專題6立體幾何與空間向量

考點(diǎn)考情考向考頻

立2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T4、T8

體2022年新課標(biāo)Ⅱ卷T7、T11

幾柱、錐、臺(tái)、球的表2023年新課標(biāo)Ⅰ卷T12、T14

3年10考

何面積與體積2023年新課標(biāo)Ⅱ卷T9、T14

與2024年新課標(biāo)Ⅰ卷T5

空2024年新課標(biāo)Ⅱ卷T7

間2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T9、T19

向2022年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

空間線線、線面、面

量2023年新課標(biāo)Ⅰ卷T18

面平行與垂直的判定3年7考

2023年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

與應(yīng)用

2024年新課標(biāo)Ⅰ卷T17

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷T17

2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T19

2022年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

2023年新課標(biāo)Ⅰ卷T18

空間向量及應(yīng)用3年6考

2023年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

2024年新課標(biāo)Ⅰ卷T17

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷T17

2022年新課標(biāo)Ⅰ卷T9、T19

2022年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

2023年新課標(biāo)Ⅰ卷T18

空間角與距離及求法3年8考

2023年新課標(biāo)Ⅱ卷T20

2024年新課標(biāo)Ⅰ卷T17

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷T7、T17

近三年的高考命題，重點(diǎn)考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積，圓柱、圓

錐與球的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積，直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的判

定與性質(zhì)，直線與平面所成的角、二面角的求法、空間向量在求空間角時(shí)的應(yīng)用．高考命題

形式呈現(xiàn)“一(或二)小一大趨勢(shì)”，小題(客觀題)以容易題、中檔題或難題形式出現(xiàn)，且試題創(chuàng)

新度高，形式新穎；大題(解答題)側(cè)重考查線面位置關(guān)系的論證和空間角(二面角)的求法．本

專題主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

立體幾何是每年高考考查的重要內(nèi)容，新高考舊結(jié)構(gòu)以“二小一大”的形式考查，而新高

考新結(jié)構(gòu)以“一小一大”的形式考查．

客觀題主要考查柱、錐、臺(tái)、球的表面積或體積，多面體與組合體的有關(guān)側(cè)面展開(kāi)圖，

與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，線線、線面、面面的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定，試題難度易、中、難

均有可能，有時(shí)與數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用綜合．

解答題一般設(shè)置兩問(wèn)，其中第一問(wèn)是位置關(guān)系的證明，主要涉及線線垂直、線面平行、

面面垂直、線段相等，第二問(wèn)主要涉及二面角、線面角、異面直線所成角的計(jì)算，側(cè)重二面

角的計(jì)算．立體幾何一般排在前三題，試題難度是中等題．

立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材，主要以兩個(gè)載體(直觀圖、

點(diǎn)線面的位置關(guān)系)來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間圖形及其位置關(guān)系，提高直觀想象能力，并在幾何直

觀的基礎(chǔ)上，初步形成對(duì)空間圖形的邏輯推理能力．在復(fù)習(xí)時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：

1．明確柱、錐、臺(tái)、球的幾何特征，并能進(jìn)行表面積、體積的運(yùn)算．高考常以此為載體

考查空間想象能力及運(yùn)算求解能力．

2．空間位置關(guān)系特別是空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考必考內(nèi)容，要將平行

與垂直的判定定理及性質(zhì)定理靈活運(yùn)用，提高邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3．空間向量的考查重在其工具性，主要是計(jì)算空間角(異面直線所成的角、直線與平面

所成的角、二面角的平面角)和空間距離等，也可用來(lái)證明位置關(guān)系，運(yùn)用空間向量，思路清

晰，可化難為易，克服平面的垂線難作、角難找、圖難畫等難點(diǎn)，但計(jì)算的要求相應(yīng)提高，

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)在重視空間向量坐標(biāo)法的同時(shí)關(guān)注構(gòu)建法的運(yùn)用，重視法向量的計(jì)算，重

視向量公式的正確使用．

第33講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及表面積、體積

[課標(biāo)要求]1.了解柱、錐、臺(tái)、球的定義、性質(zhì)及它們之間的關(guān)系.2.掌握柱、錐、臺(tái)、

球的結(jié)構(gòu)特征．會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.了解柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的

計(jì)算公式.4.通過(guò)對(duì)空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算，進(jìn)一步理解簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征．

授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P145

1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

名稱結(jié)構(gòu)特征圖例

棱兩底面相互平行，其余各面都是

__平行四邊形__；側(cè)棱平行且__

柱相等__

棱

底面是多邊形，各側(cè)面均是__三

角形__；各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)

錐

棱兩底面相互平行；是用一個(gè)__平

行__于棱錐底面的平面去截棱

臺(tái)錐，底面和截面之間的部分

兩底面相互平行；側(cè)面的母線__

圓平行__于圓柱的軸；是以矩形的

一邊所在直線為_(kāi)_軸__，其余三

柱邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾

何體

底面是__圓__；是以直角三角形

圓

的一條__直角邊__所在的直線

為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的

錐

曲面所圍成的幾何體

圓兩底面互相平行；是用一個(gè)平行

于圓錐底面的平面去截圓錐，底

臺(tái)面和截面之間的部分

球心到球面上各點(diǎn)的距離__相

等__；是以半圓的直徑所在的直

球

線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形

成的幾何體

2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用__斜二測(cè)畫法__來(lái)畫，基本步驟是：

(1)畫幾何體的底面

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)

的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝__45°(或135°)__，它們確定的平面表示水平

面．

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成__平行于x′軸或y′軸__的

線段．

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中__保持原長(zhǎng)度不變__，平行于y軸的線段，

在直觀圖中長(zhǎng)度為_(kāi)_原來(lái)的一半__．

(2)畫幾何體的高

在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于Oxy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸也垂直于O′x′y′平

面，已知圖形中平行于z軸的線段在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度__相等__．

(3)成圖

根據(jù)實(shí)際圖形順次連接線段的端點(diǎn)，并整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，

就得到了幾何體的直觀圖．

3．表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和．

4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l

5．空間幾何體的表面積和體積公式

幾何體表面積體積

柱體

S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh

(棱柱和圓柱)

錐體1

S表面積＝S側(cè)＋S底V＝Sh

(棱錐和圓錐)3

1

臺(tái)體S表面積＝S側(cè)＋V＝(S上＋S下

3

(棱臺(tái)和圓臺(tái))S上＋S下

＋S上·S下)h

243

球S表面積＝4πRV球＝πR

3

2

1．用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的.

4

2．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．

(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．

3．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論

(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝3a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R＝2a.

(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝

a2＋b2＋c2.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.

4．球的截面的性質(zhì)

(1)過(guò)球心的平面截球所得的截面是一個(gè)圓，稱為球的大圓，不過(guò)球心的平面截球所得的

截面也是圓，稱為球的小圓．

(2)球的截面的性質(zhì)：

①球的小圓圓心與球心連接的線段與小圓面__垂直__；

②該球心到球的截面的距離為d，小圓的半徑r，球的半徑R，則R2＝__d2＋r2__．

1．下列說(shuō)法正確的是()

A．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

C．以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是球

D．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑

解析：CA是錯(cuò)誤的，以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體才是圓錐；B

是錯(cuò)誤的，以直角梯形垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；C是正確的；D是錯(cuò)誤

的，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．故選C.

2．下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是()

A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

B．有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)

D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

解析：D有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，若其余各面沒(méi)有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，

則不是棱錐，A錯(cuò)誤；

兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，還要滿足各側(cè)棱的延長(zhǎng)

線交于一點(diǎn)，B錯(cuò)誤，D正確；

用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)，

C錯(cuò)誤．故選D.

3．(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，

則圓錐的體積為()

A．23πB．33π

C．63πD．93π

解析：B設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)為r2＋3，而它們的側(cè)面積相等，所

1

以2πr×3＝πr×3＋r2，即23＝3＋r2，故r＝3，故圓錐的體積為π×9×3＝33π.故選B.

3

4．(2025·湖北武漢期中)如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，

已知A′B′＝4，C′D′＝2，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_________．

解析：62如圖，過(guò)D′作DE⊥O′B′，

1

由等腰梯形A′B′C′D′可得△A′D′E是等腰直角三角形，即A′D′＝2A′E＝×(4－2)×2＝2，

2

1

四邊形ABCD的面積為×(4＋2)×22＝62.

2

3

5．(2024·重慶二模)將一個(gè)半徑為cm的鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的鐵錠，

2

若這個(gè)鐵錠的底面邊長(zhǎng)為1cm和2cm，則它的高為_(kāi)_________cm.

27π4339π

解析：球的體積為V1＝π×()＝，

14322

設(shè)鐵錠的高為hcm，則正四棱臺(tái)的體積為

17

V2＝(1＋4＋1×4)h＝h，

33

27π

由V1＝V2得h＝.

14

授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P148

探究點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【例1】(1)給出下列命題：

①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．

其中正確命題的序號(hào)是________．

(2)給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A．0B．1

C．2D．3

解析：(1)①①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體

ABCD-A1B1C1D1中的四面體A-CB1D1；②錯(cuò)誤，反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，

可令A(yù)B＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，

但不能判定其為正三棱錐；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面．

(2)A①錯(cuò)誤，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；

②錯(cuò)誤，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓

錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；

③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但

是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．故選A.

(1)熟記柱、錐、臺(tái)、球的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以便在以柱、錐、臺(tái)、球?yàn)檩d體的綜合問(wèn)題中

靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用其性質(zhì)進(jìn)行推理與計(jì)算．

(2)求解幾何體的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意：

①充分利用正方體、長(zhǎng)方體模型，注意所研究的幾何體與其有什么關(guān)系．

②善于根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造幾何圖形和空間幾何體．

③善于通過(guò)截面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

變式探究

1．給出下列四個(gè)命題：

①圓錐是由正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體；

②圓錐是由三角形繞其一邊上的高旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何體；

③圓錐是∠AOB繞其平分線旋轉(zhuǎn)一周所形成曲面圍成的幾何體；

④底面在水平平面上的圓錐用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圓錐．

其中正確命題的序號(hào)是__________．

解析：④正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐，①錯(cuò)誤；圓錐

是由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何體，②③錯(cuò)誤；④正確．

2．下列結(jié)論正確的是()

A．底面是平行四邊形的棱柱是平行六面體

B．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

C．以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

幾何體叫圓錐

D．圓臺(tái)的上底面圓周上的任意一點(diǎn)與下底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線

解析：A對(duì)于A，底面是平行四邊形的四棱柱為平行六面體，A正確；

對(duì)于B，如果兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起，得到的幾何體各個(gè)面都是三角形，但幾何

體不是三棱錐，如圖所示，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何

體叫圓錐，顯然若旋轉(zhuǎn)未滿一周，則幾何體不是圓錐，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，過(guò)圓臺(tái)上下底面平行的直徑同一側(cè)的端點(diǎn)的連線叫做圓臺(tái)的母線，D錯(cuò)誤．故

選A.

探究點(diǎn)2簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

【例2】(1)(2024·山東濰坊三模)陀螺是由兩個(gè)底面重合的圓錐組成的．已知該陀螺上、

下兩圓錐的體積之比為1∶2，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為

()

101

A.B.

52

215

C.D.

25

(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底

面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．

解析：(1)A設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為r，高分別為h1，h2，體積分別為V1，V2，

因?yàn)樯蠄A錐的高與底面半徑相等，所以h1＝r，

12

πrh1

V13h1r1

則＝＝＝＝，所以h2＝2r，

V212h2h22

πrh2

3

2222

上圓錐的母線為r＋h1＝r＋r＝2r，

2222

下圓錐的母線為r＋h2＝r＋4r＝5r，

2r10

所以上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為＝，故選A.

5r5

21

(2)28(方法1)如圖，由于＝，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，

42

11

所以正四棱錐的體積為×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為×(2×2)×3＝4，所以棱臺(tái)的

33

體積為32－4＝28.

1

(方法2)棱臺(tái)的體積為×3×(16＋4＋16×4)＝28.

3

(1)求幾何體的體積和表面積，要緊扣公式中的基本量，注意量與量之間的轉(zhuǎn)化．

(2)當(dāng)幾何體不是正棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)時(shí)，求表面積時(shí)，要注意判斷每一個(gè)面的形狀，

先分別求出每一個(gè)面的面積，再相加.

變式探究

3．(2025·山東德州期中)如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近

似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB＝8cm，CD＝2cm，則該青銅器的體積為()

872π

A．872πcm3B.cm3

4

432π

C.cm3D．432πcm3

2

解析：D設(shè)圓柱的底面圓半徑為r1，底層圓臺(tái)的上下底面圓半徑分別為r2，r3，則r1

2122

＝2，r2＝4，r3＝1，所以青銅器的體積為V圓柱＋V中間圓臺(tái)＋V底層圓臺(tái)＝22πr1＋×32(πr2＋πr1＋

3

221222211

πr2·πr1)＋×2(πr2＋πr3＋πr2·πr3)＝22π×4＋×32(π×16＋π×4＋16π×4π)＋×2(π×16＋

333

π×1＋16π×π)＝432π(cm3)，故選D.

4．(多選)在實(shí)踐課上，小華將透明塑料制成了一個(gè)長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1，如圖1，

AB＝BC＝2，A1A＝5，在容器內(nèi)灌進(jìn)一些水(D1H＝4DH)，現(xiàn)固定容器底面一邊BC于地面上，

再將容器傾斜，如圖2，則()

A．有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱

B．棱A1D1與水面所在平面平行

C．水面EFGH所在四邊形的面積為定值

D．當(dāng)容器傾斜成如圖3所示時(shí)，EF的最小值為22

解析：ABD由棱柱的定義知，A正確；

對(duì)于B，由于A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且A1D1不在水面所在平面內(nèi)，所

以棱A1D1與水面所在平面平行，B正確；

對(duì)于C，在圖1中，SEFGH＝FG·EF＝BC·AB＝4，在圖2中，SEFGH＝FG·EF>AB·BC＝4，

C錯(cuò)誤；

1

對(duì)于D，V水＝2×2×1＝·BE·BF·BC，所以BE·BF＝4.

2

EF2＝BE2＋BF2≥2BE·BF＝8，當(dāng)且僅當(dāng)BE＝BF＝2時(shí)，等號(hào)成立，

所以EF的最小值為22，D正確．故選ABD.

探究點(diǎn)3組合體的表面積與體積

【例3】(1)設(shè)四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面積分別為S1，S2，側(cè)面積為S，若一

個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則()

2

A．S＝S1S2B．S＝S1＋S2

C．S＝2S1S2D.S＝S1＋S2

(2)(多選)(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，

AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()

A．V3＝2V2B．V3＝V1

C．V3＝V1＋V2D．2V3＝3V1

解析：(1)D設(shè)內(nèi)切球的球心為O，連接OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1，

如圖所示，

則OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1把四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1分割成六個(gè)四

棱錐，且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑R，

則四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為2R，

11

所以V＝(S1＋S2＋S1S2)·2R＝(S1＋S2＋S)·R，

四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D133

2

化簡(jiǎn)可得S1＋S2＋2S1S2＝(S1＋S2)＝S.故選D.

(2)CD設(shè)AB＝ED＝2FB＝2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，

111243

則V1＝·ED·S△ACD＝·2a··(2a)＝a.

3323

111223

V2＝·FB·S△ABC＝·a··(2a)＝a.

3323

如圖，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，易得BD⊥AC，

又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，

又ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，

1

又BM＝DM＝BD＝2a，過(guò)F作FG⊥DE于G，易得四邊形BDGF為矩形，則FG＝

2

BD＝22a，EG＝a，

則EM＝（2a）2＋（2a）2＝6a，F(xiàn)M＝a2＋（2a）2＝3a，EF＝a2＋（22a）2

＝3a，

所以EM2＋FM2＝EF2，則EM⊥FM，

1322

S△EFM＝EM·FM＝a，AC＝22a，

22

13

則V3＝VA-EFM＋VC-EFM＝AC·S△EFM＝2a.

3

綜上，V3＝3V2，2V3＝3V1，V3＝V1＋V2，A、B錯(cuò)誤；C、D正確．故選CD.

(1)求組合體體積的基本思路是通過(guò)分割、補(bǔ)形或采用間接法的手段，先將幾何體變?yōu)橐?/p>

個(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，再計(jì)算．

(2)空間幾何體的表面積是空間幾何體暴露在外的面積，求組合體的表面積，通常是采用

“分割”或“補(bǔ)形”的方法將組合體轉(zhuǎn)化為常規(guī)的柱、錐、臺(tái)、球等，先求出這些柱、錐、臺(tái)、

球的表面積，再通過(guò)求和或作差求得原幾何體的表面積.

變式探究

5．(2024·天津北辰三模)中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異．從神話“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)

戶飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)

未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新．如圖可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓

錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體．圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為

4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為()

325π76π

A.B.

123

215π325π

C.D.

916

解析：A由題意可知，容器中液體的下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái)，

取軸截面，如圖所示，O1，O2，O3分別為AB，CD，EF的中點(diǎn)．

易知AB∥CD∥EF，且O1B＝O2C＝2，O1O2＝6，O2P＝4，O2O3＝1，O3P＝3，

可得O3F＝O3P＝3，

O2CO2P4

3

即O3F＝，

2

133325π

所以該容器中液體的體積為π×22×6＋[π×22＋π×()2＋π×22×π×（）2]×1＝.故選

32212

A.

6．(2025·浙江模擬預(yù)測(cè))如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V，E是棱C1D1的

中點(diǎn)，平面AB1E將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為()

77

A.VB.V

2417

71

C.VD.V

152

解析：A如圖，取DD1的中點(diǎn)F，連接EF，AF，A1F，B1F，易知EF∥DC1∥AB1，所

以平面AB1E與DD1的交點(diǎn)為F.

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)AB、寬BC、高AA1分別為a，b，c，則V＝abc.

平面AB1EF將長(zhǎng)方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為

11111177

V＋V＝×b××a×c＋×c×(a＋a)b＝abc＝V.故選A.

F-AB1A1F-A1B1E/p>

7．如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，

∠CAE＝30°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______________．

解析：7π還原出如圖所示的三棱錐B-PAC，

因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥AD，AC，AD?平面PAC，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面PAC.

設(shè)平面PAC的截面圓心為O′，半徑為r，球心為O，球半徑為R，

3

在△PAC中，由余弦定理可得PC2＝AC2＋AP2－2AC·AP·cos30°＝1＋3－2×1×3×＝1，

2

則PC＝1.

PC

由正弦定理得2r＝＝2，即r＝1.

sin30°

13

因?yàn)镺O′＝AB＝，

22

37

所以R＝12＋（）2＝，

22

7

所以外接球的表面積S＝4π()2＝7π.

2

授課提示：訓(xùn)練手冊(cè)P378

1．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A．經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)

B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形

C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直

D．棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直

解析：D對(duì)于A，經(jīng)過(guò)不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，A

正確；

對(duì)于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，B正確；

對(duì)于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，C正確；

對(duì)于D，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，側(cè)棱有可能與底面垂直，D錯(cuò)誤．故選D.

2．如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以

下說(shuō)法正確的是()

A．△ABC是鈍角三角形

B．△ABC是等邊三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

解析：C將其還原成原圖，如圖，

設(shè)A′C′＝2，則可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，從而AB＝BC＝2，所以AB2＋BC2

＝AC2，即AB⊥BC，

故△ABC是等腰直角三角形．故選C.

3．下列說(shuō)法中正確的是()

A．各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐

B．各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

C．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

D．底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐

解析：D對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無(wú)法保證各個(gè)等腰三角形全等且腰長(zhǎng)均

為側(cè)棱長(zhǎng)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無(wú)法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)，C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面的射影為底面

中心，滿足正棱錐定義，D正確．故選D.

4．已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積是其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為

()

3π

A．πB．

2

2ππ

C．D．

32

1

解析：A不妨設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h.根據(jù)題意，4××2rh＝πrl，

2

hπ

所以＝，又l＝4，解得h＝π.故選A.

l4

5．設(shè)有三個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六

面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是平行六面體．其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A．0B．1

C．2D．3

解析：B由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，命題①

正確；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長(zhǎng)方體，命

題②錯(cuò)誤；直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題③

錯(cuò)誤．正確的命題只有1個(gè)．故選B.

6．位于徐州園博園中心位置的國(guó)際館(一云落雨)，使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室

客廳．如圖，這個(gè)國(guó)際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性

主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一．其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長(zhǎng)

為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為(參考數(shù)據(jù)：

173.16≈13.16)()

A．2B．1.71

C．1.37D．1

解析：C如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點(diǎn)，連接PH，HG，

PG，

則PH⊥HG，PG⊥BC，

19.2

所以PG＝PH2＋HG2＝92＋()2＝173.16≈13.16，

2

1

4S△PBC4××BC×PG2PG26.32

則＝2＝≈≈1.37，故選C.

AB19.2

S正方形ABCDAB×BC

7．(2024·河南新鄉(xiāng)二模)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥BC，AC1＝2AA1＝4，則該三

棱柱的體積的最大值為_(kāi)_______．

解析：6如圖，AC1＝2AA1＝4，

則A1C1＝23，

由AB⊥BC，則AB2＋BC2＝12≥2AB·BC，

當(dāng)AB＝BC時(shí)，等號(hào)成立，即AB·BC的最大值為6，

11

此時(shí)三棱柱的體積最大，最大體積為AB·BC·AA1＝×6×2＝6.

22

8．(2024·全國(guó)甲卷)已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母

線長(zhǎng)分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為_(kāi)_______．

解析：6由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為

4

22

h甲＝[2(r2－r1)]－(r2－r1)＝3(r2－r1)，

22

h乙＝[3(r2－r1)]－(r2－r1)＝22(r2－r1)，

122

（r1＋r2＋r1r2）h甲

V甲h甲3(r2－r1)6

所以＝3＝＝＝.

V乙122h乙22(r2－r1)4

（r1＋r2＋r1r2）h乙

3

9．如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成

體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為()

11

．．

A3B4

22

1

．1．

CD6

22

解析：B如圖，AC⊥DO，

設(shè)OB＝1，∠BDO＝θ，

1

則OD＝，

tanθ

AC＝AD·sinθ＝ODcosθ·sinθ＝cos2θ，

令大圓錐DBB′的體積為V，圓錐OAA′和圓錐DAA′的體積分別為V1，V2，

π12114

V＝，V1＋V2＝OD·π·AC＝··π·cosθ，

3tanθ33tanθ

由題意可得V＝2(V1＋V2)，

π21

則＝··π·cos4θ，

3tanθ3tanθ

1

解得4＝1，＝，故選

cosθcosθ4(cosθ>0)B.

22

10．(2025·福建泉州模擬預(yù)測(cè))已知圓錐的側(cè)面積是2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半徑為()

263

A．B．

33

236

C．D．

33

解析：B圓錐和它的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．

πrl＝2π

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，由題意知，兩式相除解得

πl(wèi)＝2πr，

r＝1，π

所以圓錐軸截面的頂角為，軸截面為等邊三角形，圓錐的高h(yuǎn)＝22－12＝3.

l＝2，3

如圖，設(shè)圓錐的內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為R，

113

Rt△AOS中，OS＝AO，即R＝(3－R)，解得R＝.故選B.

223

11．(多選)(2025·山西大同期末)將一個(gè)直徑為10cm的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制

成的零件可以是()

A．底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體

B．底面直徑為8cm，高為8cm的圓錐體

C．底面直徑為7cm，高為9cm的圓錐體

D．各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體

解析：ABD對(duì)于A，若圓柱的底面直徑為8cm，則半徑為4cm，此時(shí)球心到圓柱底

面的距離為52－42＝3(cm)，故圓柱的高可以為6cm，A正確；

對(duì)于B，若圓錐的底面直徑為8cm，則半徑為4cm，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為52－42

＝3(cm)，故圓錐的高最大時(shí)為3＋5＝8(cm)，B正確；

7

對(duì)于C，若圓錐的底面直徑為7cm，則半徑為cm，此時(shí)球心到圓錐底面的距離為

2

751851

52－()2＝<＝4(cm)，故圓錐的高最大時(shí)為(＋5)cm<9cm，C錯(cuò)誤；

2222

對(duì)于D，若將各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體放入棱長(zhǎng)為42cm的正方體中，此時(shí)正方體的

外接球直徑為3×42＝46(cm)<10cm，D正確．故選ABD.

1

12．在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足

3

2

PN＝PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為_(kāi)_______．

3

21

解析：在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝PC，線段PB上的點(diǎn)N

93

2

滿足PN＝PB，

3

1

所以S△PMA＝S△PAC，

3

設(shè)N到平面PAC的距離為d1，B到平面PAC的距離為d2，

2

則d1＝d2，

3

11122

則三棱錐P－AMN的體積為V三棱錐P－AMN＝V三棱錐N－APM＝S△PAM·d1＝×S△PAC×d2＝V三棱錐

33339

2

B－PAC＝V三棱錐P－ABC.

9

2

故三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為.

9

13．(多選)如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，下列命題正確的是()

A．正方體外接球的直徑為3

B．點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則四面體P－A1B1C1的體積不變

2π

C．與所有12條棱都相切的球的體積為

3

3－2

D．M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，則AM長(zhǎng)的最小值是

2

解析：ABC對(duì)于A，連接B1D(圖略)，則B1D為正方體外接球的直徑，

又B1D＝3，則正方體外接球的直徑為3，A正確；

對(duì)于B，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到平面A1B1C1的距離恒為1，則四面體P－A1B1C1

的體積不變，B正確；

2422π

對(duì)于C，與所有12條棱都相切的球的半徑為，該球體積為π·()3＝，則與所有

2323

2π

12條棱都相切的球的體積為，C正確；

3

1

對(duì)于D，正方體的內(nèi)切球的半徑為，球心為B1D的中點(diǎn)，M是球面上任意一點(diǎn)，則AM

2

3－1

長(zhǎng)的最小值是，D錯(cuò)誤．故選ABC.

2

14．根據(jù)祖暅原理，介于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的

平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器

是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R

的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面

高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為4cm，高為10cm，里面注入高為1cm

的水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為

3

__________cm(注：2≈1.26).

解析：1.48設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h.由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上

球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體

積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積．

23

因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為V水＝π×4×1＝16π(cm)，

1164π(4－h(huán))3π

相應(yīng)圓臺(tái)的體積為×π×42×4－×π×(4－h(huán))2×(4－h(huán))＝－(cm3)，

3333

64π(4－h(huán))3π33

所以16π＝－，解得h＝4－16＝4－22≈4－2×1.26＝1.48(cm).

33

第34講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

[課標(biāo)要求]1.在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直

線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解“四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理”，并能運(yùn)用其解決空間位置關(guān)

系的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

授課提示：聽(tīng)課手冊(cè)P150

1．平面的基本性質(zhì)

基本事實(shí)1：過(guò)__不在一條直線上__的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

基本事實(shí)2：如果一條直線上的__兩個(gè)點(diǎn)__在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面

內(nèi)．用符號(hào)語(yǔ)言表示為_(kāi)_A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α__．

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們__有且只有一條__過(guò)該點(diǎn)

的公共直線．用符號(hào)語(yǔ)言表示為_(kāi)_P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l__．

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線_