14.1全等三角形及其性質第十四章

全等三角形【2025新教材】人教版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：14.1全等三角形及其副標題：探尋圖形全等奧秘，解鎖三角相等特性背景圖：以生活中全等的瓷磚、拼圖，以及幾何圖形中的全等三角形為背景，搭配光影效果，展現(xiàn)全等的視覺美感，激發(fā)學生學習興趣幻燈片2：目錄情境導入全等三角形的概念全等三角形的對應元素全等三角形的性質全等三角形性質的應用課堂練習與互動課堂小結課后作業(yè)布置幻燈片3：情境導入生活實例展示：播放一段視頻，展示生活中常見的全等現(xiàn)象，如超市里整齊排列的全等包裝盒、建筑墻面的全等瓷磚、拼圖游戲中契合的板塊等

。提問引導：“同學們，在剛才的視頻中，這些形狀和大小完全一樣的圖形有什么特別之處呢？它們在數(shù)學中又有著怎樣重要的地位？今天我們就一起來探索全等三角形及其性質?！被脽羝?：全等三角形的概念概念講解：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。通過動畫演示，將兩個形狀、大小完全相同的三角形進行重合操作，直觀展示全等的過程，強調“完全重合”是判斷全等三角形的關鍵

。全等符號：介紹全等的符號“≌”，說明用符號表示全等三角形時的書寫規(guī)范，例如\(\triangleABCa??\triangleDEF\)，表示\(\triangleABC\)與\(\triangleDEF\)是全等三角形

?；脽羝?：全等三角形的對應元素對應頂點、對應邊、對應角：對應頂點：兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做對應頂點。在\(\triangleABCa??\triangleDEF\)中，點\(A\)與點\(D\)、點\(B\)與點\(E\)、點\(C\)與點\(F\)是對應頂點

。對應邊：互相重合的邊叫做對應邊，\(AB\)與\(DE\)、\(BC\)與\(EF\)、\(AC\)與\(DF\)是對應邊

。對應角：互相重合的角叫做對應角，\(\angleA\)與\(\angleD\)、\(\angleB\)與\(\angleE\)、\(\angleC\)與\(\angleF\)是對應角

。尋找對應元素的方法：字母順序法：根據(jù)全等三角形的表示方法，對應頂點的字母順序確定對應邊和對應角

。大對大、小對?。捍筮厡筮?，小邊對應小邊；大角對應大角，小角對應小角

。公共邊、公共角法：有公共邊的，公共邊是對應邊；有公共角的，公共角是對應角

。幻燈片6：全等三角形的性質性質推導：因為全等三角形能夠完全重合，所以重合的邊長度相等，重合的角度數(shù)相等。由此得出全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等

。幾何語言表示：若\(\triangleABCa??\triangleDEF\)，則\(AB=DE\)，\(BC=EF\)，\(AC=DF\)；\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleC=\angleF\)。強調要點：強調在應用性質時，一定要找準對應邊和對應角，這是正確運用性質解題的關鍵

。幻燈片7：全等三角形性質的應用-基礎應用例題講解：“如圖，已知\(\triangleABCa??\triangleA'B'C'\)，\(AB=5cm\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，求\(A'B'\)的長度和\(\angleB'\)的度數(shù)?！敝v解：根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質，因為\(\triangleABCa??\triangleA'B'C'\)，\(AB\)與\(A'B'\)是對應邊，所以\(A'B'=AB=5cm\)；根據(jù)全等三角形對應角相等的性質，\(\angleB\)與\(\angleB'\)是對應角，所以\(\angleB'=\angleB=60^{\circ}\)。方法總結：遇到已知全等三角形求邊或角的問題，先確定所求邊或角的對應邊或對應角，再利用全等三角形的性質求解

?；脽羝?：全等三角形性質的應用-綜合應用例題講解：“如圖，\(\triangleABCa??\triangleADE\)，\(\angleBAC=70^{\circ}\)，\(\angleC=30^{\circ}\)，\(BC=3cm\)，求\(\angleE\)的度數(shù)和\(DE\)的長度?！敝v解：在\(\triangleABC\)中，根據(jù)三角形內角和定理，\(\angleB=180^{\circ}-\angleBAC-\angleC=180^{\circ}-70^{\circ}-30^{\circ}=80^{\circ}\)。因為\(\triangleABCa??\triangleADE\)，\(\angleE\)與\(\angleC\)是對應角，所以\(\angleE=\angleC=30^{\circ}\)；\(DE\)與\(BC\)是對應邊，所以\(DE=BC=3cm\)。思路分析：對于綜合應用問題，要先利用已學知識求出相關邊或角的度數(shù)，再結合全等三角形的性質求解，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力

?；脽羝?：課堂練習與互動-基礎練習題目展示：已知\(\triangleMNPa??\triangleQRS\)，\(MN=3cm\)，\(\angleN=45^{\circ}\)，則\(QR=\)，\(\angleR=\)。如圖，\(\triangleABCa??\triangleDEC\)，\(CA\)和\(CD\)，\(CB\)和\(CE\)是對應邊，\(\angleACD=40^{\circ}\)，求\(\angleBCE\)的度數(shù)

?；迎h(huán)節(jié)：學生獨立完成練習，教師巡視指導，選取學生回答問題，及時糾正錯誤，講解解題思路

?；脽羝?0：課堂練習與互動-綜合練習題目展示：如圖，\(\triangleAOBa??\triangleDOC\)，\(AO=DO\)，\(BO=CO\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleAOB=100^{\circ}\)，求\(\angleD\)、\(\angleC\)和\(\angleDOC\)的度數(shù)

。已知\(\triangleABCa??\triangleFED\)，\(AB=FE\)，\(BC=ED\)，點\(A\)的對應點是點\(F\)，點\(B\)的對應點是點\(E\)，若\(\angleA=40^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，求\(\angleD\)的度數(shù)和\(DF\)與\(AC\)的關系

?；迎h(huán)節(jié)：學生先獨立思考，然后小組討論交流，每組派代表分享解題方法，教師總結多種解法，拓展學生思維

?；脽羝?1：課堂小結知識回顧：總結全等三角形的概念、對應元素的尋找方法以及全等三角形的性質，強調“對應”在全等三角形學習中的重要性

。學習方法強調：鼓勵學生在學習過程中，多觀察圖形，通過圖形的重合來理解全等的概念和性質；遇到問題時，要善于運用全等三角形的性質建立邊和角的等量關系

?；脽羝?2：課后作業(yè)布置基礎作業(yè)：已知\(\triangleDEFa??\triangleGHI\)，\(DE=6cm\)，\(\angleE=50^{\circ}\)，求\(GH\)的長度和\(\angleH\)的度數(shù)

。如圖，\(\triangleABEa??\triangleACD\)，\(AB=AC\)，\(BE=CD\)，\(\angleB=50^{\circ}\)，\(\angleAEB=120^{\circ}\)，求\(\angleDAC\)的度數(shù)

。拓展作業(yè)：在生活中尋找更多全等三角形的實例，拍照或繪制下來，并標注出對應邊和對應角；思考如何利用全等三角形的性質解決一些實際測量問題（如測量無法直接到達的兩點間的距離），下節(jié)課與同學們分享

。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解理解全等形的概念，能根據(jù)全等形的概念，判斷兩個圖形是不是全等形.理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角.經(jīng)歷全等三角形的拼圖過程，從圖形變換的角度認識全等三角形及其性質，體會圖形的變化，發(fā)展空間觀念.能利用全等三角形的性質進行簡單的有關線段、角的推理和計算.如圖，對開的大門、設計的圖案中都有形狀、大小相同的圖形的形象.你能再舉出一些類似的例子嗎？知識點1

全等形

思考：觀察每組中的兩個圖形有什么特點？①

②

③

④

⑤

形狀、大小完全相同形狀相同、大小不同形狀、大小均不相同全等形定義：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫作全等形.知識點1

全等形

例1下列各組圖形是全等形的是（）兩個圖形的形狀不相同兩個圖形的形狀相同，大小相同兩個圖形的形狀不相同兩個圖形的形狀相同，大小不相同B知識點1

全等形

知識點2

全等三角形

全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.EDFABC知識點2

全等三角形

思考在圖(1)中，把△ABC沿直線BC平移，得到△DEF在圖(2)中，把△ABC沿直線BC翻折180°，得到△DBC.在圖(3)中，把△ABC繞點A旋轉，得到△ADE.各圖中的兩個三角形全等嗎？知識點2

全等三角形

全等變化

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等.知識點2

全等三角形

△ABC≌△DEFA

BCFED全等的表示方法“全等”用符號“≌”表示，讀作“全等于”.知識點2

全等三角形

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫作對應頂點，重合的邊叫作對應邊，重合的角叫作對應角.例如，下圖中△ABC≌△DEF，其中點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應角.A

BCFED知識點2

全等三角形

例2如圖，△ABC≌△BAD，請指出兩個全等三角形的對應邊和對應角.解：對應邊：AB與BA，BC與AD，AC與BD.對應角：∠CAB與∠DBA，∠ABC與∠BAD，∠C與∠D.知識點2

全等三角形

全等三角形中對應元素的確定方法1.字母順序法：根據(jù)書寫規(guī)范，按照對應頂點確定對應邊、對應角.2.圖形位置法：(1)公共角或對頂角為對應角，公共邊為對應邊；(2)對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；(3)對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.3.圖形特征法：(1)一對最長（短）的邊為對應邊；(2)一對最大（?。┑慕菫閷?知識點3

全等三角形的性質

思考圖(1)中，△ABC≌△DEF，對應邊有什么關系？對應角呢？其他兩圖中的全等三角形呢？AB=DE，BC=EF，AC=DF

，∠A=∠D，∠B=∠E

，∠C=∠F，即△ABC與△DEF的對應邊相等，對應角相等.其他兩圖中的全等三角形的對應邊相等，對應角相等.知識點3

全等三角形的性質

全等三角形有這樣的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等.∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，

AC=DF，BC=EF(全等三角形的對應邊相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形的對應角相等）.全等三角形性質的幾何語言A

BCFED知識點3

全等三角形的性質

例3如圖，△ABC≌△BAD，點A和點B，點C和點D是對應頂點，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延長線相交于點E.求∠CBD，∠AEB的度數(shù).解：∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD=∠BAC=65°.∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=65°-26°=39°.在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-65°-65°=50°.E

B

A

D

C

知識點3

全等三角形的性質

如圖，△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，BF=4，EF=7，求∠DFE的度數(shù)和CF的長．解：∵△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠B=50°，∴∠E=∠B=50°，∠D=∠A=70°，∴

∠DFE=180°-50°-70°=60°.∵△ABC≌△DEF，BF=4，EF=7，∴BC=EF=7，∴CF=BC-BF=7-4=3.跟蹤訓練

1.如圖，△ABC≌△BDE，∠A和∠EBD，∠C和∠E是對應角.說出這兩個三角形的對應邊和另一組對應角.解：（1）對應邊有AC與BE，CB與ED，AB與BD；對應角還有∠CBA和∠D.2.如圖，△OCA≌△OBD，點C和點B，點A和點D是對應頂點.說出這兩個三角形中相等的邊和角.解：相等的邊：AC=DB，AO=DO，CO=BO;相等的角：∠C=∠B，∠A=∠D，∠AOC=∠DOB.3.圖中有兩個全等三角形，其中的小寫字母表示三角形的邊長，則∠1等于多少度？解：由題得，△ABC≌△DEF，∴∠1=∠C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B

=180°-60°-54°=66°.∴∠1=66°.((54°60°acbA

B

C

(1bcF

E

D

4.如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應角，在△EFG中，F(xiàn)G是最長邊.在△NMH中，MH是最長邊，且EF=2.1，EH=1.1，NH=3.3.（1）寫出其他對應邊及對應角；（2）求線段NM及線段HG的長度.解：（1）對應邊有EF和NM，F(xiàn)G和MH，EG和NH；對應角有∠E和∠N，∠EGF和∠NHM.4.如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應角，在△EFG中，F(xiàn)G是最長邊.在△NMH中，MH是最長邊，且EF=2.1，EH=1.1，NH=3.3.（1）寫出其他對應邊及對應角；（2）求線段NM及線段HG的長度.解：（2）∵△EFG≌△NMH，

∴NM=EF=2.1，EG=NH=3.3.∴HG=EG–EH=3.3–1.1=2.2.5.如圖，△ABC≌△DEC，CA與CD，CB與CE是對應邊.∠ACD和∠BCE相等嗎？為什么？解：∠