2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測：立體幾何圖形構(gòu)造突破試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點P（1，2，3）到平面α：x＋2y＋3z＋1＝0的距離是（）A.2B.3C.4D.5（解析：直接套用點到平面距離公式，我當(dāng)年做這道題的時候，看著這些數(shù)字就有點頭暈，但是硬著頭皮算下來，結(jié)果就是B選項，3。）2.已知直線l：x－1＝0與平面α：ax＋y＋2z－1＝0垂直，則實數(shù)a的值為（）A.1B.－1C.2D.－2（解析：直線垂直平面，那直線的方向向量肯定和平面的法向量平行，這個知識點我印象特別深，因為當(dāng)年我同桌就因為這個知識點跟我吵了一架，最后我還說服了他，所以選A，1。）3.若直線l：x＝1與平面α：y＋z＝0所成的角為θ，則sinθ的值為（）A.1/√2B.1/√3C.√2/2D.√3/2（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺腦子嗡嗡的，后來我想到，直線與平面所成的角，就是直線方向向量與平面法向量的夾角的余弦值的絕對值，然后一算，就是C，√2/2。）4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱A1D1的中點，則直線AE與平面B1C1EF所成角的正弦值是（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/3（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正方體的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是B，2/3。）5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AC的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2，則直線AD與平面B1BD所成角的正弦值是（）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.1/√2（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到三棱柱的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是A，1/2。）6.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E是SC的中點，則直線SB與平面AED所成角的余弦值是（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正四棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是A，1/√3。）7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2，則直線AD與直線B1C所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到直三棱柱的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是B，√2/2。）8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱A1D1的中點，G是棱B1C1的中點，則直線EF與平面A1B1CD所成角的正切值是（）A.1B.√2C.√3D.√5（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正方體的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是A，1。）9.在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，D是PC的中點，E是BC的中點，則直線AD與平面PBE所成角的正弦值是（）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.1/√2（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到三棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是A，1/2。）10.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E是SC的中點，F(xiàn)是SD的中點，則直線AB與平面EFC所成角的正弦值是（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正四棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是A，1/√3。）11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中點，E是AC的中點，F(xiàn)是BC的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2，則三棱錐B-DEF的體積是（）A.1/6B.1/3C.√2/3D.√3/3（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到直三棱柱的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是B，1/3。）12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱A1D1的中點，G是棱B1C1的中點，H是棱C1D1的中點，則三棱錐E-FGH的體積是（）A.1/24B.1/12C.1/8D.1/4（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正方體的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是B，1/12。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到直線l：x＝1，y＝2＋t，z＝3－t的距離是√2。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到點到直線的距離公式，然后一步步算下來，結(jié)果就是√2。）14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱A1D1的中點，則直線EF與平面B1C1CD所成角的余弦值是√2/2。（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正方體的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是√2/2。）15.在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，D是PC的中點，則三棱錐P-ABC的體積是√3/2。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到三棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是√3/2。）16.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E是SC的中點，則直線SB與平面AED所成角的正弦值是1/√3。（解析：這個題，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正四棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，結(jié)果就是1/√3。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E是棱PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PBC的余弦值。（解析：這個題啊，我記得當(dāng)年做的時候，看著這個圖就有點懵，但是老師一步步給我們講，先從已知條件入手，找垂直關(guān)系，然后再找角度關(guān)系，感覺豁然開朗。首先，我們要證明平面ABE垂直于平面PAC，根據(jù)線面垂直的判定定理，我們只需要證明AE垂直于平面PAC即可。因為E是PC的中點，所以AE在平面ABE中，而PC在平面PAC中，所以AE與PC相交。又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，而AD在平面PAC中，所以PA⊥平面PAC。因為AE在平面ABE中，所以AE⊥平面PAC。所以平面ABE⊥平面PAC。接下來，我們要求二面角A-PBC的余弦值，根據(jù)二面角的定義，我們需要找到二面角的平面角。我們可以取BC的中點F，然后連接AF和PF。因為ABCD是矩形，所以BF⊥AC。又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BF。所以∠PBF就是二面角A-PBC的平面角。我們可以利用勾股定理計算出PF和BF的長度，然后再利用余弦定理計算出cos∠PBF的值。最后，我們得到cos∠PBF的值為√10/10。）18.（12分）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，AA1＝2，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點。（1）求證：BD⊥A1C；（2）求二面角A1-BD-C1的平面角的余弦值。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到直四棱柱的性質(zhì)，然后一步步算下來，感覺還是挺順利的。首先，我們要證明BD垂直于A1C。根據(jù)菱形的性質(zhì)，我們知道BD垂直于AC。又因為AA1垂直于底面ABCD，所以AA1垂直于AC。因為AC在平面A1AC中，所以AA1⊥平面A1AC。同理，我們可以證明BD⊥平面A1AC。所以BD⊥A1C。接下來，我們要求二面角A1-BD-C1的平面角的余弦值。我們可以取BD的中點G，然后連接A1G和CG。因為BD垂直于平面A1AC，所以BD⊥A1G。又因為BD⊥CG，所以∠A1GC就是二面角A1-BD-C1的平面角。我們可以利用勾股定理計算出A1G和CG的長度，然后再利用余弦定理計算出cos∠A1GC的值。最后，我們得到cos∠A1GC的值為√3/3。）19.（12分）如圖，在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA＝2，AB＝2。（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（解析：這個題啊，我記得當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到正五邊形的性質(zhì)，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們要證明平面PAB垂直于平面PBC。根據(jù)線面垂直的判定定理，我們只需要證明AB垂直于平面PBC即可。因為AB在平面PAB中，而BC在平面PBC中，所以AB與BC相交。又因為PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥BC，而BC在平面PBC中，所以PA⊥平面PBC。因為AB在平面PAB中，所以AB⊥平面PBC。所以平面PAB⊥平面PBC。接下來，我們要求三棱錐P-ABC的體積。我們可以利用體積公式V＝1/3×底面積×高來計算。首先，我們需要計算底面ABC的面積。因為AB＝2，所以我們可以利用正五邊形的面積公式計算出底面ABCDE的面積，然后再利用正五邊形的性質(zhì)計算出三角形ABC的面積。最后，我們將底面積乘以高再除以3，就得到了三棱錐P-ABC的體積。最后，我們得到三棱錐P-ABC的體積為4√5/3。）20.（12分）如圖，在六棱錐P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2，AB＝2。（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正六邊形的性質(zhì)，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們要證明平面PAB垂直于平面PBC。根據(jù)線面垂直的判定定理，我們只需要證明AB垂直于平面PBC即可。因為AB在平面PAB中，而BC在平面PBC中，所以AB與BC相交。又因為PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥BC，而BC在平面PBC中，所以PA⊥平面PBC。因為AB在平面PAB中，所以AB⊥平面PBC。所以平面PAB⊥平面PBC。接下來，我們要求三棱錐P-ABC的體積。我們可以利用體積公式V＝1/3×底面積×高來計算。首先，我們需要計算底面ABC的面積。因為AB＝2，所以我們可以利用正六邊形的面積公式計算出底面ABCDEF的面積，然后再利用正六邊形的性質(zhì)計算出三角形ABC的面積。最后，我們將底面積乘以高再除以3，就得到了三棱錐P-ABC的體積。最后，我們得到三棱錐P-ABC的體積為4√3/3。）21.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB的中點，E是AC的中點，F(xiàn)是BC的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2。（1）求證：平面B1DE⊥平面B1CF；（2）求三棱錐B1-DEF的體積。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到直三棱柱的性質(zhì)，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們要證明平面B1DE垂直于平面B1CF。根據(jù)線面垂直的判定定理，我們只需要證明DE垂直于平面B1CF即可。因為D是AB的中點，E是AC的中點，所以DE平行于BC。又因為B1B⊥平面ABC，所以B1B⊥BC，而BC在平面B1CF中，所以B1B⊥平面B1CF。因為DE在平面B1DE中，所以DE⊥平面B1CF。所以平面B1DE⊥平面B1CF。接下來，我們要求三棱錐B1-DEF的體積。我們可以利用體積公式V＝1/3×底面積×高來計算。首先，我們需要計算底面DEF的面積。因為D是AB的中點，E是AC的中點，F(xiàn)是BC的中點，所以DEF是三角形ABC的中位三角形，所以DEF的面積是三角形ABC面積的1/4。最后，我們將底面積乘以高再除以3，就得到了三棱錐B1-DEF的體積。最后，我們得到三棱錐B1-DEF的體積為√3/6。）22.（12分）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝2√2，E是棱PC的中點，F(xiàn)是棱PD的中點，G是棱PB的中點。（1）求證：平面EFG⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-EFG的體積。（解析：這個題啊，我當(dāng)年做的時候，感覺有點復(fù)雜，但是想到正四棱錐的性質(zhì)，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們要證明平面EFG垂直于平面PBC。根據(jù)線面垂直的判定定理，我們只需要證明EF垂直于平面PBC即可。因為E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，所以EF平行于CD。又因為CD在平面PBC中，所以EF在平面PBC中。又因為G是PB的中點，所以FG垂直于PB。又因為PB在平面PBC中，所以FG⊥平面PBC。所以平面EFG⊥平面PBC。接下來，我們要求三棱錐P-EFG的體積。我們可以利用體積公式V＝1/3×底面積×高來計算。首先，我們需要計算底面EFG的面積。因為E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，G是PB的中點，所以EFG是三角形PCD的中位三角形，所以EFG的面積是三角形PCD面積的1/4。最后，我們將底面積乘以高再除以3，就得到了三棱錐P-EFG的體積。最后，我們得到三棱錐P-EFG的體積為√2/3。）四、選做題（本大題共1小題，共10分。請根據(jù)自己學(xué)習(xí)的知識，選擇其中一道題目作答。）23.（1）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。在極坐標(biāo)系中，直線l1：ρ＝4cosθ，圓C：ρ＝2sin(θ+π/6)。求直線l1與圓C的交點的直角坐標(biāo)。（解析：這個題啊，我記得當(dāng)年做的時候，感覺有點難，但是想到極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們將直線l1的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程。根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，我們有x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。將ρ＝4cosθ代入，得到x＝4cosθcosθ＝4cos2θ，y＝4cosθsinθ＝2sin2θ。所以直線l1的直角坐標(biāo)方程為x＝4cos2θ，y＝2sin2θ。接下來，我們將圓C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程。根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，我們有x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。將ρ＝2sin(θ+π/6)代入，得到x＝2sin(θ+π/6)cosθ，y＝2sin(θ+π/6)sinθ。利用三角恒等式sin(θ+π/6)＝sinθcos(π/6)+cosθsin(π/6)，得到x＝2(sinθcos(π/6)+cosθsin(π/6))cosθ＝2(sinθ√3/2+cosθ1/2)cosθ＝√3/2sinθcosθ+1/2cos2θ，y＝2(sinθcos(π/6)+cosθsin(π/6))sinθ＝2(sinθ√3/2+cosθ1/2)sinθ＝√3/2sin2θ+1/2sin2θ＝2sin2θ(√3/2+1/2)。所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x＝√3/2sinθcosθ+1/2cos2θ，y＝2sin2θ(√3/2+1/2)。接下來，我們將直線l1和圓C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立起來，解方程組，得到交點的直角坐標(biāo)。最后，我們得到交點的直角坐標(biāo)為(√3,1)和(-√3,-1)。）24.（2）選修4-5：不等式選講。已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求ab＋2a＋2b的最小值。（解析：這個題啊，我記得當(dāng)年做的時候，感覺有點簡單，但是想到基本不等式，然后一步步算下來，感覺還是挺有意思的。首先，我們將ab＋2a＋2b轉(zhuǎn)化為(ab＋2a＋2b)＝ab＋2(a+b)＝ab＋2。因為a+b＝1，所以ab＋2a＋2b＝ab＋2。根據(jù)基本不等式，我們有ab≤(a+b)/2＝1/2，所以ab＋2≤1/2＋2＝5/2。所以ab＋2a＋2b的最小值為5/2。但是，我們需要找到使ab＋2a＋2b取得最小值的a和b的值。根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1/2時，ab取得最大值1/4，所以ab＋2a＋2b取得最小值時，a和b的值分別為1/2。所以ab＋2a＋2b的最小值為1/4＋2＝9/4。）本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：根據(jù)點到平面的距離公式，d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|/√(A^2＋B^2＋C^2)，將點P(1,2,3)和平面α：x＋2y＋3z＋1＝0代入，得到d＝|1＋4＋9＋1|/√(1^2＋2^2＋3^2)＝3，所以選B。2.A解析：因為直線l：x－1＝0的方向向量為(1,0,0)，平面α：ax＋y＋2z－1＝0的法向量為(a,1,2)，直線l與平面α垂直，所以(1,0,0)∥(a,1,2)，即a＝1，所以選A。3.A解析：直線l：x＝1的方向向量為(0,1,0)，平面α：y＋z＝0的法向量為(0,1,1)，直線l與平面α所成的角θ的余弦值為cosθ＝|(0,1,0)·(0,1,1)|/|(0,1,0)|·|(0,1,1)|＝1/√2，所以sinθ＝√2/2，所以選A。4.B解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，B1C1的中點為(1,2,2)，所以向量EF＝(0,-1,1)，向量B1C1＝(-1,0,0)，平面B1C1EF的一個法向量為向量EF×向量B1C1＝(0,-1,1)×(-1,0,0)＝(0,-1,-1)，所以直線AE與平面B1C1EF所成角的正弦值為sinθ＝|向量AE·平面法向量|/|向量AE|·|平面法向量|＝|(-1,1,0)·(0,-1,-1)|/√2·√2＝2/2√2＝√2/2，所以選B。5.A解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D(0,1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,2)，E(0.5,0.5,1)，所以向量AD＝(-1,1,0)，向量B1B＝(0,0,-2)，平面B1BD的一個法向量為向量AD×向量B1B＝(-1,1,0)×(0,0,-2)＝(2,0,0)，所以直線AD與平面B1BD所成角的正弦值為sinθ＝|向量AD·平面法向量|/|向量AD|·|平面法向量|＝|(-1,1,0)·(2,0,0)|/√2·2＝2/2√2＝1/√2，所以選A。6.D解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，S(0,0,√6)，E(√6/2,0,√6/2)，F(xiàn)(√6/2,√6/2,√6/2)，所以向量SB＝(-2,-2,-√6)，向量AED＝(-√6/2,-√6/2,√6/2)，平面AED的一個法向量為向量SA×向量AD＝(0,0,-√6)×(-√6,2,0)＝(2√6,0,6)，所以直線SB與平面AED所成角的余弦值為cosθ＝|向量SB·平面法向量|/|向量SB|·|平面法向量|＝|(-2,-2,-√6)·(2√6,0,6)|/√(4+4+6)·√(24+0+36)＝|-12-36|/√14·√60＝48/√14·√60＝4√15/7，所以選D。7.B解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，E(0.5,0.5,1)，F(xiàn)(0.5,0.5,0)，所以向量AD＝(-1,1,0)，向量B1C＝(-1,0,-2)，向量AD與向量B1C所成角的余弦值為cosθ＝|向量AD·向量B1C|/|向量AD|·|向量B1C|＝|(-1,1,0)·(-1,0,-2)|/√2·√5＝|1-0|/√2·√5＝1/√10＝√2/2，所以選B。8.A解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,1)，F(xiàn)(1,0,1)，G(0,1,1)，H(0,0,1)，所以向量EF＝(0,-1,0)，向量B1CD＝(-1,0,-1)，平面A1B1CD的一個法向量為向量EF×向量B1CD＝(0,-1,0)×(-1,0,-1)＝(1,0,1)，所以直線EF與平面A1B1CD所成角的正切值為tanθ＝|向量EF·平面法向量|/|向量EF|·|平面法向量|＝|(0,-1,0)·(1,0,1)|/1·√2＝1/√2＝1，所以選A。9.A解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0.5,1)，F(xiàn)(0.5,0.5,1)，所以向量AD＝(-1,1,0)，向量BE＝(-1,0,0)，平面PBE的一個法向量為向量BE×向量PE＝(-1,0,0)×(1,0.5,-1)＝(0,1,0.5)，所以直線AD與平面PBE所成角的正弦值為sinθ＝|向量AD·平面法向量|/|向量AD|·|平面法向量|＝|(-1,1,0)·(0,1,0.5)|/√2·√1.25＝|1|/√2·√5/2＝1/√2＝1/2，所以選A。10.A解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，S(0,0,2√2)，E(√2,0,√2)，F(xiàn)(√2,√2,√2)，所以向量SB＝(-2,-2,-2√2)，向量AED＝(-√2,-√2,√2)，平面EFC的一個法向量為向量AE×向量AF＝(-√2,-√2,√2)×(-√2,√2,√2)＝(0,-4,0)，所以直線SB與平面EFC所成角的正弦值為sinθ＝|向量SB·平面法向量|/|向量SB|·|平面法向量|＝|(-2,-2,-2√2)·(0,-4,0)|/√(4+4+8)·4＝8/√16·4＝1/√2＝1/√3，所以選A。11.B解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，E(0.5,0.5,1)，F(xiàn)(0.5,0.5,0)，所以三棱錐B-DEF的體積V＝1/3×S△DEF×B1B＝1/3×1/2×√2×√2×2＝1/3×2＝1/3，所以選B。12.B解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,1)，F(xiàn)(1,0,1)，G(0,1,1)，H(0,0,1)，所以三棱錐E-FGH的體積V＝1/3×S△FGH×A1A＝1/3×1/2×√2×√2×1＝1/3×2/2＝1/3，所以選B。二、填空題答案及解析13.√2解析：直線l：x＝1，y＝2＋t，z＝3－t的方向向量為(0,1,-1)，點A(1,2,3)到直線l的距離d＝|向量AA1×向量l的方向向量|/|向量l的方向向量|＝|(-1,0,-1)×(0,1,-1)|/√2＝√2，所以填√2。14.√2/2解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，E(1,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，B1C1的中點為(1/2,1,1)，所以向量EF＝(0,1,-1)，向量B1C1＝(-1,0,0)，平面B1C1EF的一個法向量為向量EF×向量B1C1＝(0,1,-1)×(-1,0,0)＝(0,-1,-1)，所以直線EF與平面B1C1CD所成角的余弦值為cosθ＝|向量EF·平面法向量|/|向量EF|·|平面法向量|＝|(0,1,-1)·(0,-1,-1)|/√2·√2＝1/2，所以填√2/2。15.√5/2解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，P(0,0,2)，E(0.5,0.5,1)，所以向量AB＝(0,1,0)，向量AC＝(-1,1,0)，向量PC＝(0,0,-2)，所以三棱錐P-ABC的體積V＝1/3×S△ABC×PC＝1/3×1/2×1×1×2＝√5/2，所以填√5/2。16.1/√3解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，S(0,0,2√2)，E(√2,0,√2)，F(xiàn)(√2,√2,√2)，所以向量SB＝(-2,-2,-2√2)，向量AED＝(-√2,-√2,√2)，平面AED的一個法向量為向量SA×向量AD＝(0,0,-2√2)×(-√2,2,0)＝(4√2,0,4)，所以直線SB與平面AED所成角的正弦值為sinθ＝|向量SB·平面法向量|/|向量SB|·|平面法向量|＝|(-2,-2,-2√2)·(4√2,0,4)|/√(4+4+8)·√(32+0+16)＝16/√16·√48＝1/√3，所以填1/√3。三、解答題答案及解析17.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，而AD在平面ACD中，所以PA⊥平面ACD。因為E是棱PC的中點，所以AE在平面ABE中，而PC在平面ACD中，所以AE⊥PC。又因為AE⊥AC，所以AE⊥平面ACD。所以平面ABE⊥平面ACD。（2）解：取BC的中點F，連接AF和PF。因為ABCD是矩形，所以BF⊥AC。又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BF。所以∠PBF就是二面角A-PBC的平面角。在直角三角形PBF中，PF＝√(PB^2－BF^2)＝√(2^2－1^2)＝√3，所以cos∠PBF＝BF/PF＝1/√3。所以二面角A-PBC的余弦值是√3/3。18.（1）證明：因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC。又因為AA1垂直于底面ABCD，所以AA1垂直于AC。因為AC在平面A1AC中，所以AA1⊥平面A1AC。同理，AA1⊥平面A1BD。因為BD在平面A1BD中，所以AA1⊥BD。所以BD⊥A1C。（2）解：取BD的中點G，連接A1G和CG。因為BD垂直于平面A1AC，所以BD⊥A1G。又因為BD⊥CG，所以∠A1GC就是二面角A1-BD-C1