廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為（

）A．互斥 B．相互對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等4．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．5．一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，側(cè)面積為元，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．6．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題一定正確的是（

）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則7．甲、乙兩人組成“莞隊(duì)”參加答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)甲、乙各答一道題目，已知甲每輪答對(duì)題目的概率為，乙每輪答對(duì)題目的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲、乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．則“莞隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題目的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，欲測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，在兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，并測(cè)得，m，則塔高為（

）A．m B．15m C．m D．30m二、多選題9．已知隨機(jī)事件與，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若與相互獨(dú)立，則C．若，則 D．若，則10．下列有關(guān)向量與復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的有（

）A．若非零向量滿足，則B．若非零復(fù)數(shù)滿足，則C．若非零向量滿足，則D．若非零復(fù)數(shù)滿足，則11．在直三棱柱中，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若點(diǎn)在線段上，則的最小值為B．該三棱柱可完全放入體積為的球中C．表面積為的球可以完全放入該三棱柱中D．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面形成的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題12．從某中學(xué)抽取6名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?7，85，83，90，92，93（單位：分），則這6名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（單位：分）．13．在長(zhǎng)方形中，，為的中點(diǎn)，為邊上靠近的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則．14．已知正四棱柱中，，在的中點(diǎn)各有一個(gè)孔，．若在此四棱柱內(nèi)裝水，當(dāng)水面恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)孔時(shí)，可裝水的最大體積為；若此四棱柱可以任意放置，可裝水的最大體積為．四、解答題15．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若，求的面積．16．某班級(jí)舉辦“以賽促學(xué)，挑戰(zhàn)自我”數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，活動(dòng)后將參賽的40名學(xué)生成績(jī)分成5組：①，②，③，④，⑤．通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知①組、②組的頻率之和為，①組和⑤組的頻率相同．(1)估計(jì)此次考試成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)；(2)已知②組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為64和50，④組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為84和70，據(jù)此計(jì)算②組和④組所有學(xué)生成績(jī)的方差．參考公式：，其中為總樣本平均數(shù)．17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。?8．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正面體骰子，個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)計(jì)一種“點(diǎn)數(shù)游戲”：任意拋擲兩次這個(gè)骰子，以骰子與桌面接觸的面上的數(shù)字的乘積為游戲結(jié)果．甲、乙兩人玩這種“點(diǎn)數(shù)游戲”，規(guī)定每次游戲結(jié)果大于5時(shí)甲獲勝，游戲結(jié)果小于5時(shí)乙獲勝．①試判斷這種游戲是否公平？并說(shuō)明理由；②若約定先獲勝3次“點(diǎn)數(shù)游戲”者贏得比賽，并獲得100元獎(jiǎng)金．當(dāng)甲獲勝2次，乙獲勝1次時(shí)，“點(diǎn)數(shù)游戲”因意外而中止，現(xiàn)決定將100元獎(jiǎng)金分給甲、乙兩人，請(qǐng)應(yīng)用概率知識(shí)設(shè)計(jì)合理的獎(jiǎng)金分配方案；(2)當(dāng)時(shí)，任意拋擲一次這個(gè)骰子，以它與桌面接觸的面上的數(shù)字為試驗(yàn)結(jié)果．請(qǐng)構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录?，使成立，但不滿足兩兩獨(dú)立．19．如圖一，在矩形中，．將沿折起，得到三棱錐．(1)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求；(3)如圖二，在三棱錐中，已知，其中、、．若二面角的大小為，試?yán)玫娜呛瘮?shù)值表示，請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并給出證明．廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案BDCABCADBCDBC題號(hào)11答案ACD1．B【詳解】，故選：B．2．D【詳解】由已知是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則若共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，與是基底矛盾，因此不共線，若共線，則存在實(shí)數(shù)，，所以，與是基底矛盾，因此不共線，因?yàn)?，所以不共線，共線，因此D不能作為基底，故選：D．3．C【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，按順序共出現(xiàn)（正正）（正反）（反正）（反反）這4種情況，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D錯(cuò)誤，由于事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生，所以不為互斥事件，也不為對(duì)立事件，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀是否發(fā)生與事件B無(wú)關(guān)，事件B是否發(fā)生也與事件A無(wú)關(guān)，故事件A和事件B相互獨(dú)立，故C正確.故選：C.4．A【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，即，，所以，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為．故選：A．5．B【詳解】記圓臺(tái)上下底半徑分別為，母線長(zhǎng)為，高為，則側(cè)面積為，，所以高為，體積為，故選：B．6．C【詳解】對(duì)于A，，且，可能與平行或在內(nèi)，同樣可能在平面內(nèi)，A錯(cuò)；對(duì)于B，，可能在內(nèi)，，則可能在內(nèi)，可能與相交，B錯(cuò)；對(duì)于C，，且，則，又，則，C正確；對(duì)于D，，且，可能相交，可能平行，也可能異面，D錯(cuò)；故選：C。7．A【詳解】在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題是目，則總共只能錯(cuò)一題，概率為，故選：A.8．D【詳解】設(shè)，由得，又，，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），故選：D．9．BCD【詳解】對(duì)A，，，A錯(cuò)；對(duì)B，與相互獨(dú)立，則，B正確；對(duì)C，若，則，C正確；對(duì)D，若，則，D正確，故選：BCD.10．BC【詳解】對(duì)于A，，則可能，不能得出，A錯(cuò)；對(duì)于B，非零復(fù)數(shù)滿足，則，B正確；對(duì)于C，非零向量滿足，則，即，所以，C正確；對(duì)于D，例如，則，但，D錯(cuò).故選：BC.11．ACD【詳解】對(duì)A，把平面和平面沿?cái)偲?，如下圖，則為的最小值，A正確；對(duì)B，體積為的球的半徑為，由得，底面是直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)都是2，設(shè)分別是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則是三棱柱的外接球的球心，外接球半徑為，而，因此該三棱柱不可完全放入體積為的球中，B錯(cuò)；對(duì)C，表面積為的球的半徑為，由得(三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)，因此該球可以完全放入該三棱柱中，C正確；對(duì)D，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面形成的軌跡是以為球心，為半徑的球面被側(cè)面截得的圓弧，由選項(xiàng)B知是該圓弧所在圓的圓心，，因此，從而，又，所以圓弧的長(zhǎng)度為，D正確．故選：ACD．12．92【詳解】6名同學(xué)的成績(jī)按從小到大順序排列為：83，85，87，90，92，93，，所以第75百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)：92.故答案為：92.13．【詳解】在長(zhǎng)方形中，，由已知．所以，，所以，所以，故答案為：．14．【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，因?yàn)槎际侵悬c(diǎn)，所以共線，，即四點(diǎn)共面，即水面為平面，剩余三棱柱，體積為，則裝水最大體積為，當(dāng)水面只過(guò)時(shí)，過(guò)作直線與交于點(diǎn)（在點(diǎn)下方），與交于點(diǎn)，水面交于，平面平面，平面平面，平面平面，，所以剩余部分為三棱臺(tái)，設(shè)，又為中點(diǎn)，，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)取等，所以取得最小值，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E在點(diǎn)處，剩余部分為三棱錐，臺(tái)體體積公式仍適用，所以此時(shí)可裝水的最大體積為.故答案為：.15．(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以．?）由余弦定理，得，解得或（舍去），所以．16．(1)眾數(shù)的估計(jì)值為75，平均數(shù)的估計(jì)值為73(2)②組和④組所有學(xué)生成績(jī)的方差為140．【詳解】（1）由題意得，解得所以考試成績(jī)的眾數(shù)的估計(jì)值為75，平均數(shù)的估計(jì)值為．（2）記②組、④組的平均數(shù)與方差分別為，則，由題意得②組、④組分別有14人、6人，所以②組、④組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為，所以②組、④組學(xué)生成績(jī)的方差為，所以②組和④組所有學(xué)生成績(jī)的方差為140．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，又因是的中點(diǎn)，故得，又因平面，平面，所以平面．（2）如圖，連接，由（1）得是中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈酌媸钦叫?，且為?duì)角線，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面所以直線與平面所成角為，因?yàn)樵谥?，，則，故，即直線與平面所成角的大小為．18．(1)①公平，理由見(jiàn)解析；②答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，任意拋擲兩次這個(gè)骰子的樣本空間，所以，記“游戲結(jié)果大于5”為事件，則事件包含的樣本點(diǎn)包括，所以，由古典概型得同理“游戲結(jié)果小于5”的概率也是，所以甲、乙獲勝的概率相等，這種游戲是公平的②按甲、乙繼續(xù)比賽贏得比賽的概率比值進(jìn)行獎(jiǎng)金分配，由于甲、乙要分出比賽輸贏至多需要再進(jìn)行2次“點(diǎn)數(shù)游戲”，假設(shè)再進(jìn)行2次“點(diǎn)數(shù)游戲”，則2次“點(diǎn)數(shù)游戲”比賽結(jié)果的樣本空間（甲勝，甲勝），（甲勝，乙勝），（乙勝，甲勝），（乙勝，乙勝），所以，記“甲贏得比賽”為事件，則事件包含的樣本點(diǎn)包括（甲勝，甲勝），（甲勝，乙勝），（乙勝，甲勝），所以，由古典概型得，所以“乙贏得比賽”的概率為，所以甲分配獎(jiǎng)金元，乙分配獎(jiǎng)金．（2）當(dāng)時(shí)，任意拋擲一次這個(gè)骰子的樣本空間，所以，構(gòu)造事件，則，由古典概型得，所以，滿足題意．19．(1)(2)(3)結(jié)論：，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，即點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)平面平面，如圖，過(guò)作于，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以在中，，所以，故，所以，故，所以，所以，所以，?/p>