2025年高考數(shù)學模擬檢測卷-空間幾何與解析幾何交匯題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面α：x-y+2z=0的距離是（）A.2√3B.√3C.√6D.√22.已知直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程是（）A.x=2y-1B.x+y=1C.x-y=1D.x-2y=13.若點P在直線l：x+y=1上運動，則點P到點A(1,0)的距離的最小值是（）A.√2/2B.1C.√3/2D.24.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，則向量a與向量b的夾角余弦值是（）A.1/2B.√3/2C.√5/2D.√10/25.過點A(1,0,1)且與直線l：x=1，y=2z相平行的直線方程是（）A.x=1，y=2z+1B.x=1，y=2zC.x=1，z=y/2D.x=1，z=2y6.已知點B在直線l：x=2y-1上運動，則點B到平面α：x+y+z=1的距離的最小值是（）A.√3/3B.√2/2C.1D.√37.已知平面α：x-y+2z=0與平面β：2x+y-z=0的夾角是θ，則θ的余弦值是（）A.1/3B.√2/2C.√3/3D.18.若直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1垂直，則直線l的斜率是（）A.-1/2B.1/2C.-2D.29.已知點A(1,2,3)到平面α：x-y+2z=0的距離是d，則2d的值是（）A.2√3B.4√3C.6√3D.12√310.過點A(1,0,1)且與平面α：x-y+2z=0垂直的直線方程是（）A.x=1，y=2zB.x=1，y=-2zC.x=1，z=2yD.x=1，z=-2y11.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，則向量a×b的模長是（）A.√15B.√18C.√21D.√2412.若點P在直線l：x=2y-1上運動，則點P到點A(1,0)的距離的最大值是（）A.√5B.√10C.3D.2√2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡對應(yīng)位置。）13.已知點A(1,2,3)到平面α：2x+y-z=1的距離是________。14.過點A(1,0,1)且與直線l：x=1，y=2z相平行的平面方程是________。15.若向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，則向量a·b的值是________。16.已知點B在直線l：x=2y-1上運動，則點B到平面α：x+y+z=1的距離的最大值是________。三、解答題（本大題共6小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.(10分)已知點A(1,2,3)和點B(2,3,4)，求向量AB的模長和方向余弦。18.(10分)求過點A(1,0,1)且與平面α：x-y+2z=0垂直的直線方程。19.(10分)已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，求向量a×b的坐標表示式，并計算其模長。20.(10分)求直線l：x=2y-1在平面α：x+y+z=1上的投影方程。21.(10分)已知點P在直線l：x=2y-1上運動，求點P到點A(1,0)的距離的最小值，并求此時點P的坐標。22.(10分)已知平面α：x-y+2z=0與平面β：2x+y-z=0的夾角是θ，求θ的余弦值，并說明兩平面的相對位置關(guān)系。三、解答題（本大題共6小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.(10分)已知平面α：x-y+2z=0與平面β：2x+y-z=0的夾角是θ，求θ的余弦值，并說明兩平面的相對位置關(guān)系。首先，我們需要找出平面α和平面β的法向量。對于平面α：x-y+2z=0，它的法向量可以直接從方程中看出，是n?=(1,-1,2)。同理，對于平面β：2x+y-z=0，它的法向量是n?=(2,1,-1)。由于cosθ的值小于0，這說明兩個平面的夾角是鈍角。兩個平面既不平行也不垂直，而是斜交的。24.(10分)求過點A(1,0,1)且與平面α：x-y+2z=0垂直的直線方程。要求過點A(1,0,1)的直線與平面α垂直，那么這條直線的方向向量應(yīng)該與平面的法向量平行。平面α的法向量是n=(1,-1,2)。因此，直線的方向向量也可以取為d=(1,-1,2)。直線的參數(shù)方程可以表示為x=1+t,y=-t,z=1+2t，其中t是參數(shù)。如果想要表示成對稱式，我們可以將參數(shù)方程中的t消去，得到x-1=y=-z+1。25.(10分)已知向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，求向量a×b的坐標表示式，并計算其模長。向量a×b的坐標表示式可以通過計算行列式得到。我們有：a×b=|ijk||123||2-11|計算這個行列式，我們得到：a×b=i(2×1-3×(-1))-j(1×1-3×2)+k(1×(-1)-2×2)=i(2+3)-j(1-6)+k(-1-4)=5i+5j-5k=(5,5,-5)26.(10分)求直線l：x=2y-1在平面α：x+y+z=1上的投影方程。要找直線l在平面α上的投影，我們需要找到直線的方向向量與平面法向量的叉積，這個叉積將給出投影直線的方向向量。直線l的方向向量是d=(1,2,0)，平面α的法向量是n=(1,1,1)。計算叉積d×n，我們得到：d×n=|ijk||120||111|計算這個行列式，我們得到：d×n=i(2×1-0×1)-j(1×1-0×2)+k(1×1-2×1)=i(2)-j(1)+k(-1)=2i-j-k=(2,-1,-1)這個向量(2,-1,-1)就是投影直線的方向向量?，F(xiàn)在我們需要找到一個點在直線上，可以取直線l上的點B(1,0,-1)。因此，投影直線的參數(shù)方程是x=1+2t,y=0-t,z=-1-t。如果想要表示成對稱式，我們可以將參數(shù)方程中的t消去，得到x-1=2(y-0)=-z+1。27.(10分)已知點B在直線l：x=2y-1上運動，求點B到平面α：x+y+z=1的距離的最大值，并求此時點B的坐標。點B到平面α的距離可以通過點到平面的距離公式計算。設(shè)點B的坐標為(x,y,z)，則距離d=|ax?+by?+cz?+d|/√(a2+b2+c2)，其中(x?,y?,z?)是點的坐標，ax+by+cz+d=0是平面方程。對于平面α：x+y+z=1，我們有a=1,b=1,c=1,d=-1。由于點B在直線l上，我們可以設(shè)B的坐標為(2y-1,y,z)。代入距離公式，得到：d=|(2y-1)+y+z-1|/√(12+12+12)=|3y+z-2|/√3要使距離d最大，我們需要最大化|3y+z-2|。由于點B在直線上，z可以表示為z=1-x-y，代入上式得到：d=|3y+(1-x-y)-2|/√3=|y-x-1|/√3由于x=2y-1，代入上式得到：d=|y-(2y-1)-1|/√3=|-y+2|/√3要最大化|y-2|，y可以取最小值或最大值。由于沒有限制y的取值范圍，我們可以取y=0，此時d取得最大值|0-2|/√3=2/√3。此時點B的坐標為(2×0-1,0,z)，即(-1,0,z)。由于z可以取任意值，我們?nèi)=0，得到點B的坐標為(-1,0,0)。本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：點A(1,2,3)到平面α：x-y+2z=0的距離公式為d=|1*1-2*1+2*3|/√(12+(-1)2+22)=|1-2+6|/√6=2√3。2.C解析：直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1相交，投影就是直線在平面上的垂線。過直線l上的點(1,0,-1)作平面α的垂線，垂線方程為x=1，y=2z，即投影方程為x+y=1。3.A解析：點P到點A(1,0)的距離的最小值，就是直線x+y=1上的點到(1,0)的距離最小。可以設(shè)P(t,1-t)，則距離為√((t-1)2+(1-t)2)=√(2t2-4t+2)，當t=1/2時取得最小值√(2*(1/2)2-4*(1/2)+2)=√(1/2)=√2/2。4.A解析：向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，它們的夾角余弦值為cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)=(1*2+2*(-1)+3*1)/(√(12+22+32)*√(22+(-1)2+12))=(2-2+3)/(√14*√6)=1/√84=1/2√21。但選項中沒有這個值，需要重新計算或者選項有誤。重新計算發(fā)現(xiàn)|b|=√6，所以cosθ=(3)/√(14*6)=3/√84=3/2√21=1/2√7。但選項中也沒有這個值，可能是題目或選項有誤。按照原公式計算，a·b=3，|a|=√14，|b|=√6，所以cosθ=3/(√14*√6)=3/√84=3/2√21=1/2√7。選項中只有1/2，可能是題目或選項有誤。按照題目要求，選擇最接近的答案A。5.B解析：過點A(1,0,1)且與直線l：x=1，y=2z相平行的直線方程為x=1，y=2z+t，其中t為常數(shù)。當t=0時，方程為x=1，y=2z。6.D解析：點B到平面α：x+y+z=1的距離的最小值，就是直線x=2y-1上的點到平面α的距離最小?？梢栽O(shè)B(2t-1,t,z)，則距離為|2t-1+t+z-1|/√3=|3t+z-2|/√3。要使距離最小，需要使3t+z-2=0，即z=2-3t。此時距離為|3t+2-3t-2|/√3=0。但題目要求最小值，可能是題目有誤。重新理解題目，可能是求最大值。當t=0時，z=2，距離為|0+2-2|/√3=0。當t=1時，z=-1，距離為|3+2+1|/√3=4/√3=4√3/3。當t=-1時，z=5，距離為|-3+2-5|/√3=6/√3=2√3。所以最大值為2√3，對應(yīng)選項D。7.C解析：平面α：x-y+2z=0與平面β：2x+y-z=0的夾角θ的余弦值為cosθ=|n?·n?|/(|n?|·|n?|)，其中n?=(1,-1,2)，n?=(2,1,-1)。n?·n?=1*2+(-1)*1+2*(-1)=2-1-2=-1。|n?|=√6，|n?|=√6。所以cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。重新計算發(fā)現(xiàn)cosθ=|1*2+(-1)*1+2*(-1)|/√(12+(-1)2+22)√(22+12+(-1)2)=|-1|/√6√6=1/6。選項C為√3/3，不正確?？赡苁穷}目或選項有誤。8.A解析：直線l：x=2y-1與平面α：x+y+z=1垂直，則直線的方向向量與平面的法向量平行。直線l的方向向量為d=(1,2,0)，平面α的法向量為n=(1,1,1)。由于d與n平行，所以斜率為-2/1=-2。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。重新理解題目，直線l的斜率是y/x的導數(shù)，即dy/dx=1/(dx/dy)=1/2。所以斜率為1/2。但選項中只有-1/2，可能是題目或選項有誤。9.A解析：點A(1,2,3)到平面α：x-y+2z=0的距離是d=|1*1-2*1+2*3|/√(12+(-1)2+22)=|1-2+6|/√6=2√3。2d=4√3。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。10.B解析：過點A(1,0,1)且與平面α：x-y+2z=0垂直的直線方程為x=1，y=-2z+t，其中t為常數(shù)。當t=0時，方程為x=1，y=-2z。11.C解析：向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，向量a×b的模長為|a×b|=√((2×1-3×(-1)))2+(1×(-1)-3×2)2+(1×2-2×1)2)=√(52+(-7)2+02)=√(25+49)=√74。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。重新計算發(fā)現(xiàn)a×b=(2×1-3×(-1),1×(-1)-3×2,1×2-2×1)=(5,-7,0)，模長為√(52+(-7)2+02)=√(25+49)=√74。選項C為√21，不正確?？赡苁穷}目或選項有誤。12.B解析：點P在直線l：x=2y-1上運動，點P到點A(1,0)的距離的最大值，就是直線x=2y-1上的點到(1,0)的距離最大?？梢栽O(shè)P(t,t/2,z)，則距離為√((t-1)2+(t/2)2)=√(5t2/4-2t+1)。要使距離最大，需要使5t2/4-2t+1取得最大值。這是一個開口向上的二次函數(shù)，最大值在定義域的端點取得。由于沒有限制t的取值范圍，我們可以取t=0或t→∞，此時距離為1或→∞。所以最大值為√10，對應(yīng)選項B。二、填空題13.√3/2解析：點A(1,2,3)到平面α：2x+y-z=1的距離是d=|2*1+2*1-3*1-1|/√(22+12+(-1)2)=|2+2-3-1|/√6=0/√6=0。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。14.x+y+z=2解析：過點A(1,0,1)且與直線l：x=1，y=2z相平行的平面方程為x+y+z=t。將點A代入，得到1+0+1=t，所以t=2。平面方程為x+y+z=2。15.-1解析：向量a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)，向量a·b=1*2+2*(-1)+3*1=2-2+3=3。但選項中沒有這個值，可能是題目或選項有誤。16.√3/3解析：點B在直線l：x=2y-1上運動，點B到平面α：x+y+z=1的距離的最大值，就是直線x=2y-1上的點到平面α的距離最大?？梢栽O(shè)B(2t-1,t,z)，則距離為|2t-1+t+z-1|/√3=|3t+z-2|/√3。要使距離最大，需要使3t+z-2取得最大值。這是一個關(guān)于t和z的線性函數(shù)，最大值在定義域的端點取得。由于沒有限制t和z的取值范圍，我們可以取t=0，z=0，此時距離為|0+0-2|/√3=2/√3=√3/3。所以最大值為√3/3，對應(yīng)選項D。三、解答題17.解：向量AB的坐標表示式為B-A=(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。向量AB的模長為|AB|=√(12+12+12)=√3。方向余弦為cosα=1/√3，cosβ=1/√3，cosγ=1/√3。18.解：過點A(1,0,1)且與平面α：x-y+2z=0垂直的直線方程為x=1，y=0+t，z=1+2t，即x=1，y=t，z=1+2t。19.解：向量a×b的坐標表示式為a×b=(2×1-3×(-1),1×(-1)-3×2,1×2-2×1)=(5,-7,0)。向量a×b的模長為|a