第四章不定積分學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解原函數(shù)與不定積分的概念；2、掌握計(jì)算不定積分的幾種主要方法。內(nèi)容提要：不定積分不定積分的概念直接積分法換元積分法分部積分法第一節(jié)不定積分的概念直接積分法重點(diǎn)：（1）原函數(shù)與不定積分的概念（2）基本積分公式（3）不定積分的性質(zhì)（4）直接積分法難點(diǎn)：（1）原函數(shù)與不定積分的理解（2）不定積分的幾何意義（3）直接積分的變形技巧

一、原函數(shù)的概念1、定義引例

已知曲線)(xFy=的任一點(diǎn)（x，y）處的切線斜率

為xK2=，并且已知這條曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），求這條曲線的

方程)(xfy=。

解：因?yàn)榍€上任一點(diǎn)（x，y）處的切線斜率為x2，所以有xxFy2)(=￠=￠

我們知道

xCx2)(2=￠+（C為常數(shù)）所以

CxxF+=2)(由于曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），所以1=C，由此，得曲線方程為12+=xy

定義1設(shè)函數(shù))(xF與)(xf在某個(gè)區(qū)間I上有定義，對(duì)于任意的Ix?，都有：)()(xfxF=￠或dxxfxdF)()(￠=則稱(chēng))(xF為)(xf在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。2.原函數(shù)的性質(zhì)定理定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù))(xf在某區(qū)間上有

原函數(shù))(xF，則在該區(qū)間上它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，并且

任一個(gè)原函數(shù)都可以表示為

CxF+)(（C為任意常數(shù)）

的形式。CxF+)(稱(chēng)為)(xf的原函數(shù)族）

（證明：由于)()(xfxF=￠于是)())((xfCxF=￠+（C為任意常數(shù)）所以無(wú)窮多個(gè)函數(shù)CxF+)(構(gòu)成的函數(shù)族都是)(xf的原函數(shù)。設(shè))(xG是)(xf的某個(gè)原函數(shù)，即)()(xfxG=￠，

則0)()()()(])()([=-=￠-￠=￠-xfxfxFxGxFxG所以)()(xFxG-為常數(shù)函數(shù)即CxFxG=-)()(所以CxFxG+=)()(

（1）（2）二、不定積分定義2如果)(xF是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng))(xf的全體原函數(shù)CxF+)(（C為任意常數(shù)）為)(xf的不定積分

記為òdxxf)(

即ò+=CxFdxxf)()(其中“ò”稱(chēng)為積分號(hào)，)(xf稱(chēng)為被積函數(shù)，dxxf)(稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量，任意常數(shù)C稱(chēng)為積分常數(shù)。由定義可知，求已知函數(shù))(xf的不定積分，只需求出)(xf的一個(gè)原函數(shù))(xF，然后再加上任意常數(shù)C即可。例1求下列不定積分：（1）òxdxcos（2）

òdxx23解：因?yàn)閤xcos)(sin=￠，xsin是xcos的一個(gè)原函數(shù)，所以

Cxxdx+=òsincos

（2）

因?yàn)?33)(xx=￠，3x是23x的一個(gè)原函數(shù)，所以Cxdxx+=ò323（1）注：不定積分結(jié)果中任意常數(shù)C的作用是把一個(gè)原函數(shù)轉(zhuǎn)化成了原函數(shù)族，因此切記不能丟掉。例2驗(yàn)證Cxdxx+-=ò112是否正確。解：因?yàn)?1)()1()1(xCxCx=￠+￠-=￠+-所以

Cxdxx+-=ò112是正確的。四、不定積分的幾何意義由于)(xf的不定積分

CxF+)(是一個(gè)函數(shù)族，因此它們的

圖象就是一個(gè)曲線族。每一條就稱(chēng)為)(xf

的一條積分曲線。它

們?cè)跈M坐標(biāo)相同的點(diǎn)0x處的切線斜率都是)(0xf，即它們?cè)谠?/p>

0x處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線都平行。這就是不定積分的幾何意義。

oCxfy+=)(y)(xfy=x0x五、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1：)(])([xfdxxf=￠ò，或dxxfdxxfd)()(=ò性質(zhì)2：ò+=￠CxFdxxF)()(，或ò+=CxFxdF)()(性質(zhì)3：òò=dxxfkdxxkf)()(，即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以

提到積分號(hào)的外面。證明：

因?yàn)?(])([])([xkfdxxfkdxxfk=￠=￠òò

即òdxxfk)(是)(xkf的原函數(shù)，并且其中含有任意常數(shù)C，所以

òò=dxxfkdxxkf)()(

性質(zhì)4：òòò±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([六、直接積分法直接用基本積分公式，或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危ù鷶?shù)的或三角的），再利用基本積分公式與運(yùn)算性質(zhì)求不定積分的方法，稱(chēng)為直接積分法。它是今后各種積分方法的基礎(chǔ)，必須掌握好。例1

求ò-dxxx2)2(解：dxxdxxdx+-=òòò144dxxx+-=ò)44(dxxx-ò)2(2Cxxx++-=ln44212

dxxxx+-=ò442x例5求下列不定積分：(1)

ò-dxxx)53(2(2)dxxxò+124

(3)

dxxxxò++)1(12222(4)dxxxò

解：(1)

(2)

Cxxx++-=arctan313dxxx++-=ò)111(22dxxxx++-+=ò11)1)(1(222dxxx++-=ò11)1(24

dxxx+ò124（3）

+Cxx++-=arctan1dxxdxx++=òò11122dxxx+-=ò)111(22dxxxxx+++=ò)1()1(2222dxxxx+ò)1(12222

（4）

=dxxxò3dxx=ò43Cx+=4774Cx++=+141431dxxxò2121)(

例6：求下列不定積分：（1）dxxxò22cossin1（2）òxdx2tan（3）dxxxòcos2sin（4）dxxò2sin2解：（1）Cxx++=cottandxxxxx+=òcossincossin2222dxxxòcossin122dxxdxx+=òòsin1cos122

（2）Cxxdxxdxdxxxdx+-=-=-=òòòòtansec)1(sectan222

（3）

Cxxdxdxxxxdxxx+-===òòòcos2sin2coscossin2cos2sin

（4）

Cxxxdxdxdxxdxx+-=-=-=òòòòsin2121cos21212cos12sin2

例7

一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，其速度12+=tv

（sm），

當(dāng)st1=時(shí)，物體所經(jīng)過(guò)的路程ms3=，求物體的運(yùn)動(dòng)

方程。解：

設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為)(tss=，根據(jù)題意得：

1)()(2+==￠ttvts

所以Cttdttts++=+=ò3231)1()(又當(dāng)1=t時(shí)，3，=s代入上式得：

C++=1313，

解得35=C

因此所求的運(yùn)動(dòng)方程為

3531)(2++=ttts

第二節(jié)換元積分法重點(diǎn)：（1）第一換元積分法（2）第二換元積分法難點(diǎn)：（1）湊微分技巧（2）第二換元積分法的變量代換一、第一換元積分法

引例

求dxexò5

分析：在基本積分公式中有

ò+=Cedxexx

那么是否也有

ò+=Cedxexx55

呢？

因?yàn)閤xxeeCe5555)(1=￠+所以ò+=Cedxexx55是錯(cuò)誤的。

我們嘗試用用下面的方法：

dxexò5dueu=ò51xdex=ò5551dxex=ò5551

Cexux+=5515回代dueuxu=ò515令

驗(yàn)證：

xxeCe55)51(=￠+

1.定義：一般的，若)(uF是)(uf的原函數(shù)，即)()(ufuF=￠，則

ò+=CuFduuf)()(

當(dāng))(xuj=時(shí)，根據(jù)一階微分形式的不變性，我們有：CXFxuCuFduufuxxdxfdxxxf+=+=￠òòò)]([)()()]([)]([)()]([jjjjjjj回代）（積分）（令湊微分

用這個(gè)方法計(jì)算不定積分，就稱(chēng)為第一換元積分法，又稱(chēng)為

湊微分法，其中關(guān)鍵的一步就是湊微分。

例1

求ò+dxx8)32(。解：

dxx+ò8)32(Cxxu+++=9)32(18132回代Cu+×99121積分duuux=+ò82132令xdx++ò8)32(3221）（湊微分

例2

求òdxxex2

解：

dxxexò2Cexux+=2212回代Cdueu+ò21積分dueuxu=ò212令dxexò2212湊微分

例3

求òdxxx)cos(ln

解：

dxxxò)cos(lnCxxu+=)sin(lnln回代uduux=òcos21ln令xdxòl(fā)n)cos(ln21湊微分Cu+sin積分

例4求下列不定積分：

（1）

òxdxxsincos3

（2）

dxxxò-2ln11

（3）

dxxxò+)1sin(

（4）

òdxxex21

解：

（1）

ò-=xxd3coscosòxdxx3sincos+-=Cx4cos41

（2）

xdx-=òl(fā)nln112dxxx-òl(fā)n112Cx+=)arcsin(ln

（3）

Cx++-=)1cos(2xdx++=ò)1()1sin(2xdx+=ò)()1sin(2dxxx+ò)1sin(

（4）

dxxexò21xdex-=ò1)1(Cex+-=1

例5

計(jì)算下列不定積分

（1）

)0(122>adxxaò-

（2）

dxxaò+221

（3）

òxdxtan

（4）

òxdxcot

（5）

òxdxsec

（6）

òxdxcsc

解：

（1）

Cax+=arcsinaxdax-=ò)(112dxaxa-=ò)(112adxxa>-ò)0(122

（2）

axdaxa+=ò)(1112adxxa+=ò))(1(122

dxxa+ò122Caxa+=arctan1

（3）

xdx-=òcoscos1dxxx=òcossinxdxòtanCx+-=cosln

同理（4）Cxxdx+=òsinlncot

（5）

Cxx++=tanseclnxxdxx++=ò)tan(sectansec1dxxxxxxxdx++=òòtansec)tan(secsecsecdxxxxxx++=òtansectansecsec2

類(lèi)似地，有

（6）

Cxxxdx+-=òcotcsclncsc

例6求ò-dxax221

解：

我們知道)11(21122axaxaax+--=-所以Caxaxa++-=ln21Caxaxa++--=]ln[ln21axdaxaxdaxa++---=òò])(1)(1[21dxaxaxadxax+--=-òò)11(21122

例7

求下列不定積分

（1）

ò-+dxxx293

（2）

ò+dxex11

（3）

òxdx2cos

（4）

òxdxx3sin5cos

解：

（1）

Cxx+--=29arcsin3

xdxx---=ò22)9(91213arcsin3dxxxdxx-+-=òò22993x9dxx-+ò23

（2）

Cexedexdxeedxdxeeedxexxxxxxxxx++-=++-=+-=+-+=+òòòòò)1ln()1(11111)1(11

（3）

Cxxxxdxxdxdxdxxxdx++=+=+=+=òòòòò2sin412122cos41212cos212122cos1cos2

（4）

Cxxxdxxdxdxxxxdxx+--=+=-=òòòò2cos418cos1612sin418sin161)2sin8(sin213sin5cos

注：積分方法靈活多變，需要做大量的練習(xí)才能掌握好，另外，

一個(gè)不定積分若采取不同的方法，表面上可得不同的結(jié)果，計(jì)算中

要注意到這一點(diǎn)，看下面的例子。

例8求òxdxxcossin

解一：

Cxxxdxdxx+==òò2sin21sinsincossin

解二：

Cxxxdxdxx+-=-=òò2cos21coscoscossin

解三：

Cxxdxxdxxdxx+-===òòò2cos412sin412sin21cossin

可以驗(yàn)證，這三個(gè)結(jié)果都是正確的，三個(gè)原函數(shù)之間彼此只差

一個(gè)常數(shù)。

二、第二換元積分法

第一換元積分法是令)(xuj=，但對(duì)于有些不定積分來(lái)說(shuō)，

則需要反用第一換元法，即令)(txj=，把t作為新的積分變量，此時(shí)，把第一換元積分法反過(guò)來(lái)就得到：

CxFxtCtFdtttfxxdxxf+=+￠=--òò)]([)()()()]([21)()(11jjjjj回代積分令

這個(gè)方法稱(chēng)為第二換元積分法。因?yàn)橐?(txj=有反函數(shù)，并且可微，所以要求)(txj=單調(diào)可導(dǎo)，并且0)(1￠tj，為簡(jiǎn)便起

見(jiàn)，我們約定，本章所遇到的代換)(txj=都滿(mǎn)足這個(gè)要求，不

再一一驗(yàn)證。

例9求ò+dxx11

解：這個(gè)積分困難就在于含有根式x，為了去掉根號(hào)，

我們令tx=，則2tx=)0(>t，于是tdtdx2=，

代入原式得：

dtt+-=ò)111(2dttt+-+=ò11)1(2dttt+=ò12dxx+ò11Ctt++-=)1ln(2

再把xt=代回得：

Cxxdxx++-=+ò)]1ln([211

例10

ò+dxxx31

解：

令6tx=，則3tx=，23tx=，dttdtdx566==，

代入原式得：

Ctttt++-+-=)1ln23(623dtttt+-+-=ò)111(62dttt+-+=ò11)1(63dttt+=ò163dtttt-=ò61523dxxx+ò13Cxxxxxt++-+-=)1ln(66326636回代

例11

求下列積分

（1）

ò-dxxa22

（0>a）

（2）

ò+dxax221

（0>a）

（3）

ò-dxax221

（0>a）

解：(1)此積分的困難就在于含有根式，22xa-

我們聯(lián)想三角公式tt22cossin1=-，可用它來(lái)消除根號(hào)。

令taxsin=（22pp<<t-），則有：

tataaxacossin22222=-=-，

tdtatdadxcossin==

代入原式得

為了把變量t還原為x，必須求出t，tsin，tcos，

由taxsin=得，axt=sin

，

)2,2(pp-?t

于是

axtarcsin=

為了求

tcos，可根據(jù)

axt=sin

作輔助三角形（如圖）

，然后用勾股定理求出第三邊，于是

aaxt22cos-=

Cttata++=cossin212122Cttadtta++=+=ò)2sin21(222cos122tdtatdtata=×=òòcoscoscos22dxxa-ò22將它們代入上述的積分結(jié)果中得：

Cxaxaxadxxa+-+=-ò2222221arcsin2

（2）

根據(jù)（1）的經(jīng)驗(yàn)，可令taxtan=（22pp<<t-），

則tataaxsec)1(tan2222=+=+，tdtatdadx2sectan==

代入原式得：

Ctttdtdttatadxax++===+òòòtanseclnsecsecsec1222

根據(jù)axt=tan，做輔助三角形（如圖）

于是

aaxt22sec+=，代入上述結(jié)果中得

Caxaaxdxax+++=+ò12222ln1CxaxCaxax+++=+-++=22122lnlnln

其中aCCln1-=

20p<<t（3）

令taxsin=

（），則

tataaxtan)1(sec2222=-=-，

tdttatdadxtansecsec==

txa22xa+代入原式得：

Ctttdtdttattadxax++===-òòòtanseclnsectantansec122

根據(jù)axt=sec作輔助三角形

由圖知aaxt22tan-=

于是

Caaxax+-+=122lnax-dxò221CaxxCaaxx+-+=+--+=22122lnlnln

其中

aCCln1-=

txa22ax-小結(jié)：綜上幾個(gè)例子可以看出，第二換元法的主要目的就是

去根號(hào)，我們把第二換元法的幾個(gè)常用類(lèi)型歸納如下：

（1）

被積函數(shù)含nbax+時(shí)，可令tbaxn=+

（2）

被積函數(shù)含22xa-時(shí)，可令taxsin=（22pp<<t-）

（3）

被積函數(shù)含22xa+時(shí)，可令taxtan=（22pp<<t-）

（4）

被積函數(shù)含22ax-時(shí)，可令taxsec=（20p<<t）

第三節(jié)分部積分法重點(diǎn)：分部積分公式難點(diǎn)：u和v的選擇定義：設(shè)函數(shù))(xuu=及)(xvv=具有連續(xù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)

乘積的微分法則，有

udvvduuvd+=)(

移項(xiàng)得

vduuvdudv-=)(

兩邊積分得

òò-=vduuvudv

這個(gè)公式稱(chēng)為分部積分公式，它的作用就在于把òudv轉(zhuǎn)化

成òvdu，如果òvdu比òudv容易計(jì)算，它就起到了化難

為易的作用。用這個(gè)公式計(jì)算不定積分，叫做分部積分法。

注：在應(yīng)用分部積分法解題時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x擇u和v是關(guān)鍵。一般地要注意以下兩點(diǎn)：

（1）