做《算盤書》的書中，這本書的作者就是比薩的列奧納多，又稱斐波那契（1175年-1250年），是一名意大利數(shù)學(xué)家。他是西方第一個(gè)研究斐波那契數(shù)，并將現(xiàn)代書寫數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲的人，影響了歐洲數(shù)學(xué)界一個(gè)時(shí)代。斐波那契其他數(shù)學(xué)著作還有《平方數(shù)書》、《花朵》等，前者專論二次丟番圖方程，后者內(nèi)容多為菲德里克二世宮廷數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題，其中包含一個(gè)三次方程的求解，斐波那契論證了其根不能用尺規(guī)作出（即不可能是歐幾里得的無理量），他還未加說明地給出了該方程的近似解。這在當(dāng)時(shí)是非常重要的結(jié)果，但是無人知道他是怎么計(jì)算得到的。盡管一元三次方程存在根式解，但生活實(shí)踐當(dāng)中，一個(gè)精度很高的近似解的價(jià)值要超過精確的根式解。所以這個(gè)Leonardo方程，值得我們今天繼續(xù)去研究和發(fā)現(xiàn)?！荚O(shè)計(jì)意圖〗通過這個(gè)背景介紹，能夠完全調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，課堂教師引導(dǎo)的目的首先就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和動(dòng)力，通過這個(gè)環(huán)節(jié)，既引出問題，又產(chǎn)生興趣，一舉兩得。（二）復(fù)習(xí)鞏固，啟發(fā)引導(dǎo)【問題2】求Leonardo方程的近似解，我們學(xué)習(xí)過什么方法？請(qǐng)大家把課前完成的復(fù)習(xí)鞏固環(huán)節(jié)進(jìn)行交流?！紟熒顒?dòng)〗提問學(xué)生復(fù)習(xí)回顧二分法求方程近似解的步驟及二分法的逼近思想，方便在課程教學(xué)時(shí)進(jìn)行類比分析。【問題3】思考并總結(jié)：用二分法求方程的近似解時(shí)，需要注意一些什么問題？〖師生活動(dòng)〗學(xué)生回答問題，總結(jié)復(fù)習(xí)成果，為今天的課題研究打好基礎(chǔ)和伏筆?！荚O(shè)計(jì)意圖〗學(xué)生在課前完成了學(xué)案相應(yīng)復(fù)習(xí)部分的內(nèi)容，復(fù)習(xí)了高一時(shí)所學(xué)習(xí)過的二分法的內(nèi)容，為本節(jié)課的課程研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，包括對(duì)算法思想，逼近思想的體會(huì)都能有所加深，為研究牛頓迭代法進(jìn)行類比提供了很好的基礎(chǔ)。（三）問題引導(dǎo)，分析方法【問題4】今天我們延究一種新的計(jì)算方程近似解的方法，請(qǐng)大家根據(jù)學(xué)案上的問題設(shè)置，結(jié)合近期新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，回答問題同時(shí)引發(fā)對(duì)新方法的思考，小組討論一下，并進(jìn)行交流。問題鏈設(shè)計(jì)：

（1）在研究方程的根的問題時(shí)，我們?？梢詫⑵涞葍r(jià)轉(zhuǎn)化為什么問題進(jìn)行研究？（2）在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們新學(xué)習(xí)了什么工具可以用來很方便地刻畫函數(shù)的什么性質(zhì)？（3）我們新學(xué)習(xí)的工具中，在刻畫函數(shù)性質(zhì)方面，體現(xiàn)出了什么樣的思想？

（4）在研究方程的近似解的時(shí)候，二分法體現(xiàn)出了什么樣的思想？

（5）類比二分法的思想，結(jié)合我們新學(xué)到的工具，我們能產(chǎn)生什么新的想法求方程的近似解？〖師生活動(dòng)〗問答形式，以提問的方式使學(xué)生將思考后的想法分享出來，并逐步引出后面的問題?！荚O(shè)計(jì)意圖〗通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，使學(xué)生逐步將導(dǎo)數(shù)和切線與方程的近似解相結(jié)合起來?！締栴}5】借助圖形計(jì)算器，驗(yàn)證新的想法，并思考如何將其轉(zhuǎn)化為算法。〖師生活動(dòng)〗同學(xué)們利用手中的圖形計(jì)算器畫出曲線的切線，并通過平移體會(huì)“以直代曲”思想。教師在電腦上進(jìn)行演示?！荚O(shè)計(jì)意圖〗結(jié)合圖形計(jì)算器的演示，同時(shí)讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，能夠直觀理解“以直代曲”思想，為后面的借助切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)代替原函數(shù)零點(diǎn)的思想進(jìn)行切實(shí)的鋪墊。（四）探究切線，體驗(yàn)迭代【問題5】利用圖形計(jì)算器，求方程的近似解（精確度為），記錄下探究和計(jì)算的過程?！荚O(shè)計(jì)意圖〗通過問題引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生試著利用切線代替曲線來求近似解，并逐步體會(huì)迭代的方式方法，寫出Leonardo方程的迭代公式并利用圖形計(jì)算器求解，完成探究環(huán)節(jié)，給出問題解答。〖師生活動(dòng)〗教師問題引導(dǎo)：（1）從哪一個(gè)點(diǎn)開始“以直代曲”？求出具體的切線及近似解。預(yù)設(shè)：學(xué)生先求出切線方程，并利用手中的圖形計(jì)算器畫出函數(shù)圖象和切線的圖象在一起，可以進(jìn)行比較。切線方程：。圖象如下：（2）與我們剛才求出的零點(diǎn)比較，再結(jié)合函數(shù)圖象與切線，用什么方法進(jìn)行下一步的操作，進(jìn)而逐步逼近方程的解呢？預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)再選擇不同的值求切線方程，并繼續(xù)畫圖探究，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考尋找規(guī)律，取不同的值無非是希望切線再能夠逼近圖象，那么如果就取剛才求出的切線零點(diǎn)為值，既能更加貼近圖象，又可以有一個(gè)合理的步驟，不妨可以試試再求出時(shí)的切線方程，計(jì)算較復(fù)雜，可以利用圖形計(jì)算器輔助完成，并畫出圖象?？梢杂^察出，經(jīng)過放大一定倍數(shù)之后，才能加以區(qū)分，并且新得到的切線零點(diǎn)比之前第一條切線的零點(diǎn)更加靠近函數(shù)的零點(diǎn)?！荚O(shè)計(jì)意圖〗這一部分探究是本節(jié)課的核心內(nèi)容，也是需要花費(fèi)較大精力和時(shí)間的一部分。必須通過問題鏈的形式引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，聯(lián)系到切線和圖象的近似替代，并進(jìn)行確實(shí)的動(dòng)手嘗試才能使學(xué)生信服，所以這里必須要借助于圖形計(jì)算器的力量，否則無法完成，學(xué)生如果不能自己動(dòng)手觀察，對(duì)理解牛頓迭代法也會(huì)非常不利。迭代計(jì)算的方法是什么？如何完成計(jì)算？

〖設(shè)計(jì)意圖〗學(xué)生會(huì)考慮尋找一個(gè)通式進(jìn)行運(yùn)算，通過小組討論得出Leonardo方程的牛頓迭代法的迭代公式，并用圖形計(jì)算器的遞推或變量運(yùn)算功能求出結(jié)果。預(yù)設(shè)：利用數(shù)列遞推功能在給定精確度的前提下，什么時(shí)候終止迭代？〖設(shè)計(jì)意圖〗學(xué)生在完成計(jì)算之后會(huì)很高興得到和之前計(jì)算出的一樣的結(jié)果，所以可能就會(huì)忽略終止迭代的條件，這個(gè)問題能引發(fā)學(xué)生思考，并將整個(gè)迭代過程予以完善和規(guī)范。（五）建立方法，完善理論【問題7】參照剛才的計(jì)算方法，能否像二分法一樣，總結(jié)出牛頓迭代法求近似解的迭代公式？〖師生活動(dòng)〗學(xué)生分組討論研究，將牛頓迭代法的步驟和迭代公式從剛才的具體問題中提煉出來，并進(jìn)行交流總結(jié)?！荚O(shè)計(jì)意圖〗總結(jié)牛頓迭代法的迭代公式，雖然步驟不多，但涉及迭代這個(gè)對(duì)學(xué)生較為陌生的方式，所以這部分理論推導(dǎo)具有一定難度。所以教師在此起到引領(lǐng)作用，類比遞推數(shù)列，幫助各組分析切線方程求零點(diǎn)，幫助學(xué)生完成這個(gè)由實(shí)踐到理論的升華，這個(gè)對(duì)學(xué)生也是一個(gè)受益的體驗(yàn)過程。預(yù)設(shè)：給定函數(shù)為，迭代初始值為，其切線方程可以寫為：，求其零點(diǎn)，令，得。將其表示為迭代公式，即。（六）歸納整理，算法思想【問題8】牛頓迭代法的核心思想是什么？根據(jù)總結(jié)出的牛頓迭代法的原理和步驟，畫出迭代求解的算法框圖?！紟熒顒?dòng)〗各組學(xué)生進(jìn)行討論，將步驟轉(zhuǎn)化為框圖，然后進(jìn)行實(shí)物展示，全班分析，完成到從自然語言到算法語言的提升和總結(jié)?！荚O(shè)計(jì)意圖〗算法思想同樣是本節(jié)課的核心思想之一，要求學(xué)生將解題方法以算法形式整理完善，是對(duì)本節(jié)課思想方法上的完善。（七）總結(jié)提高，學(xué)以致用【問題9】課堂練習(xí)：在天文學(xué)中，有一類著名的方程——開普勒方程，

是用來確定行星在其運(yùn)動(dòng)軌道上的位置的。開普勒方程是一個(gè)超越方程，很難得出嚴(yán)格的分析解，但是，已經(jīng)證明這個(gè)方程存在唯一解。在實(shí)際問題中，我們更希望得到一個(gè)近似程度很高的近似解就可以。請(qǐng)同學(xué)們利用今天所探究和歸納的方法，計(jì)算取，對(duì)應(yīng)的開普勒方程的近似解，精確到?！荚O(shè)計(jì)意圖〗作為最后一個(gè)環(huán)節(jié)，要鍛煉學(xué)生如何整理和歸納，將探究和實(shí)踐之后的體會(huì)用規(guī)范的形式整理出來并表述清楚。然后學(xué)以致用，學(xué)生新學(xué)到了牛頓迭代法的思想，有親身實(shí)踐過用圖形計(jì)算器經(jīng)過少量迭代即可解決Leonardo方程的近似解問題，本身就會(huì)有躍躍欲試之感，希望能用牛頓迭代法解決更多的問題，此時(shí)給出的練習(xí)，既有實(shí)際背景，天文學(xué)中的開普勒方程，又不同于Leonardo方程，為三角超越方程，對(duì)學(xué)生會(huì)有很強(qiáng)的吸引力，讓他們能夠較好地達(dá)成實(shí)踐鍛煉的目的。（八）科學(xué)研究，精神培養(yǎng)〖師生活動(dòng)〗教師介紹斐波那契的研究結(jié)果，與圖形計(jì)算器所得近似解相同，斐波那契當(dāng)時(shí)沒有計(jì)算器，卻能夠依靠算法和堅(jiān)忍不