列不定方程解應(yīng)用題列不定方程解應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)熟練掌握不定方程的解題技巧能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題知識精講知識精講一、知識點(diǎn)說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來．考點(diǎn)說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中．在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具解題。二、運(yùn)用不定方程解應(yīng)用題步驟1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程2、根據(jù)解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論把拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，一個(gè)是的倍數(shù)（要盡量?。粋€(gè)是的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是和．甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，兩人共搬了塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答所以甲搬了塊，乙搬了塊，甲比乙搬得多，多塊．【答案】甲比乙搬得多，多塊現(xiàn)有足夠多的角和角的郵票，用來付元的郵資，問角的郵票需要多少張？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答嘗試的取值，當(dāng)取時(shí)，能取得整數(shù)，當(dāng)再增大，取大于等于的數(shù)時(shí)，沒有自然數(shù)解．所以角的郵票需要張．【答案】角的郵票需要張用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為___________________.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，北大附中，資優(yōu)博雅杯【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為模塊二、不定方程與應(yīng)用題有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝千克油，小的能裝千克油，千克油恰好裝滿這些油桶．問：大、小油桶各幾個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答設(shè)有大油桶個(gè)，小油桶個(gè)．由題意得：所以大油桶有個(gè)，小油桶有個(gè)．小結(jié)：這道題在解答時(shí)，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，便可輕松求解.【答案】大油桶有個(gè)，小油桶有個(gè)在一次活動(dòng)中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次．“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以，再把兩個(gè)得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù)．你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次某人打靶，發(fā)共打了環(huán)，全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上．問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】這個(gè)活動(dòng)共有人或人參加單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個(gè)孩子參加．男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個(gè)孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答因?yàn)橛械穆毠じ鲙б粋€(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)．設(shè)男職工有人，女職工有人．【答案】其中有12名男職工張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】上衣共件小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時(shí)總要叫上幾聲表示問候．若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計(jì)了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這天內(nèi)它們共叫了聲．問：波斯貓至少叫了多少聲？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】叫了聲甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)配件與一個(gè)配件組成．甲每天生產(chǎn)300個(gè)配件，或生產(chǎn)150個(gè)配件；乙每天生產(chǎn)120個(gè)配件，或生產(chǎn)48個(gè)配件．為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件．現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】最多可以生產(chǎn)出套衣服有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天完成，乙單獨(dú)做需要天完成，丙單獨(dú)做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了天．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答設(shè)完成這項(xiàng)工程用了天，其間丙休息了天．【答案】丙休息了天實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】大巴車的載客人數(shù)為人實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．【答案】大巴車的載客人數(shù)為人每輛大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人．現(xiàn)有378人，要使每個(gè)人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛．【答案】大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多，雞兔共條腿．”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解．設(shè)小峰養(yǎng)了只兔子和只雞，由題意得：這是一個(gè)不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：【答案】兔有只，雞有只一個(gè)家具店在1998年總共賣了213張床．起初他們每個(gè)月賣出25張床，之后每個(gè)月賣出16張床，最后他們每個(gè)月賣出20張床．問：他們共有多少個(gè)月是賣出25張床？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】1999年，香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽設(shè)賣出25、16、20張床的月份分別為、、個(gè)月，則：顯然這個(gè)方程的正整數(shù)解只有，．所以只有1個(gè)月是賣出25張床的．【答案】只有1個(gè)月是賣出25張床的五年級一班共有人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有、、、、五個(gè)小組．若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人．那么，參加組的有_______人．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】參加組的有人將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組．已知甲乙丙的平均年齡分為，，.甲乙兩組人合起來的平均年齡為；乙丙兩組人合起來的平均年齡為．則這一群人的平均年齡為.【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，我愛數(shù)學(xué)夏令營【答案】個(gè)大、中、小號鋼珠共重克，大號鋼珠每個(gè)重克，中號鋼珠每個(gè)重克，小號鋼珠每個(gè)重克．問：大、中、小號鋼珠各有多少個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】大、中、小號鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè)袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字，和，小明從中摸出12個(gè)球，它們的數(shù)字之和是．問：小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字，和的球分別為，，個(gè)，于是有由于，都是正整數(shù)，因此在⑶中，取時(shí)．取最大值，所以小明最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球．【答案】最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球公雞1只值錢5，母雞一只值錢3，小雞三只值錢1，今有錢100，買雞100只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只小明玩套圈游戲，套中小雞一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分．小明共套了次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分．問：小明至多套中小雞幾次？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】小明至多套中小雞次開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支元，鉛筆每支元．寧寧買完兩種筆后把錢花完．請問：她一共買了幾支筆？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】寧寧共買了支筆或支筆小華和小強(qiáng)各用角分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是分一支和分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強(qiáng)多．小華比小強(qiáng)多買來鉛筆多少支．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽【答案】小華比小強(qiáng)多買支【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人．故參加決賽的男選手為人，女選手為人．【答案】男選手為人，女選手為人今有桃個(gè)，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有是壞的，其他是好的．甲、乙兩班分到的好桃共有幾個(gè)？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】兩班共分到好桃個(gè)甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙兩人共有多少粒糖？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答設(shè)甲、乙原有糖分別為粒、粒，甲給乙的數(shù)量為粒，則依題意有：【答案】甲、乙共有糖粒有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍．如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的倍．問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答再設(shè)從第二堆中取出塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的倍，可列方程：【答案】第一堆中的磚頭最少有塊甲乙丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書，已知甲班有人捐冊，有人各捐冊，其余都各捐冊，乙班有人捐冊，人各捐冊，其余各捐冊；丙班有人各卷冊，人各捐冊，其余各捐冊。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多冊，乙班比丙班多冊，各班捐書總數(shù)在冊與冊之間，問各班各有多少人？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】第六屆，華杯賽，復(fù)賽我們設(shè)甲班有人，乙班有人，丙班有人，那么三個(gè)班的捐書數(shù)目分別為：【答案】甲乙丙三班人數(shù)分別為，，在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場飛鏢比賽．如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)分、分和分．每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù)．如果比賽規(guī)定恰好投中分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中次飛鏢．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009年，迎春杯，高年級組，復(fù)賽【答案】至少需要投中10次飛鏢才能獲獎(jiǎng)模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題某地用電收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過度，則每度收角；若超過度，則超出部分按每度角收費(fèi)．某月甲用戶比乙用戶多交元角電費(fèi)，這個(gè)月甲、乙各用了多少度電？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】甲用電度，乙用電度某區(qū)對用電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過度的部分，按每度元收費(fèi)；超過度而不超過度的部分，按每度元收費(fèi)；超過度的部分按每度元收費(fèi)．某月甲用戶比乙用戶多交電費(fèi)元，乙用戶比丙用戶多交元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費(fèi)多少元？(用電都按整度數(shù)收費(fèi))【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答由于丙交的電費(fèi)最少，而且是求甲、乙電費(fèi)的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù)．因?yàn)橐矣脩舯缺脩舳嘟辉?，所以二者中必有一個(gè)用電度數(shù)小于度(否則差中不會(huì)出現(xiàn)元)，丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于度，乙用電度數(shù)大于度，但是不會(huì)超過度(否則甲、乙用電均超過度，其電費(fèi)差應(yīng)為的整數(shù)倍，而不會(huì)是元)．所以是的倍數(shù)，又均為整數(shù)，且都大于小于【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答于是馬小富在甲公司打工個(gè)月，在乙公司兼職個(gè)月．【答案】在甲公司打工個(gè)月，在乙公司兼職個(gè)月甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分(成績都是整數(shù))的測驗(yàn)．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成績與甲、丁的平均分相等，丁的成績剛好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成績．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答法二：推理法．因?yàn)槎槲迦说钠骄?，所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因?yàn)槲旌鸵叶急缺某煽兏?，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績是最低的．因?yàn)榧资欠?，所以丁可能是分或?由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)丁得分時(shí)與題意不符，所以丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分．【答案】丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第5次測驗(yàn)，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分．求第5次測驗(yàn)兩人的得分．(每次測驗(yàn)滿分為100分)【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競賽，一共有100道題，每個(gè)人各解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”．已知每個(gè)題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多道．【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】填空【答案】難題比容易題多20道甲、乙兩個(gè)同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個(gè)，而且每個(gè)小題的分值都是自然數(shù)．結(jié)果公布后，已知甲做對了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對了7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分．問：解答題、選擇題、填空題的每道小題各多少分？【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答【答案】每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分甲乙丙三人參加一個(gè)共有個(gè)選擇題的比賽，計(jì)分辦法是在分的基礎(chǔ)上，每答對一題加分，答錯(cuò)一題扣分，不答既不扣分也不加分．賽完后發(fā)現(xiàn)根據(jù)甲所得總分可以準(zhǔn)確算出他答對的題數(shù)