（人教版）數(shù)學

九年級上第二十一章一元二次方程

21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法目錄課后小結(jié)隨堂練習知識講解情境導入學習目標13524學習目標1.掌握用因式分解法解一元二次方程．（重點）2.會比較解一元二次方程的多種方法，選擇合適的方法解一元二次方程使解題簡便.（難點）情境導入

我們知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，類似的，解方程(x＋1)(x－1)＝0時，可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0來解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解嗎？知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程

先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟：（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程2.常用的因式分解法：提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.3.用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程4.用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解：(1)原方程轉(zhuǎn)化為x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解為x1＝0，x2＝－5；知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.(2)原方程轉(zhuǎn)化為(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解為x1＝5，x2＝7.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程【例2】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，

則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，

因此原方程的解為：x1＝x2＝3.知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程【例2】用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.(2)整理得[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，∴[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝

，x2＝.

知識講解知識點1

用因式分解法解一元二次方程【例3】若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC為等腰三角形．知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程1.能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：（1）形如x2=p，可直接開平方求解.（2）由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n=.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程2.配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；

所有的一元二次方程都可以用配方法和公式法來求解，但它們往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程3.能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積.總之，解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程【例4】用合適的方法解下列方程：

（1）4x2=16;

（2）2x2+3x1=0；

（3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；

（4）x2+6x+8=0.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程【例4】用合適的方法解下列方程：

（1）4x2=16;解：（1）原式可化為x2=4，

直接開平方得x=±2，∴x1=2，x2=2.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程【例4】用合適的方法解下列方程：

（2）2x2+3x1=0；（2）∵a=2，b=3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=17＞0，知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程【例4】用合適的方法解下列方程：

（3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；（3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，因式分解得(2x+1+2)2＝0．即2x+3=0，x1=x2=1.5.知識講解知識點2

選擇合適的方法解一元二次方程【例4】用合適的方法解下列方程：

（4）x2+6x+8=0.（4）將常數(shù)項移到方程右邊x2+6x=8．兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”，得x2+6x+32=8+32，∴(x+3)2=1．用直接開平方，得x+3=±1，∴x=2或x=4．隨堂練習

解：（方法一）(1)因式分解，得(x2)(x+1)=0，

于是得x2=0，或x+1=0，x1=2，x2=1.隨堂練習

（方法二）(1)方程化為x2x2=0，a=1，b=1，c=2.Δ=b24ac=(1)24×1×(2)=9＞0，

即x1=2，x2=1.隨堂練習

（方法一）(2)移項、合并同類項，得4x21=0，

因式分解，得(2x+1)(2x1)=0，

于是得2x+1=0，或2x1=0，x1=，x2=.

隨堂練習

（方法二）(2)移項、合并同類項，得4x2=1，

二次項系數(shù)化為1，得x2=，

直接開平方，得x=±

，

即x1=，x2=.

隨堂練習2.我們知道x2（a+b）x+ab=（xa)(xb），那么x2（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（xa)(xb）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x23x4=0；

（2）x27x+6=0；

（3）x2+4x5=0.解（1）∵x23x4=（x4)(x+1），

∴（x4)(x+1）=0，

∴x4=0或x+1=0，

∴x1=4，x2=1.隨堂練習2.我們知道x2（a+b）x+ab=（xa)(xb），那么x2（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（xa)(xb）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x23x4=0；

（2）x27x+6=0；

（3）x2+4x5=0.

（2）∵x27x+6=（x6)(x1），

∴（x6)(x1）=0，

∴x6=0或x1=0，

∴x1=6，x2=1.隨堂練習2.我們知道x2（a+b）x+ab=（xa)(xb），那么x2（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（xa)(xb）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x23x4=0；

（2）x27x+6=0；

（3）x2+4x5=0.

（3）∵x2+4x5=（x+5)(x1），

∴（x+5)(x1）=0，

∴x+5=0或x1=0，

∴x1=5，x2=1.隨堂練習3.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍.求小