試卷第試卷第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES35頁試卷第試卷第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES35頁河南省2025屆高考模擬數(shù)學(xué)試題（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從分別標(biāo)有，，，，的個(gè)小球中，不放回的隨機(jī)選取兩個(gè)小球，記這兩個(gè)小球的編號(hào)分別為，若，則為實(shí)數(shù)的概率為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】選取小球，有種選法，若為實(shí)數(shù)，則有種情況：若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，有種選法若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，設(shè)，，在中任取一個(gè)數(shù)，在中任取一個(gè)數(shù)或者在中任取一個(gè)數(shù)，在中任取一個(gè)數(shù)，共種選法，故所求概率為．故選：．2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓交于，兩點(diǎn)，記點(diǎn)到直線的距離為，且的最小值為，最大值為，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，換元法，三角函數(shù)知識(shí)，屬于較難題．設(shè)，可得到，兩圓方程相減可得到交點(diǎn)弦方程，利用點(diǎn)到直線距離公式得到，由，可利用三角換元進(jìn)行最值求解．【解答】解：設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以，圓：，為兩圓的公共弦，聯(lián)立得兩式相減，得直線：，則點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)椋粤顒t，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選C．3．已知集合，，則(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】本題考查并集定義、不等式求解，是基礎(chǔ)題．求出集合，，利用并集定義能求出．【解答】集合，，.故選：．4．已知平面向量，滿足，，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑵M足，，且，所以，可得．所以，可得，故．故選：．5．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題拋物線：，可知，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，故周長(zhǎng)的最小值是．故選：．過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，結(jié)合拋物線定義及三角形的性質(zhì)有求周長(zhǎng)最小值．本題考查直線與拋物線的組合應(yīng)用，是中檔題．6．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，把的圖象與直線的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為，，，，，記它們的和為，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則或，，解得或，，所以，，，，，，，所以．故選：7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題拋物線：，可知，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為由拋物線的定義知，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，故周長(zhǎng)的最小值是．故選：8．二面角的平面角的大小為，，為半平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，為半平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若直線與平面所成角為，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】直線與平面所成的角為，且，點(diǎn)到平面的距離為定值，過點(diǎn)作平面于，連接，則，，又，點(diǎn)、在以為圓心，半徑為的圓與半平面的相交弧線上，因?yàn)槎娼菫椋渣c(diǎn)在平面與平面的交線上，故該弧線是半個(gè)圓，故當(dāng)、在直線上時(shí)，可使長(zhǎng)度最大，此時(shí)，在中，，，，故由余弦定理可得，所以，線段長(zhǎng)度的最大值是．故選A．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．已知函數(shù)滿足：，，，且，那么(

)A．B．C．D．若，則【答案】AC【解析】解：令，，得，因?yàn)?，所以，A正確．取，則，B錯(cuò)誤．令，得，所以，C正確．令，得令，得，從而，故．若，則是周期為的函數(shù)，所以，即，恒成立，與矛盾，D錯(cuò)誤．故選AC．10．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．直線與曲線沒有交點(diǎn)B．已知點(diǎn)，則曲線上存在點(diǎn)，使得C．若過點(diǎn)的直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【答案】BCD【解析】曲線，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線在第四象限的部分，其漸近線方程為，焦點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上雙曲線第二象限的部分，其漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，曲線，不表示任何圖形，對(duì)于A，由，解得，直線與曲線交于點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，，B正確；對(duì)于C，觀察圖形知，直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，直線的斜率，其方程為，由消去得，由，得，而此時(shí)，直線過點(diǎn)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，直線與（）交于2點(diǎn)，而曲線（）的漸近線為，直線與直線相交，則直線與曲線（）必有1個(gè)交點(diǎn)；由消去得，由，得，而此時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，直線與曲線（）交于2點(diǎn)，與曲線（）必有1個(gè)交點(diǎn)，從而過點(diǎn)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，則，D正確.故選：BCD11．已知函數(shù)為常數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．的最小正周期為B．C．與的圖象有相同的對(duì)稱軸D．當(dāng)時(shí)，方程有且僅有個(gè)實(shí)根【答案】A,C,D【解析】解：對(duì)于，由函數(shù)為奇函數(shù)，得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于，，的最小正周期為，A正確；對(duì)于，，與的圖象有相同的對(duì)稱軸，C正確；對(duì)于，方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)即為與，圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與在上的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，D正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則__________.【答案】【解析】，，又，.故答案為：.13．如圖，在直三棱柱中，是正三角形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若，，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槿切问堑冗吶切?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，為的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，所以可取，點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：．14．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，若，，則的最小值【答案】【解析】由題意可得：，則，故，則，據(jù)此可知，從而：，由于，故，令，考查函數(shù)，其中，注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最大值為，則的最小值為．故答案為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．本小題15分如圖，已知三棱錐中，，，，，證明：；若二面角的大小為，求三棱錐的外接球半徑【解析】證明：因?yàn)?，，，由余弦定理，即，所以，則，即，所以，在平面ACB中作交AM于M，連接PM，則，在中，，，由余弦定理，所以，所以，所以，又，CM，平面PCM，所以平面PCM，又平面PCM，所以因?yàn)椋鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，因?yàn)?、，所以為二面角的平面角，所以，又，，所以，又，，所以，解得，所以，設(shè)外接球的球心為，外接球的半徑為，所以，解得，所以首先說明，在平面ACB中作交AM于M，連接PM，即可證明，從而得到平面PCM，即可得證；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可知為二面角的平面角，利用余弦定理求出PC，再由距離公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)球心為，外接球的半徑為，利用距離公式計(jì)算可得．本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．16．本小題分已知數(shù)列，，，，且，，若是一個(gè)非零常數(shù)列，則稱是一階等差數(shù)列；若是一個(gè)非零常數(shù)列，則稱是二階等差數(shù)列．若，，，試寫出二階等差數(shù)列的前項(xiàng)，并求；若，且滿足，判斷是否為二階等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】因?yàn)椋?，，可得，因?yàn)?，由，得，由，得，由，得，由，得?dāng)時(shí)，，上式對(duì)也成立，即有，；不為二階等差數(shù)列，證明如下：若，且滿足，可得，即，即有，可得數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，即有，即，可得，，不為非零常數(shù)，故不為二階等差數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和，不等式對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立．設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，可得，，當(dāng)時(shí)，可得，即有，可得數(shù)列中最小項(xiàng)為，則，即有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是17．本小題分個(gè)人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙否則，傳球者等可能地將球傳給另外的個(gè)人中的任何一個(gè)第一次傳球由甲手中傳出，第次傳球后，球在甲手中的概率記為，球在乙手中的概率記為．求，，，求比較與的大小，并說明理由．【解析】，，，．由題意知，若第次球在甲手中，則第次不在甲手中，第次球不在甲手中的概率是，此時(shí)傳球者傳給甲的概率是，即，，，而，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；由題意知，第次球到乙手里分兩種情況，一是第次球在甲手中，甲傳給乙；二是第次球不在甲、乙手中，概率為，此時(shí)傳給乙的概率是，時(shí)可取，.18．本小題分設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，，對(duì)邊分別是，，，已知，．求三角形外接圓半徑；若三角形的面積為，求的值．【解析】由，可得，根據(jù)正弦定理得，結(jié)合，可知舍負(fù)．所以的外接圓半徑滿足，可得；由，可得，解得．因?yàn)?，且，所以，可得，所以舍?fù)．19．本小題分已知函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，求的解集；若函數(shù)圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，并且從左到右橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，判斷曲線