3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算誤差和穩(wěn)態(tài)誤差定義7/18/20251系統(tǒng)誤差：輸出量的希望值和實(shí)際值之差。即系統(tǒng)偏差：系統(tǒng)的輸入和主反饋信號(hào)之差。即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)t→∞時(shí)的系統(tǒng)誤差，用表示。即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：當(dāng)t→∞時(shí)的系統(tǒng)偏差，用表示。即-+-對(duì)單位反饋系統(tǒng)，給定作用即為輸出量的希望值，，偏差等于誤差。誤差和穩(wěn)態(tài)誤差定義一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義7/18/20252偏差和誤差之間存在一定的關(guān)系：我們將偏差代替誤差進(jìn)行研究。除非特別說明，以后所說的誤差就是指偏差；穩(wěn)態(tài)誤差就是指穩(wěn)態(tài)偏差。-+-對(duì)非單位反饋系統(tǒng)，給定作用只是希望輸出的代表值，，偏差不等于誤差。-+-這里是基于控制系統(tǒng)在理想工作情況下得到的。誤差和穩(wěn)態(tài)誤差定義7/18/20253穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算-+-①給定作用下的偏差傳遞函數(shù)7/18/20254穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算②擾動(dòng)作用下的偏差傳遞函數(shù)+③給定和擾動(dòng)同時(shí)作用下的偏差表達(dá)式7/18/20255穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算④對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差終值定理要求和可拉氏變換；存在；并且除在原點(diǎn)處可以有極點(diǎn)外，的所有極點(diǎn)都在s平面的左半開平面。即只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。7/18/20256穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如以下圖，當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；所以先判穩(wěn)系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：由穩(wěn)定的條件知：不能滿足的要求7/18/20257三、給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析這時(shí)，不考慮擾動(dòng)的影響?？梢詫懗鲭S動(dòng)系統(tǒng)的誤差：-顯然，與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。給定輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式如下：7/18/20258式中：開環(huán)放大系數(shù)；積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；開環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)；可見給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)；與時(shí)間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。給定輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差7/18/20259開環(huán)系統(tǒng)的型系統(tǒng)的無差度階數(shù)〔開環(huán)傳遞函數(shù)的型〕通常稱開環(huán)傳遞函數(shù)中積分的個(gè)數(shù)為系統(tǒng)的無差度階數(shù)，并將系統(tǒng)按無差度階數(shù)進(jìn)行分類。當(dāng)，無積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)當(dāng)，有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為Ⅰ型系統(tǒng)當(dāng)，有二個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為Ⅱ型系統(tǒng)7/18/202510式中：稱為位置誤差系數(shù)；穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，為有限值的稱為有差系統(tǒng)。在單位階躍作用下，的系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，的系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。單位階躍函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)輸入為時(shí)（單位階躍函數(shù)）的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。越大，越小。所以說反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。7/18/202511當(dāng)輸入為時(shí)（單位斜坡函數(shù)）式中：稱為速度誤差系數(shù)；單位斜坡函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。越大，越小。所以說反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的能力。根據(jù)計(jì)算的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在跟蹤速度階躍輸入時(shí)位置上的誤差。7/18/202512當(dāng)輸入為時(shí)（單位加速度函數(shù)）式中：稱為加速度誤差系數(shù)；單位加速度函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差的大小反映了系統(tǒng)在拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。越大，越小。所以說反映了系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入的能力。根據(jù)計(jì)算的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在跟蹤加速度階躍輸入時(shí)位置上的誤差。7/18/202513當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)由位置，速度和加速度分量組成時(shí)，即組合輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差小結(jié)：給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對(duì)同一系統(tǒng)參加不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與時(shí)間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；對(duì)有差系統(tǒng)，K↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。由此可見對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的要求是矛盾的。7/18/202514四、擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析通常，給定輸入作用產(chǎn)生的誤差為系統(tǒng)的給定誤差，擾動(dòng)作用產(chǎn)生的誤差為擾動(dòng)誤差。

時(shí)產(chǎn)生的稱為擾動(dòng)誤差。-+擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差7/18/202515擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可見，不僅與有關(guān)，還與和有關(guān)（擾動(dòng)點(diǎn)到偏差之間的那部分通道傳遞函數(shù)）。式中：7/18/202516擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差上式中為開環(huán)傳遞函數(shù)所具有的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。⒈當(dāng)，即開環(huán)傳遞函數(shù)中無積分環(huán)節(jié)，同時(shí)假設(shè)無純微分環(huán)節(jié)，因此中也無積分環(huán)節(jié)。此時(shí)在階躍擾動(dòng)輸入時(shí)是有差系統(tǒng)，設(shè)7/18/202517擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差⒉當(dāng)，即開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)，但積分環(huán)節(jié)可在不同的地方。設(shè)①設(shè)即無積分環(huán)節(jié)②設(shè)即有積分環(huán)節(jié)此時(shí)，盡管有開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，在階躍擾動(dòng)作用下還是有差的。7/18/202518擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差若，在階躍擾動(dòng)作用下是無差的。若在斜坡擾動(dòng)作用下也是無差的。因此環(huán)節(jié)中的積分環(huán)節(jié)決定了擾動(dòng)作用下的無差度。五、誤差分析與反響環(huán)節(jié)的關(guān)系+-由圖可見，不管是給定還是擾動(dòng)作用產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，都與圖中反響環(huán)節(jié)中的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。7/18/202519擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系[例子]：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。當(dāng)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。解：該系統(tǒng)對(duì)給定輸入而言屬于Ⅰ型系統(tǒng)。所以當(dāng)給定輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差但該系統(tǒng)所以對(duì)于擾動(dòng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差并不等于零。根據(jù)前面的分析知，穩(wěn)態(tài)誤差與G1中的增益和積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。此時(shí)因G1無積分環(huán)節(jié)，所以-+也可這樣求7/18/202520假設(shè)想使穩(wěn)態(tài)誤差為零，那么要求G1中有積分環(huán)節(jié)，令擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系此時(shí)-+但此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞，成為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。假設(shè)要使系統(tǒng)穩(wěn)定，還必須在原G1中引入比例+微分環(huán)節(jié)-+當(dāng)K1>0，K2>0，τ>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定7/18/202521擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系由此可見當(dāng)用時(shí)，才能在保證穩(wěn)定的前提下使系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例+積分環(huán)節(jié)或比例+積分控制器〔PI控制器〕。這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例+積分+微分環(huán)節(jié)或比例+積分+微分控制器〔PID控制器〕。7/18/202522穩(wěn)態(tài)誤差的例子||例3-9[例3-9]速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如以以下圖所示。給定輸入和擾動(dòng)作用均為單位斜坡函數(shù)。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。-+[解]：7/18/202523穩(wěn)態(tài)誤差的例子||例3-93、總的穩(wěn)態(tài)誤差為：2、-+7/18/202524為了減少給定誤差，可以增加前向通道上的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。為了減小擾動(dòng)誤差，可以增加偏差點(diǎn)到擾動(dòng)作用點(diǎn)之間積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或放大系數(shù)。放大系數(shù)不能任意放大，積分環(huán)節(jié)也不能太多〔一般2個(gè)〕，否那么系統(tǒng)將會(huì)不穩(wěn)定。[結(jié)論]：7/18/202525[復(fù)合控制系統(tǒng)]：在控制系統(tǒng)中引入與給定作用和擾動(dòng)作用有關(guān)的附加控制可構(gòu)成復(fù)合控制，可進(jìn)一步減小給定誤差和擾動(dòng)誤差。圖(a)的誤差：順饋控制系統(tǒng)：圖(a)圖(b)在圖(a)的基礎(chǔ)上加上環(huán)節(jié)，就構(gòu)成了順饋控制系統(tǒng)。三、復(fù)合控制系統(tǒng)的誤差分析復(fù)合控制系統(tǒng)7/18/202526再來計(jì)算圖(b)的誤差函數(shù)。復(fù)合控制系統(tǒng)7/18/202527若滿足則，即無輸入穩(wěn)態(tài)誤差，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入。該式稱為給定作用實(shí)現(xiàn)完全不變性的條件。前饋系統(tǒng)〔按擾動(dòng)作用的完全不變性條件設(shè)計(jì)〕--+令，由于是單位反饋系統(tǒng)，所以誤差。未加前饋時(shí)，前饋控制系統(tǒng)7/18/202528參加前饋后，有：顯然，這個(gè)條件就是對(duì)擾動(dòng)作用實(shí)現(xiàn)完全不變性的條件。但在實(shí)際的系統(tǒng)中，有時(shí)是難以實(shí)現(xiàn)的?？梢圆扇〗频难a(bǔ)償，以減小擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。前饋控制系統(tǒng)--+7/18/202529復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差例子[例3-10]如下圖所示的復(fù)合系統(tǒng)。順饋補(bǔ)償環(huán)節(jié)。試求位置誤差和速度誤差。并討論位置誤差、速度誤差與的關(guān)系。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：誤差為：無順饋時(shí)，位置誤差：有順饋時(shí)，7/18/202530復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差例子續(xù)速度誤差：分析：

當(dāng)時(shí)，沒有順饋補(bǔ)償，速度誤差等于。當(dāng)時(shí)，還有速度誤差，但比補(bǔ)償前要小。當(dāng)時(shí)，速度誤差為零，實(shí)現(xiàn)了完全補(bǔ)償。