2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（空間幾何體的性質與應用試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z=1的距離等于（）A.B.C.D.2.若一個三棱錐的三組對棱分別平行于空間中的三條直線l?，l?，l?，且l?，l?，l?兩兩垂直，則該三棱錐的形狀為（）A.正三棱錐B.斜三棱錐C.直三棱錐D.不規(guī)則三棱錐3.設正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則其側面與底面所成的二面角的余弦值為（）A.B.C.D.4.已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀為（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四邊形5.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P為棱CC?的中點，則直線AP與平面BBD?所成角的正切值為（）A.B.C.D.6.一個圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，則該圓錐的側面積為（）A.B.C.D.7.若一個三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側面都是矩形，且側棱長為3，則該三棱柱的體積為（）A.B.C.D.8.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=y=z的distance等于（）A.B.C.D.9.已知正四棱錐的底面邊長為4，側面與底面所成的二面角為60°，則該正四棱錐的全面積為（）A.B.C.D.10.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，若AC=BD，則四邊形EFGH的面積為（）A.B.C.D.11.一個球的半徑為3，該球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積為（）A.B.C.D.12.已知三棱錐ABC的頂點A在底面BCD上的射影為底面三角形的外心，若∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°，則三棱錐ABC的高為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應位置。）13.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P為棱DD?的中點，則直線AP與平面ABB?A?所成角的正弦值為__________。14.若一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為__________度。15.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：2x+y-z=1的距離等于__________。16.一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側面都是等腰三角形，且側棱長為3，則該三棱錐的表面積為__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求：（1）異面直線PA與BC所成角的正弦值；（2）三棱錐P-ABD的體積。18.（12分）在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱BB?的中點，F(xiàn)為棱CC?的中點。求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角E-AF-C的平面角的余弦值。19.（12分）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，AC⊥BD，且AC=BD=2，AB=BC=CD=DA=√2。求四邊形EFGH的面積。20.（12分）一個圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，點P為底面圓周上一點，從P點沿側面母線到達頂點P的距離為√7。求：（1）圓錐的高；（2）點P到底面圓心的距離。21.（12分）在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為4，高為3。點E為棱PC的中點，點F為棱PB上的一點，且PF=1。求：（1）異面直線EF與PC所成角的正弦值；（2）三棱錐E-BCF的體積。22.（10分）一個球的半徑為3，該球內(nèi)接一個正方體。若在正方體中隨機取一點，則該點落在正方體的一個面上且與球面不接觸的概率是多少？四、解答題（本大題共4小題，共60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.（15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，AB=1。求：（1）棱錐P-ABCDE的體積；（2）棱錐P-ABCDE的全面積。24.（15分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），點B（3，2，1），點C（2，1，3）。求：（1）三角形ABC的面積；（2）點A到平面BCD的距離，其中D（0，0，1）。25.（15分）在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱CC?的中點，F(xiàn)為棱BB?的中點。求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角E-AF-C的平面角的正弦值。26.（15分）一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，點P為底面圓周上一點，從P點沿側面母線到達頂點P的距離為√7。求：（1）圓錐的高；（2）點P到底面圓心的距離。五、解答題（本大題共2小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）27.（35分）在六棱錐P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥平面ABCDEF，PA=2，AB=1。求：（1）六棱錐P-ABCDEF的體積；（2）六棱錐P-ABCDEF的全面積；（3）異面直線PA與CD所成角的正弦值。28.（35分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），點B（3，2，1），點C（2，1，3），點D（0，0，1）。求：（1）四棱錐A-BCD的體積；（2）四棱錐A-BCD的表面積；（3）點A到平面BCD的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.D解析：點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z=1的距離公式為d=|Ax?+By?+Cz?+D|/√(A2+B2+C2)，代入得d=|1*1-2*2+3*3+(-1)|/√(12+(-2)2+12)=|1-4+9-1|/√6=5/√6=5√6/6。2.C解析：三組對棱分別平行于三條兩兩垂直的直線，說明三棱錐的三組對棱互相垂直，故為直三棱錐。3.B解析：側面與底面所成的二面角為側棱與底面邊長的夾角，正四棱錐側面為等腰三角形，設高為h，底面邊長為a，則tanθ=√(h2+(a/2)2)/a/2=2h/a，由勾股定理h=√(a2-1)，代入得tanθ=2√(a2-1)/a=√(4(a2-1)/a2)=√(4-4/a2)=√(4-4/4)=√3/3。4.C解析：四邊形EFGH的四個頂點為四邊形ABCD各邊的中點，AC⊥BD，則EF⊥FG，且EF=FG，故四邊形EFGH為正方形。5.A解析：點P為CC?中點，AP的坐標為(1,2,3+3/2)=(1,2,9/2)，平面BBD?的法向量為(0,1,0)，AP與平面夾角的正切為|AP·n|/|AP|·|n|=|(1,2,9/2)·(0,1,0)|/√(12+22+(9/2)2)·√(02+12+02)=2/√(1+4+81/4)=2/√(89/4)=2/(89/2)=4/89。6.D解析：圓錐側面積S=πrl=π*2*5=10π。7.B解析：三棱柱體積V=(1/2*2*2*√3)*3=6√3。8.C解析：直線l的方向向量為(1,1,1)，點A到直線l的距離為|向量AP×向量l的方向向量|/|l的方向向量|=|(1-1,2-1,3-1)×(1,1,1)|/√3=|(0,1,1)×(1,1,1)|/√3=|(1-1,1-0,0-1)|/√3=|(-1,1,-1)|/√3=√3/√3=1。9.C解析：側面與底面所成的二面角為60°，側面為等腰三角形，設高為h，底面邊長為a，則tan60°=h/(a/2)=√3，h=√3a/2，全面積S=2S底+4S側=2(4a2/4)+4(√3a/2*a/2)=2a2+√3a2=(2+√3)a2。10.A解析：四邊形EFGH為平行四邊形，AC=BD，EF=GH=AC/2，F(xiàn)G=EH=BD/2，面積S=EF*FG*sin∠EFG=AC/2*BD/2=AB*BC/2=2*2/2=2。11.B解析：正方體體積V=(3√3/2)3=27√3。12.D解析：三棱錐ABC高為BC/√2=√2/√2=1。二、填空題答案及解析13.√2/3解析：點P為DD?中點，坐標為(0,0,3/2)，AP的坐標為(1,2,3/2)，平面ABB?A?的法向量為(0,0,1)，AP與平面夾角的正弦為|AP·n|/|AP|·|n|=|(1,2,3/2)·(0,0,1)|/√(12+22+(3/2)2)·√(02+02+12)=3/2/√(1+4+9/4)=3/2/√(25/4)=3/2/(5/2)=3/5。14.216°解析：圓錐側面展開圖圓心角θ=360°(r/l)=360°(2/5)=144°，但母線與底面夾角為30°，故圓心角為360°-144°=216°。15.√11/3解析：點A到平面距離d=|Ax?+By?+Cz?+D|/√(A2+B2+C2)=|2*1+1*2-1*3+(-1)|/√(22+12+(-1)2)=|2+2-3-1|/√6=0/√6=0。16.10+2√3解析：側面等腰三角形底邊為2，腰長為3，高為√(32-12)=2√2，側面面積S=2(1/2*2*2√2)=4√2，底面面積S=2√3，表面積S=4√2+2√3。三、解答題答案及解析17.（1）sinθ=√3/2解析：BC在平面ABCD內(nèi)，過A作BC的垂線交BC于E，則∠PAE為所求，tan∠PAE=AD/AB=2/1=2，∠PAE=60°，sin60°=√3/2。（2）V=1解析：三棱錐體積V=(1/3)S底*PA=(1/3)*1*2*2=1。18.（1）cosθ=1/3解析：AE方向向量為(0,1,-1)，CF方向向量為(√2,0,-√2)，向量夾角cosθ=(0*√2+1*0+(-1)*(-√2))/(√1+(-1)2*√(22+(-√2)2))=√2/(√2*√3)=1/3。（2）cosφ=√2/3解析：平面EAF的法向量為(√2,0,1)，平面CFE的法向量為(√2,0,-1)，cosφ=(√2*√2+0*0+1*(-1))/(√(22+02+12)*√(22+02+(-1)2))=(2-1)/√(4+1)*√(4+1)=1/3*3=√2/3。19.2解析：四邊形EFGH為菱形，AC⊥BD，EF=GH=AC/2=1，F(xiàn)G=EH=BD/2=√2，面積S=EF*FG*sin60°=1*√2*(√3/2)=√6/2=2。20.（1）圓錐高h=2√3解析：母線與底面夾角30°，l=2r，由勾股定理h=√(l2-r2)=√(52-22)=√21。（2）點P到底面圓心距離√3解析：點P沿母線到頂點距離為√7，設底面圓心為O，PO⊥底面，由勾股定理PO=√(l2-h2)=√(52-(2√3)2)=√(25-12)=√13。21.（1）sinθ=√5/5解析：EF方向向量為(-1,1,-1)，PC方向向量為(0,-1,1)，向量夾角sinθ=|(-1)*(-1)+1*1+(-1)*1|/(√2*√2)=1/2，∠EPC=30°，sin30°=1/2。（2）三棱錐體積V=√3/3解析：底面BCF面積S=(1/2*2*√3)=√3，高為PC/2=3/2，V=(1/3)S*高=(1/3)*√3*(3/2)=√3/2。22.1/3解析：正方體體積V=33=27，球體積V球=(4/3)πr3=(4/3)π33=36π，球與正方體接觸面積為6π，不接觸概率=1-6π/36π=1/6。23.（1）五棱錐體積V=5√5/2解析：底面面積S=(5/2*2*2sin72°)=10sin72°，高h=2/tan72°=2/cot18°=2tan18°，V=(1/3)S*高=(1/3)*10sin72°*2tan18°=10sin72°tan18°。（2）全面積S=20+10√5解析：側面積S側=5(√3/2*2*2)=10√3，底面積S底=10sin72°，總面積S=S側+S底=10√3+10sin72°。24.（1）三角形面積S=1/2解析：向量AB=(2,0,-2)，向量AC=(1,-1,0)，向量BC=(-1,-1,2)，叉積=(0,-4,-1)，面積S=(1/2)|向量AB×向量AC|=1/2√(02+(-4)2+(-1)2)=√17/2。（2）點A到平面距離d=√2/2解析：平面BCD法向量=(0,-1,1)，點A到平面距離d=|(0,-1,1)·(0,0,1)|/√(02+(-1)2+12)=1/√2=√2/2。25.（1）cosθ=1/3解析：同18題（1），方向向量相同，結果相同。（2）sinφ=√5/5解析：平面EAF法向量(√2,0,1)，平面CFE法向量