2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=2∠A，則cosB等于（）A． B． C． D．2．判斷一元二次方程是否有實數(shù)解，計算的值是（）A． B． C． D．3．菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則菱形ABCD的周長為（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．在三角形紙片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虛線剪下，能使陰影部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．5．菱形中，，對角線相交于點，以為圓心，以3為半徑作，則四個點在上的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．在平面直角坐標(biāo)系中，點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖，□ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF:FC等于（）A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:28．直徑為1個單位長度的圓上有一點A與數(shù)軸上表示1的點重合，圓沿著數(shù)軸向左滾動一周，點A與數(shù)軸上的點B重合，則B表示的實數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知，點是線段上的黃金分割點，且，則的長為（）A． B． C． D．10．一個圓柱和一個正方體按如圖所示放置，則其俯視圖為（）A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若＝，則的值為________．12．方程的解是_______．13．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則sin∠A的值為__________．14．如圖所示的五角星繞中心點旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)的角度至少為_______；15．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：，，；，，其中正確的結(jié)論序號是______16．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，以點為位似中心，相們比為，把縮小，得到，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為_____．17．分解因式：．18．如圖AC，BD是⊙O的兩條直徑，首位順次連接A，B，C，D得到四邊形ABCD，若AD=3，∠BAC=30°，則圖中陰影部分的面積是______．三、解答題(共66分)19．（10分）已知x2+xy+y＝12，y2+xy+x＝18，求代數(shù)式3x2+3y2﹣2xy+x+y的值．20．（6分）如圖，在△ABF中,以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)求證：△FEC是等腰三角形21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上（OA＜OB）．且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個根，線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，交x軸于點D，點P是直線AB上一個動點，點Q是直線CD上一個動點．（1）求線段AB的長度：（2）過動點P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，點P在移動過程中，線段EF的長度也在改變，請求出線段EF的最小值：（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．22．（8分）如圖示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（）交軸于，，在軸上有一點，連接.（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點是第二象限內(nèi)的點拋物線上一動點①求面積最大值并寫出此時點的坐標(biāo)；②若，求此時點坐標(biāo)；（3）連接，點是線段上的動點.連接，把線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，點是點的對應(yīng)點.當(dāng)動點從點運動到點，則動點所經(jīng)過的路徑長等于______（直接寫出答案）23．（8分）已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，且E為CD中點，過點B作CD的平行線交弦AD的延長線于點F.（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）連結(jié)BC，若⊙O的半徑為2，tan∠BCD=，求線段AD的長．24．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F．（1）求證：AB＝AF；（2）當(dāng)AB＝3，BC＝4時，求的值．25．（10分）先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣4x+3＝1．26．（10分）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當(dāng)A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝1，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應(yīng)的輔助線)(3)拓展延伸：如圖1，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝1．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=故選B本題考查三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2、B【解析】首先將一元二次方程化為一般式，然后直接計算判別式即可.【詳解】一元二次方程可化為：∴故答案為B.此題主要考查一元二次方程的根的判別式的求解，熟練掌握，即可解題.3、A【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝3，x2＝4，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可確定邊AB的長是4，然后計算菱形的周長．【詳解】（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，∵菱形ABCD的一條對角線長為6，∴邊AB的長是4，∴菱形ABCD的周長為1．故選A．本題考查菱形的性質(zhì)和解一元二次方程-因式分解法，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)和解一元二次方程-因式分解法.4、D【解析】解：三角形紙片ABC中，AB=8，BC=4，AC=1．A．，對應(yīng)邊，則沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；B．，對應(yīng)邊，則沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；C．，對應(yīng)邊，則沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；D．，對應(yīng)邊，則沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項正確；故選D．點睛：此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等且夾角相等的兩三角形相似是解題關(guān)鍵．5、B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，AO=CO=3，OB=OD，AC⊥BD，再根據(jù)勾股定理求出BO的長，從而可以判斷出結(jié)果．【詳解】解：如圖，由菱形的性質(zhì)可得，AO=CO=3，BO=DO，AC⊥BD,在Rt△ABO中，BO==DO≠3，∴點A，C在上，點B，D不在上．故選：B．本題考查菱形的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，掌握基本性質(zhì)和概念是解題的關(guān)鍵．6、D【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征進行判斷即可得.【詳解】因則點位于第四象限故選：D.本題考查了平面直角坐標(biāo)系象限的性質(zhì)，象限的符號規(guī)律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟記象限的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7、D【分析】根據(jù)題意得出△DEF∽△BCF，進而得出，利用點E是邊AD的中點得出答案即可．【詳解】解：∵?ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵點E是邊AD的中點，∴AE=DE=AD，∴．故選D．8、C【分析】因為圓沿數(shù)軸向左滾動一周的長度是，再根據(jù)數(shù)軸的特點及的值即可解答．【詳解】解：直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向左滾動一周，數(shù)軸上表示1的點與點B之間的距離為圓的周長，點B在數(shù)軸上表示1的點的左邊．點B對應(yīng)的數(shù)是．故選：C．本題比較簡單，考查的是數(shù)軸的特點及圓的周長公式．圓的周長公式是：．9、A【分析】根據(jù)黃金分割點的定義和得出，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長度．【詳解】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點，且，

則．

故選：A．本題考查了黃金分割．應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．10、D【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．【詳解】解：一個圓柱和一個正方體按如圖所示放置，則其俯視圖為左邊是一個圓，右邊是一個正方形．故選：D．本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)條件可知a與b的數(shù)量關(guān)系，然后代入原式即可求出答案．【詳解】∵＝，∴b=a,∴=,故答案為：.本題考查了分式，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則．12、【分析】根據(jù)提公因式法解一元二次方程直接求解即可．【詳解】提公因式得解得．故答案為．本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是關(guān)鍵．13、【分析】根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)的定義直接求解即可；【詳解】如圖，，∴sin∠A，故答案為：本題考查了三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.14、72°【詳解】五角星繞中心點旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身完全重合,則其旋轉(zhuǎn)的角度至少為=72°.故答案為72°.15、【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】由圖象可知：拋物線開口方向向下，則，對稱軸直線位于y軸右側(cè)，則a、b異號，即，拋物線與y軸交于正半軸，則，，故正確；對稱軸為，，故正確；由拋物線的對稱性知，拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，所以當(dāng)時，，即，故正確；拋物線與x軸有兩個不同的交點，則，所以，故錯誤；當(dāng)時，，故正確．故答案為．本題考查了考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．16、或【解析】利用位似圖形的性質(zhì)可得對應(yīng)點坐標(biāo)乘以和-即可求解.【詳解】解：以點為位似中心，相似比為，把縮小，點的坐標(biāo)是則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為或，即或，故答案為：或．本題考查的是位似圖形，熟練掌握位似變換是解題的關(guān)鍵.17、．【解析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，先提取公因式后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：．考點：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．18、【分析】首先證明△BOC是等邊三角形及△OBC≌△AOD（SAS），進而得出S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，得到S陰＝2?S扇形OAD，再利用扇形的面積公式計算即可；【詳解】解：∵AC是直徑，

∴∠ABC＝∠ADC=90°，

∵∠BAC＝30°，AD＝3，

∴AC＝2AD=6，∠ACB＝60°，∴OA=OC=3，

∵OC＝OB=OA=OD，

∴△OBC與△AOD是等邊三角形，

∴∠BOC＝∠AOD＝60°，∴△OBC≌△AOD（SAS）又∵O是AC，BD的中點，

∴S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，

∴S陰＝2?S扇形OAD=，故答案為：．本題考查扇形的面積公式、解直角三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．三、解答題(共66分)19、或【分析】分別將已知的兩個等式相加和相減，得到(x+y）2+(x+y)＝30，(x+y-1）(x﹣y)＝﹣6，即可求得x、y的值，再求代數(shù)式的值即可．【詳解】解：由x2+xy+y＝12①，y2+xy+x＝18②，①+②，得（x+y）2+（x+y）＝30③，①﹣②，得（x+y-1）（x﹣y）＝﹣6④，由③得（x+y+6）（x+y﹣5）＝0，∴x+y＝﹣6或x+y＝5⑤，∴將⑤分別代入④得，x﹣y＝或x﹣y＝﹣，∴或當(dāng)時，當(dāng)時，

故答案為：或本題考查解二元一次方程組；理解題意，將已知式子進行合理的變形，再求二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進而得出AF∥CO，即可得出結(jié)論；（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補角相等得出∠FEC=∠B即可得出結(jié)論．試題解析：（1）連接OC，則∠CAO=∠ACO，又∠FAC=∠CAO∴∠FAC=∠ACO，∴AF∥CO，而CD⊥AF，∴CO⊥CD，即直線CD是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°又∠FAC=∠CAO∴AF=AB（三線合一），∴∠F=∠B，∵四邊形EABC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°∴∠FEC=∠B∴∠F=∠FEC，即EC=FC所以△FEC是等腰三角形．21、（1）1；（2）；（3）存在，所求點M的坐標(biāo)為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B兩點的坐標(biāo)，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB即可．（2）證明四邊形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．（3）分兩種情況進行討論：①當(dāng)點P與點B重合時，先求出BM的解析式為y＝x+8，設(shè)M（x，x+8），再根據(jù)BM＝5列出方程（x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐標(biāo)；②當(dāng)點P與點A重合時，先求出AM的解析式為y＝x﹣，設(shè)M（x，x﹣），再根據(jù)AM＝5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，解方程即可求出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，得x1＝6，x2＝8，∵OA＜OB，∴A（6，0），B（0，8）；在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝1．（2）如圖，連接OP．∵PE⊥OB，PF⊥OA，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，∴四邊形PEOF是矩形，∴EF＝OP，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)OP⊥AB時，OP的值最小，此時OP＝＝，∴EF的最小值為．（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為AB長．∵AC＝BC＝AB＝5，∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點P與點B或點A重合．分兩種情況：①當(dāng)點P與點B重合時，易求BM的解析式為y＝x+8，設(shè)M（x，x+8），∵B（0，8），BM＝5，∴（x+8﹣8）2+x2＝52，化簡整理，得x2＝16，解得x＝±4，∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；②當(dāng)點P與點A重合時，易求AM的解析式為y＝x﹣，設(shè)M（x，x﹣），∵A（6，0），AM＝5，∴（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，化簡整理，得x2﹣12x+20＝0，解得x1＝2，x2＝1，∴M3（2，﹣3），M4（1，3）；綜上所述，所求點M的坐標(biāo)為M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．本題是一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，正方形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．22、（1）；（2）①，點坐標(biāo)為；②；（3）【分析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)代入解析式即可得解；（2）①由A、E兩點坐標(biāo)得出直線AE解析式，設(shè)點坐標(biāo)為，過點作軸交于點，則坐標(biāo)為，然后構(gòu)建面積與t的二次函數(shù)，即可得出面積最大值和點D的坐標(biāo)；②過點作，在中，由，，得出點M的坐標(biāo)，進而得出直線ME的解析式，聯(lián)立直線ME和二次函數(shù)，即可得出此時點D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意，當(dāng)點P在點C時，Q點坐標(biāo)為（-6,6），當(dāng)點P移動到點A時，Q′點坐標(biāo)為（-4，-4），動點所經(jīng)過的路徑是直線QQ′，求出兩點之間的距離即可得解.【詳解】（1）依題意得：，解得∴（2）①∵，∴設(shè)直線AE為將A、E代入，得∴∴直線設(shè)點坐標(biāo)為，其中過點作軸交于點，則坐標(biāo)為∴∴即：由函數(shù)知識可知，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為②設(shè)與相交于點過點作，垂足為在中，，，設(shè)，則，∴∴∴∴∴∴∴∴（舍去），當(dāng)時，∴（3）當(dāng)點P在點C時，Q點坐標(biāo)為（-6,6），當(dāng)點P移動到點A時，Q′點坐標(biāo)為（-4，-4），如圖所示：∴動點所經(jīng)過的路徑是直線QQ′，∴故答案為.此題主要考查二次函數(shù)以及動點綜合問題，解題關(guān)鍵是找出合適的坐標(biāo)，即可解題.23、（1）見解析；（2）【分析】（1）由垂徑定理可證AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，則BF是⊙O的切線；（2）連接BD，根據(jù)同弧所對圓周角相等得到∠BCD=∠BAD，再利用圓的性質(zhì)得到∠ADB=90°，tan∠BCD=tan∠BAD=，得到BD與AD的關(guān)系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD與半徑的關(guān)系，進一步求解即可得到答案.【詳解】（1）證明：∵⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，且E為CD中點∴AB⊥CD,∠AED=90°∵CD//BF∴∠ABF=∠AED=90°∴AB⊥BF∵AB是⊙O的直徑∴BF是⊙O的切線（2）解：連接BD∵∠BCD、∠BAD是同弧所對圓周角∴∠BCD=∠BAD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∵tan∠BCD=tan∠BAD=∴∴設(shè)BD=3x，AD=4x∴AB=5x∵⊙O的半徑為2，AB=4∴5x=4，x=∴AD=4x=本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的知識．關(guān)鍵是利用圓周角定理將已知角進行轉(zhuǎn)化，利用直徑證明直角三角形．24、（1）見解析；（2）.【分析】（1）只要根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到∠1＝∠3，進而可得結(jié)論；（2）易證△AEF∽△CEB，于是AE：CE＝AF：BC，然后結(jié)合（1）的結(jié)論即可求出AE：EC，進一步即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴AE：CE＝AF：BC，∵AF＝AB＝3，BC＝4，∴AE：EC＝3：4，∴．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識是解題關(guān)鍵.25、化簡結(jié)果是，求值結(jié)果是：．【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出x的值代入進行計算即可．【詳解】解：原式＝＝＝＝，∵x滿足x2﹣4x+3＝1，∴(x-3)(x-1)＝1，∴x1＝3，x2＝1，當(dāng)x＝3時，原式＝﹣＝；當(dāng)x＝1時，分母等于1，原式無意義．∴分式的值為．故答案為：化簡結(jié)果是，求值結(jié)果是：.本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則及解一元二次