試題試題搶分秘籍12幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題目錄【解密中考】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題【題型二】平行四邊形中的課本再現(xiàn)問題【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問題【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題【題型六】圓中的課本再現(xiàn)問題：幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，高頻考點為圓切線性質(zhì)、特殊四邊形（矩/菱/正方）證明計算、全等/相似三角形、幾何變換（旋轉(zhuǎn)/平移），占比15%-20%，新定義題型（如“準互余圖形”）近年增多，側(cè)重知識遷移。2．從題型角度看，選擇填空考基礎(chǔ)概念（如軸對稱識別、角度計算）；解答題含課本例題改編的證明（如切線證明）、計算（扇形面積）、綜合探究（函數(shù)+幾何動態(tài)）及實際應(yīng)用題（測量建模）。：回歸課本吃透例題推導(dǎo)，對習(xí)題變式訓(xùn)練；掌握“手拉手”等模型，總結(jié)解題模板；規(guī)范步驟防跳步，建錯題本分類復(fù)盤；限時訓(xùn)練基礎(chǔ)題，分析真題把握新定義趨勢，提升圖形拆分能力?！绢}型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2025·江西九江·模擬預(yù)測）追本溯源題（1）來自課本中的習(xí)題，請你完成解答，并利用（1）中得到的結(jié)論解答題（2）．（1）如圖1，在中，，，垂足為D．求證：．結(jié)論應(yīng)用（2）如圖2，在菱形中，過點C作，交的延長線于點E，過點E作，垂足為F，且交于點G．①若，，求的長；②若，，求的長．三角形課本再現(xiàn)題解題技巧：先判定理（全等/相似、特殊三角形性質(zhì)），挖隱含條件（公共邊/角、平行線角）。輔線用倍長中線、角平分線垂線、中位線。套“一線三垂直”等模型，拆復(fù)雜圖形。計算設(shè)元列方程，用三角函數(shù)簡算，規(guī)范步驟防漏條件。【例2】（2025·江西新余·一模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，，都是等邊三角形，分別連接，，，與有什么數(shù)量關(guān)系？請證明；【特殊感知】（2）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：若一個三角形的已知條件符合全等的判定定理，則此三角形可求解；在圖1中，，，，則__________；【類比應(yīng)用】（3）如圖2，在四邊形中，，，，，，求的長；小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)運用旋轉(zhuǎn)可得到圖1中類似的圖，運用（2）的方法即可求的長，請你幫小穎求的長；（4）如圖3，在四邊形中，，，，，，直接寫出的長．【變式1】（2025·江西·模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)想一想你能猜想出三角形兩邊中點的連線與第三邊有怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．定理證明（1）已知：如圖①，是的中位線．延長至點，使，連接．求證：且．知識運用（2）如圖②，在正方形中，為的中點，、分別為、邊上的點，若，，，求的長．（3）如圖③，在四邊形中，，，為的中點，，分別為，邊上的點，若，，，求的長．【變式2】（2024·江西九江·三模）課本再現(xiàn)（1）將兩個等腰直角三角形（，）按如圖1所示的方式擺放（圖中所有的點、線都在同一平面內(nèi)），則與相似的三角形有．（填序號）①；②；③．類比遷移（2）將兩個等腰直角三角形（）按如圖2所示的方式擺放，點D在邊上．①求證：．②如圖3，若D是的中點，與交于點G，與交于點H，，連接，求的長．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在中，，點D，E分別在邊上，且，若，，求的長．【變式3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的一條重要性質(zhì)定理．如圖1，在中，，點D是的中點．求證：．下面是兩位同學(xué)兩種添加輔助線的方法：小明：如圖2，延長至點E，使，連接；小華：如圖3，取的中點E，連接；（1）請你選擇其中一位同學(xué)的方法完成證明，聰明的你也可以利用圖1用其他方法完成證明．【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，中，是高，求證：B，C，D，E四點共圓．【拓展提升】（3）如圖5，在五邊形中，，，F(xiàn)為的中點，求證：．【題型二】平行四邊形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念后，進一步得到平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．（1）如圖1，在平行四邊形中，對角線與交于點O，求證：，．知識應(yīng)用（2）在中，點P為的中點．延長到D，使得，延長AC到E，使得，連接．如圖2，連接，若，請你探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并加以證明．平行四邊形課本再現(xiàn)題解題技巧：活用性質(zhì)（對邊/角/對角線）與判定（如一組對邊平行且相等）。連對角線分全等三角形，構(gòu)中位線或倍長中線。拆圖形為平行四邊形+三角形，矩菱正問題用特性。計算用勾股、面積法，倒推條件，規(guī)范邏輯?！纠?】（2024·江蘇揚州·一模）如圖①~⑧是課本上的折紙活動．【重溫舊知】上述活動，有的是為了折出特殊圖形，如圖①、③和⑧；有的是為了發(fā)現(xiàn)或證明定理，如圖④和⑦；有的是計算角度，如圖②；有的是計算長度，如圖⑤和⑥．（1）圖③中的的形狀是______；圖④的活動發(fā)現(xiàn)了定理“____________”（注：填寫定理完整的表述）；圖⑤中的的長是_______；【繼續(xù)探索】（2）如圖，將一個邊長為4的正方形紙片折疊，使點A落在邊上的點E處，點E不與B、C重合，為折痕．折疊后的梯形的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．【變式1】（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們曾學(xué)習(xí)過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在中，點D在上，E在上，．若，，則，；（2）已知，如圖1，在中，點D、E分別在、上，且．求證：．證明：過點作的平行線交于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與的三邊、、或其延長線交于D、F、E點，那么是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點，．則．

【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】思考我們知道，矩形的對角線相等，反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？【定理證明】（1）如圖1，已知：在中，對角線、相交于，且，求證：是矩形．【知識應(yīng)用】（2）如圖2，是的中線，，且，連接，．①求證：；②當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是矩形？并說明理由．矩形課本再現(xiàn)題解題技巧：用矩形性質(zhì)（四角直角、對角線相等）證線段/角相等。連對角線得全等直角三角形，遇中點構(gòu)中位線。結(jié)合勾股定理計算邊長，面積法求高。判定先證平行四邊形，再證直角或?qū)蔷€等，拆圖形為三角形或坐標(biāo)系問題，規(guī)范步驟防漏條件。【例2】（2024·江西吉安·三模）課本再現(xiàn)矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形是矩形．定義應(yīng)用(1)如圖，已知：在四邊形中，，用矩形的定義求證：四邊形是矩形．(2)如圖，在四邊形中，，是的中點，連接，，且，求證：四邊形是矩形．拓展延伸(3)如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，若圖中的四個三角形都相似，求的值．【變式1】課本再現(xiàn)思考我們知道，矩形的對角線相等．反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形．定理證明（1）為了證明該定理，小賢同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你從矩形的定義出發(fā)完成證明過程．已知：在中，對角線，交點為．求證：是矩形．應(yīng)用定理（2）如圖2，在菱形中，，，，分別為，，，的中點．求證：四邊形是矩形（用“課本再現(xiàn)”中的矩形判定定理證明）．拓展遷移（3）如圖3，四邊形的對角線，相交于點，且，，，，分別為，，，的中點．若，，求四邊形的面積．【變式2】課本再現(xiàn)思考我們知道，矩形的對角線相等．反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形．定理證明（）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在平行四邊形中，，是它的兩條對角線，．求證：平行四邊形是矩形．知識應(yīng)用如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，且．（）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（）過作于，，，求的長．【變式3】（2025·江西南昌·一模）課本再現(xiàn)：定理：有三個角是直角的四邊形是矩形．定理證明：為了證明該定理，小穎同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”“求證”，請你完成證明過程．（1）已知：如圖1，在四邊形中，，求證：四邊形是矩形．知識應(yīng)用：（2）如圖2，在四邊形中，，平分，交于點，，是上的一點，且，過點作，交于點，過點作于點．①求證：四邊形是矩形．②若，求的值．【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問題【例1】課本再現(xiàn)定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：平行四邊形是菱形．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，垂足為，∴是的垂直平分線，∴___________∴平行四邊形是菱形．知識應(yīng)用（2）如圖2，在中，對角線和相交于點，，，．①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．菱形課本再現(xiàn)題解題技巧：用菱形性質(zhì)（四邊相等、對角線垂直平分且平分角）證全等/垂直。連對角線得直角三角形，用勾股定理計算。判定先證平行四邊形，再證鄰邊相等或?qū)蔷€垂直。遇中點構(gòu)中位線，面積用對角線乘積一半。規(guī)范步驟，拆圖形為三角形，注意角平分線與對稱特性?！纠?】（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1，四邊形是菱形，，．（1）求，的長．應(yīng)用拓展（2）如圖2，為上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．①直接寫出點到距離的最小值；②如圖3，連接，，若的面積為6，求的長．【變式1】（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直．定理證明（）如圖，已知四邊形為菱形，前面已證菱形的四條邊相等，請進一步證明對角線．知識應(yīng)用（）如圖，已知四邊形為菱形，等腰的頂點在上，底邊交邊于點，點為的中點，點為與的交點，且．①求證：；②若，，，，求的長．

【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）【課本再現(xiàn)】北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)課本第21頁有這樣一道題：（1）如圖1，在正方形中，E為邊上一點，F(xiàn)為延長線上一點，且．與之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【類比探究】（2）如圖2，在矩形中，，點E在邊上，連接，F(xiàn)為延長線上一點，連接，，且的延長線垂直于，垂足為點H．①求的值；②求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，平移線段，使它經(jīng)過的中點H，交于點M，交于點N，連接，若，，請你求出的長．正方形課本再現(xiàn)題解題技巧：用四邊相等、直角、對角線垂直相等且平分角的性質(zhì)證全等/垂直。連對角線得等腰直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)計算。判定先證矩形+鄰邊相等或菱形+直角。借旋轉(zhuǎn)/對稱構(gòu)全等，遇中點連中線，規(guī)范步驟分階段證明，拆圖形為三角形或坐標(biāo)系問題。【例2】（2024·江西九江·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，四邊形是一個正方形，E是延長線上一點，且，則的度數(shù)為．【變式探究】（2）如圖2，將（1）中的沿折疊，得到，延長交于點F，若，求的長．【延伸拓展】（3）如圖3，當(dāng)（2）中的點E在射線上運動時，連接，與交于點P．探究：當(dāng)?shù)拈L為多少時，D，P兩點間的距離最短？請求出最短距離．【變式1】（2024·廣西南寧·二模）幾何探究【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，邊與邊相交于點，邊與邊相交于點．在實驗與探究中，小新發(fā)現(xiàn)無論正方形繞點怎樣轉(zhuǎn)動，之間一直存在某種數(shù)量關(guān)系，小新發(fā)現(xiàn)通過證明即可推導(dǎo)出來．請幫助小新完成下列問題：①求證；②連接，則之間的數(shù)量關(guān)系是____________．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心是矩形的一個頂點，與邊相交于點與邊相交于點，連接，矩形可繞著點旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，直角的頂點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線相交于點可繞著點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出線段的長度．【題型六】圓中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2025·江西·二模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，分別與相切于A，B兩點，，則（

）A．

B．

C．

D．【變式探究】（2）如圖2，分別與相切于A，B兩點，若．①求的度數(shù)；②若，求部分．圓課本再現(xiàn)題解題技巧：活用垂徑定理（作弦心距）、圓周角定理（找同弧角）、切線性質(zhì)（連半徑證垂直）。遇切線連半徑，弦問題作垂線，構(gòu)直角三角形用勾股?；￠L/面積套公式，圓內(nèi)接四邊形用對角互補。規(guī)范步驟，借輔助線轉(zhuǎn)化為三角形問題，注意隱含等弧/等角條件。【例2】（2024·江西吉安·二模）課本再現(xiàn)（1）如圖1，是的直徑，它所對的圓周角有什么特點？你能證明你的結(jié)論嗎？知識應(yīng)用（2）如圖2，，，三點均在上，的延長線交于點，若的直徑為8，，，求的長．

【變式1】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)推論

直徑所對的圓周角是________．（1）補全課本再現(xiàn)中橫線上的內(nèi)容．知識應(yīng)用（2）如圖，內(nèi)接于，是的直徑的延長線上一點，．①求證：是的切線；②過圓心作的平行線交的延長線于點，若，求的長．【變式2】【課本再現(xiàn)】如下，是人教版九年級上冊課本102頁的第12題：（完成該題，并解答習(xí)題改編）12．如圖，為的直徑，為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為．求證：平分．【課本開發(fā)】一次數(shù)學(xué)課上，鄧老師引導(dǎo)同學(xué)們一起對課本習(xí)題進行改編．(1)如下是同學(xué)小安改編的題目：如圖1，為的直徑，為上一點，于點，平分．求證：是的切線．請你利用所學(xué)知識解答同學(xué)小安改編的題目．(2)同學(xué)小耿在同學(xué)小安的基礎(chǔ)上進行了如下改編：如圖2，連接交于點，若，，求的長．請你利用所學(xué)知識解答同學(xué)小耿改編的題目．搶分秘籍12幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題【題型二】平行四邊形中的課本再現(xiàn)問題【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問題【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題【題型六】圓中的課本再現(xiàn)問題：幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，高頻考點為圓切線性質(zhì)、特殊四邊形（矩/菱/正方）證明計算、全等/相似三角形、幾何變換（旋轉(zhuǎn)/平移），占比15%-20%，新定義題型（如“準互余圖形”）近年增多，側(cè)重知識遷移。2．從題型角度看，選擇填空考基礎(chǔ)概念（如軸對稱識別、角度計算）；解答題含課本例題改編的證明（如切線證明）、計算（扇形面積）、綜合探究（函數(shù)+幾何動態(tài)）及實際應(yīng)用題（測量建模）。：回歸課本吃透例題推導(dǎo)，對習(xí)題變式訓(xùn)練；掌握“手拉手”等模型，總結(jié)解題模板；規(guī)范步驟防跳步，建錯題本分類復(fù)盤；限時訓(xùn)練基礎(chǔ)題，分析真題把握新定義趨勢，提升圖形拆分能力?！绢}型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2025·江西九江·模擬預(yù)測）追本溯源題（1）來自課本中的習(xí)題，請你完成解答，并利用（1）中得到的結(jié)論解答題（2）．（1）如圖1，在中，，，垂足為D．求證：．結(jié)論應(yīng)用（2）如圖2，在菱形中，過點C作，交的延長線于點E，過點E作，垂足為F，且交于點G．①若，，求的長；②若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②5【知識點】用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，列出比例式即可求證；（2）①由（1）可得：，那么，代入，即可求解；②由，再由勾股定理可得，證明，則，求出，那么．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴由（1）可得：，∵，∴，∵，∴，∴；②∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．三角形課本再現(xiàn)題解題技巧：先判定理（全等/相似、特殊三角形性質(zhì)），挖隱含條件（公共邊/角、平行線角）。輔線用倍長中線、角平分線垂線、中位線。套“一線三垂直”等模型，拆復(fù)雜圖形。計算設(shè)元列方程，用三角函數(shù)簡算，規(guī)范步驟防漏條件?！纠?】（2025·江西新余·一模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，，都是等邊三角形，分別連接，，，與有什么數(shù)量關(guān)系？請證明；【特殊感知】（2）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：若一個三角形的已知條件符合全等的判定定理，則此三角形可求解；在圖1中，，，，則__________；【類比應(yīng)用】（3）如圖2，在四邊形中，，，，，，求的長；小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)運用旋轉(zhuǎn)可得到圖1中類似的圖，運用（2）的方法即可求的長，請你幫小穎求的長；（4）如圖3，在四邊形中，，，，，，直接寫出的長．【答案】（1），見解析（2）（3）（4）【知識點】全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、三角函數(shù)綜合【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明即可得證．（2）過點E作，交延長線于點M，利用直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解答即可．（3）不妨將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角，四邊形內(nèi)角和定理，勾股定理解答即可．（4）不妨將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到，使得，連接，，過點E作，交延長線于點N，利用三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)解答即可．【詳解】（1）解：∵和均是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：過點E作，交延長線于點M，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（3）解：由，不妨將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，過點E作，交延長線于點G，則，，，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（4）解：不妨將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到，使得，連接，，過點E作，交延長線于點N，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴,∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·江西·模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)想一想你能猜想出三角形兩邊中點的連線與第三邊有怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．定理證明（1）已知：如圖①，是的中位線．延長至點，使，連接．求證：且．知識運用（2）如圖②，在正方形中，為的中點，、分別為、邊上的點，若，，，求的長．（3）如圖③，在四邊形中，，，為的中點，，分別為，邊上的點，若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【知識點】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度【分析】（1）先利用證明，于是可得，，由內(nèi)錯角相等兩直線平行可得，進而可得，結(jié)合，可證得四邊形為平行四邊形，于是可得，，再結(jié)合，即可得出結(jié)論；（2）取的中點，連接，延長、交于點，由正方形的性質(zhì)可得，由鄰補角互補可得，進而可得，由為的中點可得，利用可證得，于是可得，，由三角形的中位線定理可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，則，由此即可求出的長；（3）取的中點，連接，延長到點，使得，連接，由為的中點可得，利用可證得，于是可得，，過點作，交的延長線于點，連接，由鄰補角互補可得，進而可得，由直角三角形的兩個銳角互余可得，于是可得，由等角對等邊可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根據(jù)勾股定理可得，由三角形的中位線定理可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，則，由此即可求出的長．【詳解】（1）證明：在與中，，，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，，，且；（2）解：如圖，取的中點，連接，延長、交于點，四邊形是正方形，，，，為的中點，，在和中，，，，，為的中點，為的中點，為的中位線，，，且為的中點，，；（3）解：如圖，取的中點，連接，延長到點，使得，連接，為的中點，，在和中，，，，，過點作，交的延長線于點，連接，，，，，，，，又，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，為的中點，為的中點，為的中位線，，，且為的中點，，．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理的證明及應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)（、），平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，直角三角形的兩個銳角互余，等角對等邊，內(nèi)錯角相等兩直線平行，線段中點的有關(guān)計算，利用鄰補角互補求角度，線段的和與差等知識點，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024·江西九江·三模）課本再現(xiàn)（1）將兩個等腰直角三角形（，）按如圖1所示的方式擺放（圖中所有的點、線都在同一平面內(nèi)），則與相似的三角形有．（填序號）①；②；③．類比遷移（2）將兩個等腰直角三角形（）按如圖2所示的方式擺放，點D在邊上．①求證：．②如圖3，若D是的中點，與交于點G，與交于點H，，連接，求的長．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在中，，點D，E分別在邊上，且，若，，求的長．【答案】（1）②③；（2）①證明見詳解，②5；（3）8【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，繼而利用“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”得，；（2）①證明，則，即；②由，得到，求得，可求，再運用勾股定理可求；（3）在上取一點F，連接，使，由，求得，再證明，得到，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，同理可證：，故答案為：②③；（2）①證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②解：同①可證：，∴，即，∵，∴，解得：（舍負），∴，∴，∴，∴；（3）解：在上取一點F，連接，使，∵是的等腰直角三角形，，∴，同上可證：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴，解得：或（舍），∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計算，三角形的外角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的相似，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的一條重要性質(zhì)定理．如圖1，在中，，點D是的中點．求證：．下面是兩位同學(xué)兩種添加輔助線的方法：小明：如圖2，延長至點E，使，連接；小華：如圖3，取的中點E，連接；（1）請你選擇其中一位同學(xué)的方法完成證明，聰明的你也可以利用圖1用其他方法完成證明．【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，中，是高，求證：B，C，D，E四點共圓．【拓展提升】（3）如圖5，在五邊形中，，，F(xiàn)為的中點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、與三角形中位線有關(guān)的證明、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】（1）小明的方法：先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)得出結(jié)論即可；小華的方法：根據(jù)三角形的中位線定理，推出垂直平分，進而得出結(jié)論即可；其他方法：分別取的中點E，的中點F，連接，利用三角形的中位線定理和矩形的判定和性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）取邊的中點O，連接，利用斜邊上的中線，推出，即可得證；（3）取的中點M，AD的中點N，連接，利用斜邊上的中線，三角形的中位線定理，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：若選擇小明的方法：如圖2，延長至點E，使，連接，又∵點D是的中點，即，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴；若選擇小華的方法：如圖3，取的中點E，連接，又∵點D是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴．其他方法：如圖1，分別取的中點E，的中點F，連接，又∵點D是的中點，∴是的中位線，∴，，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形，∴，又∵，∴，（2）證明：如圖4，取邊的中點O，連接，∵是的高，∴，又∵O是邊的中點，∴，，∴，∴B，C，D，E四點在以點O為圓心，為直徑的同一個圓上．（3）如圖，取的中點M，的中點N，連接．∵，∴根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，可得：，，，，∴．∵，∴，∴．同理可證．又∵，∴∴，即，∴（），∴．【點睛】本題考查斜邊上的中線，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．【題型二】平行四邊形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念后，進一步得到平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分．（1）如圖1，在平行四邊形中，對角線與交于點O，求證：，．知識應(yīng)用（2）在中，點P為的中點．延長到D，使得，延長AC到E，使得，連接．如圖2，連接，若，請你探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并加以證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【知識點】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，證明，即可證明，；（2）過點B作交于H，連接，則，先證明是等邊三角形，得到，進而證明是等邊三角形，得到，接著證明四邊形是平行四邊形，得到互相平分，則，證明，得到，則．【詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，；（2），證明如下：如圖所示，過點B作交于H，連接，∴，∵，∴，即，∴是等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴互相平分，∵點P為的中點，∴A、P、H三點共線，∴，在和中，，∴，∴，∴．平行四邊形課本再現(xiàn)題解題技巧：活用性質(zhì)（對邊/角/對角線）與判定（如一組對邊平行且相等）。連對角線分全等三角形，構(gòu)中位線或倍長中線。拆圖形為平行四邊形+三角形，矩菱正問題用特性。計算用勾股、面積法，倒推條件，規(guī)范邏輯。【例2】（2024·江蘇揚州·一模）如圖①~⑧是課本上的折紙活動．【重溫舊知】上述活動，有的是為了折出特殊圖形，如圖①、③和⑧；有的是為了發(fā)現(xiàn)或證明定理，如圖④和⑦；有的是計算角度，如圖②；有的是計算長度，如圖⑤和⑥．（1）圖③中的的形狀是______；圖④的活動發(fā)現(xiàn)了定理“____________”（注：填寫定理完整的表述）；圖⑤中的的長是_______；【繼續(xù)探索】（2）如圖，將一個邊長為4的正方形紙片折疊，使點A落在邊上的點E處，點E不與B、C重合，為折痕．折疊后的梯形的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）等腰三角形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，（2）存在最小值，最小值為6【知識點】y=ax2+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半、矩形與折疊問題【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，則，由折疊得，所以，則是等腰三角形，于是得到問題的答案；由，得，，由折疊得，則，所以，于是得到問題的答案；由矩形的性質(zhì)得，則，由折疊得，所以，則，由勾股定量得，于是得到問題的答案；（2）連接，過點N作于點G，先證明，，則在中，由勾股定理得，然后將表示面積的相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示出，則，化簡，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：（1）如圖③四邊形是矩形，，，由折疊得，，，是等腰三角形，故答案為：等腰三角形．如圖④，，，，由折疊得，，，，，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故答案為：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖⑤，四邊形是矩形，，，，，，，由折疊得，，，在中，，，，解得，故答案為：．（2）存在最小值，連接，過點N作于點G，即，∵正方形，∴，∴，∴，∵翻折，∴，，，即，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則在中，由勾股定理得：，則，∴，∴，當(dāng)時，最小值為6．【點睛】此題重點考查軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)求最值，此題綜合性強，難度較大．【變式1】（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們曾學(xué)習(xí)過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在中，點D在上，E在上，．若，，則，；（2）已知，如圖1，在中，點D、E分別在、上，且．求證：．證明：過點作的平行線交于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與的三邊、、或其延長線交于D、F、E點，那么是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點，．則．

【答案】（1）3，（2）見解析（3）是定值，值為1（4）【知識點】利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、與三角形中位線有關(guān)的證明、由平行截線求相關(guān)線段的長或比值、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例，推出和的各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例，即可得證；（3）過點作，交于點，得到，即可得到；（4）過點作，交于點，交于點，根據(jù)平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，進行推導(dǎo)求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即：，∴，∴；故答案為：3，；（2）證明：過點作的平行線交于點F

則：，∵，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，又，∴；（3）過點作，交于點，

∴，∴，即：為定值，值為1；（4）過點作，交于點，交于點，

∵，∴，∵，為的中點，∴，∴，∴，同理：，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例，添加輔助線，構(gòu)造平行和相似三角形．【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】思考我們知道，矩形的對角線相等，反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？【定理證明】（1）如圖1，已知：在中，對角線、相交于，且，求證：是矩形．【知識應(yīng)用】（2）如圖2，是的中線，，且，連接，．①求證：；②當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是矩形？并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）①見解析；②滿足時，四邊形是矩形，理由見解析【知識點】證明四邊形是矩形、斜邊的中線等于斜邊的一半、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】此題考查矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答即可；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而得出，再證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）當(dāng)滿足時，四邊形是矩形，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定解答即可．【詳解】解：（1）證明：在圖1中，四邊形是平行四邊形，，．又，，，，，，是矩形．（2）①是的中線，，，，，四邊形是平行四邊形，；②當(dāng)滿足時，四邊形是矩形，，，，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時，，四邊形是矩形．矩形課本再現(xiàn)題解題技巧：用矩形性質(zhì)（四角直角、對角線相等）證線段/角相等。連對角線得全等直角三角形，遇中點構(gòu)中位線。結(jié)合勾股定理計算邊長，面積法求高。判定先證平行四邊形，再證直角或?qū)蔷€等，拆圖形為三角形或坐標(biāo)系問題，規(guī)范步驟防漏條件。【例2】（2024·江西吉安·三模）課本再現(xiàn)矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形是矩形．定義應(yīng)用(1)如圖，已知：在四邊形中，，用矩形的定義求證：四邊形是矩形．(2)如圖，在四邊形中，，是的中點，連接，，且，求證：四邊形是矩形．拓展延伸(3)如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，若圖中的四個三角形都相似，求的值．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、證明四邊形是矩形、矩形與折疊問題、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明【分析】（）先證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明四邊形是矩形；（）證明，根據(jù)性質(zhì)得，證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明四邊形是矩形；（）由折疊易知，，證明，然后分當(dāng)時和時即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）證明：∵E是

的中點，∴∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（3）由折疊易知，，∴∴∵，∴∴∴，∴當(dāng)時，，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)時，，∴，不符合題意，綜上所述，符合題意的．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1】課本再現(xiàn)思考我們知道，矩形的對角線相等．反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形．定理證明（1）為了證明該定理，小賢同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你從矩形的定義出發(fā)完成證明過程．已知：在中，對角線，交點為．求證：是矩形．應(yīng)用定理（2）如圖2，在菱形中，，，，分別為，，，的中點．求證：四邊形是矩形（用“課本再現(xiàn)”中的矩形判定定理證明）．拓展遷移（3）如圖3，四邊形的對角線，相交于點，且，，，，分別為，，，的中點．若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）12【知識點】利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、證明四邊形是矩形、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】本題考查了中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件判定，推出，利用平行線的性質(zhì)得到，即可判定是矩形；（2）先根據(jù)中點結(jié)合菱形的性質(zhì)證明，得，同理，，則，可知四邊形是平行四邊形，連接，，再證四邊形是平行四邊形，則，同理，四邊形是平行四邊形，則，得，即可證明四邊形是矩形；（3）由中位線定理可得，，，，即可證明四邊形是平行四邊形，由即可得出，從而證明四邊形是矩形，利用面積公式即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是矩形；（2）證明：在菱形中，，，，∵，，，分別為，，，的中點，∴，∴，∴，同理，，則，∴四邊形是平行四邊形，連接，，在菱形中，，則，∴四邊形是平行四邊形，則，同理，四邊形是平行四邊形，則，∴，∴四邊形是矩形；（3）∵，，，分別為，，，的中點，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴四邊形的面積，即四邊形的面積是．【變式2】課本再現(xiàn)思考我們知道，矩形的對角線相等．反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形．定理證明（）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在平行四邊形中，，是它的兩條對角線，．求證：平行四邊形是矩形．知識應(yīng)用如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，且．（）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（）過作于，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）矩形，理由見解析；（3）【知識點】證明四邊形是矩形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，即可求解；（3）根據(jù)題意得出，在邊上截取，設(shè)，則，，進而得出，解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是矩形；（2）平行四邊形是矩形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴平行四邊形是矩形，（3）∵，，∴，在邊上截取，設(shè)，則，∵是等腰直角三角形，∴∴∴∴解得：，即【變式3】（2025·江西南昌·一模）課本再現(xiàn)：定理：有三個角是直角的四邊形是矩形．定理證明：為了證明該定理，小穎同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”“求證”，請你完成證明過程．（1）已知：如圖1，在四邊形中，，求證：四邊形是矩形．知識應(yīng)用：（2）如圖2，在四邊形中，，平分，交于點，，是上的一點，且，過點作，交于點，過點作于點．①求證：四邊形是矩形．②若，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)矩形的判定即可得證；（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)矩形的判定即可得證；②設(shè)，則，，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得，過點作于點，設(shè)與交于點，則四邊形都是矩形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得，設(shè)，則，在中，解直角三角形可得，最后利用勾股定理可得，由此即可得．【詳解】證明：（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形．（2）①∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴四邊形是矩形．②由題意，設(shè)，則，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，如圖，過點作于點，∴四邊形都是矩形，∴，，∵，，∴，在中，，∵，，∴，，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，即，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問題【例1】課本再現(xiàn)定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：平行四邊形是菱形．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，垂足為，∴是的垂直平分線，∴___________∴平行四邊形是菱形．知識應(yīng)用（2）如圖2，在中，對角線和相交于點，，，．①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．【答案】（1）；（2）①見解析，②．【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的實際應(yīng)用、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵∴，在，中，，∴∴，同理可得，則，又∵∴∴四邊形是菱形．（2）①證明：四邊形是平行四邊形，，，，∴，，在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是菱形，∴∴，∴，∵，∴，∴，如圖所示，過點作交于點，∴，∴，∴菱形課本再現(xiàn)題解題技巧：用菱形性質(zhì)（四邊相等、對角線垂直平分且平分角）證全等/垂直。連對角線得直角三角形，用勾股定理計算。判定先證平行四邊形，再證鄰邊相等或?qū)蔷€垂直。遇中點構(gòu)中位線，面積用對角線乘積一半。規(guī)范步驟，拆圖形為三角形，注意角平分線與對稱特性。【例2】（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1，四邊形是菱形，，．（1）求，的長．應(yīng)用拓展（2）如圖2，為上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．①直接寫出點到距離的最小值；②如圖3，連接，，若的面積為6，求的長．【答案】（1）（2）①；②【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，，，再進一步的解答即可；（2）①證明為等邊三角形，可得，求解，如圖，過作于，可得，當(dāng)最小時，最小，可得當(dāng)時，最小，再進一步解答即可；②證明，可得，，證明，可得，再進一步解答可得答案．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，．，，，，，；（2）①四邊形是菱形，，，，為等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，如圖2，過作于，，當(dāng)最小時，最小，當(dāng)時，最小，此時，，，點到距離的最小值為；②四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，的面積為6，，，，．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，二次根式的除法運算，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直．定理證明（）如圖，已知四邊形為菱形，前面已證菱形的四條邊相等，請進一步證明對角線．知識應(yīng)用（）如圖，已知四邊形為菱形，等腰的頂點在上，底邊交邊于點，點為的中點，點為與的交點，且．①求證：；②若，，，，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②5【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、利用菱形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】（）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立；（）①令交于點，證明，得，從而證明，進而即可得證；②如圖，令交于點，證明，得，再證明四邊形是矩形，得，，，，從而由得，再利用三角函數(shù)即可得解．【詳解】（）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∴；（）①證明：令交于點，

∵等腰的頂點在上，底邊交邊于點，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖，令交于點，

∵四邊形是菱形，∴，，∴，由①得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∵∴，∵，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題【例1】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）【課本再現(xiàn)】北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)課本第21頁有這樣一道題：（1）如圖1，在正方形中，E為邊上一點，F(xiàn)為延長線上一點，且．與之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【類比探究】（2）如圖2，在矩形中，，點E在邊上，連接，F(xiàn)為延長線上一點，連接，，且的延長線垂直于，垂足為點H．①求的值；②求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，平移線段，使它經(jīng)過的中點H，交于點M，交于點N，連接，若，，請你求出的長．【答案】（1），，理由見解析；（2）①；②；（3）8【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求角的正弦值【分析】（1）只需要證明，即可得到結(jié)論，，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；（2）①只需要證明，即可得到；②根據(jù)①中，求出，設(shè)，則，然后在，利用勾股定理求出，利用正弦定義求解即可；（3）由平移的性質(zhì)可得，，結(jié)合，，可求出，再證明垂直平分，得到，根據(jù)，可設(shè)，利用勾股定理得到，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1），，理由如下：延長交于G，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴；（2）解：①∵，∴．在矩形中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；②∵，∴，設(shè)，則，∴，∴；（3）由平移的性質(zhì)可得，，∵，，∴，∵點H為的中點，∴垂直平分，∴，∵，∴可設(shè)，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．正方形課本再現(xiàn)題解題技巧：用四邊相等、直角、對角線垂直相等且平分角的性質(zhì)證全等/垂直。連對角線得等腰直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)計算。判定先證矩形+鄰邊相等或菱形+直角。借旋轉(zhuǎn)/對稱構(gòu)全等，遇中點連中線，規(guī)范步驟分階段證明，拆圖形為三角形或坐標(biāo)系問題?！纠?】（2024·江西九江·模擬預(yù)測）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，四邊形是一個正方形，E是延長線上一點，且，則的度數(shù)為．【變式探究】（2）如圖2，將（1）中的沿折疊，得到，延長交于點F，若，求的長．【延伸拓展】（3）如圖3，當(dāng)（2）中的點E在射線上運動時，連接，與交于點P．探究：當(dāng)?shù)拈L為多少時，D，P兩點間的距離最短？請求出最短距離．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)?shù)拈L為時，D，P兩點間的距離最短，最短距離為【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、折疊問題、求一點到圓上點距離的最值、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，推出，由，得到，推出即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，求出，進而得到，由折疊的性質(zhì)得到，，再根據(jù)（1）中，得到，進而得到，利用勾股定理求出，由即可求解；（3）由折疊的性質(zhì)，得到，即點P在以為直徑的圓上運動，設(shè)的中點為Q，連接，則當(dāng)點P在上時，D，P兩點間的距離最短，設(shè)交于點G，如圖，求出，進而得到，，證明，得到，即可求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，故答案為：；（2）四邊形是正方形，，，，，由折疊的性質(zhì)得到，，由（1）知，，，，；（3）由折疊知，，點P在以為直徑的圓上運動，設(shè)的中點為Q，連接，則當(dāng)點P在上時，D，P兩點間的距離最短，設(shè)交于點G，如圖，，，，又，，即，，故當(dāng)?shù)拈L為時，D，P兩點間的距離最短，最短距離為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，點到圓上的最短距離，三角形相似的判定與性質(zhì)，靈活運用點到圓上的最短距離，折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·廣西南寧·二模）幾何探究【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，邊與邊相交于點，邊與邊相交于點．在實驗與探究中，小新發(fā)現(xiàn)無論正方形繞點怎樣轉(zhuǎn)動，之間一直存在某種數(shù)量關(guān)系，小新發(fā)現(xiàn)通過證明即可推導(dǎo)出來．請幫助小新完成下列問題：①求證；②連接，則之間的數(shù)量關(guān)系是____________．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心是矩形的一個頂點，與邊相交于點與邊相交于點，連接，矩形可繞著點旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，直角的頂點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線相交于點可繞著點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出線段的長度．【答案】（1）①見解析；②；（2），理由見解析；（3）或．【知識點】全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、矩形性質(zhì)理解、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)，證明即可；②由全等三角形的性質(zhì)得到，則，再利用勾股定理即可得到結(jié)論；（2）連接，延長，交于點，連接，證明，得到，，推出，得到，即可得出結(jié)論；（3）分點在線段上和在線段的延長線上，兩種情況進行討論求解．【詳解】解：（1）①∵正方形的對角線相交于點O，點O又是正方形的一個頂點，∴，∴，∴；②連接，

∵正方形，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（2），理由如下：連接，

∵矩形的中心O是矩形的一個頂點，∴，，，延長，交于點，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴是的中垂線，∴，∴，∴；解：（3）設(shè)，①當(dāng)點在線