2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破綜合題試題）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，5），點(diǎn)C（3，3，2），則△ABC的面積是（）A.3√2B.4√2C.5√2D.6√22.若直線l：x=1與平面α：ax+by+cz=1垂直，則a，b，c滿足的關(guān)系是（）A.a=1，b=0，c=0B.a=0，b=1，c=0C.a=0，b=0，c=1D.a=1，b=1，c=13.已知直線l1：x-y+1=0和直線l2：2x+y-3=0，則這兩條直線的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線與圓x2+y2=5相切，則該直線的方程是（）A.y=2B.x=1C.y=x+1D.y=-x+35.若向量a=(1，2，3)，向量b=(2，3，1)，則向量a與向量b的夾角余弦值是（）A.1/2B.1/3C.2/3D.3/46.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則該正方體的外接球的體積是（）A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/37.若直線l：y=kx+1與圓x2+y2=1相交于兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.(-∞，-1)∪(1，+∞)B.(-1，1)C.(-∞，-√2)∪(√2，+∞)D.(-√2，√2)8.已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)C（1，1），則△ABC的外接圓方程是（）A.x2+y2=1B.x2+y2-2x-2y+1=0C.x2+y2-x-y=0D.x2+y2+2x+2y-3=09.若直線l：y=kx+1與橢圓x2/4+y2/9=1相切，則k的值是（）A.±3/2B.±2/3C.±√2D.±√3/310.已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（2，1），則向量AB與向量AC的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)位置。）11.若直線l：y=kx+1與圓x2+y2=1相切，則k的值是________。12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則該正方體的體積是________。13.若向量a=(1，2，3)，向量b=(2，3，1)，則向量a與向量b的夾角正弦值是________。14.過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線與圓x2+y2=5相切，則該直線的斜率是________。15.若直線l：y=kx+1與橢圓x2/4+y2/9=1相切，則k2的值是________。（接下來(lái)的題目請(qǐng)繼續(xù)按照這個(gè)格式和風(fēng)格進(jìn)行編寫(xiě)，確保每道題都有詳細(xì)的解答步驟和說(shuō)明，并且涵蓋到所有知識(shí)點(diǎn)。）三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角B-PAC的余弦值。17.已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，其右焦點(diǎn)F恰在直線l：x-y-1=0上。（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|FM|=|FN|，求直線MN的方程。18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=3，b=√7，c=2，求角B的度數(shù)及△ABC的面積。19.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意x?，x?∈（-1，2），都有|f(x?)-f(x?)|<4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。20.如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面△ABC的邊長(zhǎng)AB=AC=1，∠BAC=60°，AA?=2，點(diǎn)D是棱A?B的中點(diǎn)。（1）求證：BD⊥AC；（2）求二面角A-CC?-A?的余弦值。四、解答題（本大題共5小題，每小題12分，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PD⊥AC，且PA=PD=√2。（1）求證：BC⊥平面PAC；（2）求二面角P-AC-D的余弦值。22.已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/3，其短軸長(zhǎng)為2，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（√3，1）。（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=2√3，求直線MN的方程。23.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=2，b=√7，c=3，求△ABC的面積及角B的余弦值。24.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的極值；（2）若對(duì)于任意x∈[-1，3]，都有f(x)≥m2-x2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。25.如圖，在直四棱柱ABCDA?B?C?D?中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AA?=2，點(diǎn)E是棱B?C?的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD的中點(diǎn)。（1）求證：平面A?DE⊥平面BCC?B?；（2）求三棱錐E-A?DF的體積。五、解答題（本大題共1小題，共15分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）26.如圖，在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，且PA=AB=1。（1）求證：PC⊥BC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值；（3）求五棱錐P-ABCDE的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M（1.5，1.5，4）。向量AB（1，-1，2），向量BC（1，2，-3）。向量AB×向量BC=（-7，-5，-3）。三角形面積S=1/2|向量AB×向量BC|=1/2√（49+25+9）=√2。所以△ABC面積是4√2。2.C解析：直線x=1垂直平面ax+by+cz=1，說(shuō)明平面法向量（a，b，c）與向量（1，0，0）平行。所以a=0，b和c可以為任意值。3.B解析：直線l1方向向量（1，-1），直線l2方向向量（-2，1），兩向量平行，夾角為0°或180°。但l1不過(guò)l2，所以?shī)A角為90°。不對(duì)，重新算。方向向量（1，-1）和（-2，1）是相反的，夾角是180°。哦不對(duì)，是45°。因?yàn)椋?，-1）和（-2，1）是共線的，方向相同或相反。實(shí)際夾角是cosθ=(1*(-2)+(-1)*1)/√(1^2+(-1)^2)√((-2)^2+1^2)=-3/√2√5=-3√10/10。cosθ≠0，所以不是90°。重新算夾角。θ=arccos(-3√10/10)。不對(duì)，方向向量（1，-1）和（-2，1）是相反的，夾角是180°。題目說(shuō)夾角是45°，這是錯(cuò)的?？赡苁穷}目給錯(cuò)了直線方程。4.A解析：圓心（0，0），半徑√5。直線y=2過(guò)（1，2），且斜率為0，與圓相切。5.A解析：向量a·向量b=1*2+2*3+3*1=11。|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14。|b|=√(2^2+3^2+1^2)=√14。cos<0xE2><0x82><0x90><0xE2><0x82><0x99>=11/(√14*√14)=1/2。6.B解析：正方體外接球半徑R=√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3。體積V=4/3πR^3=4/3π(2√3)^3=32√3π/3。7.D解析：圓心（0，0），半徑1。直線y=kx+1到圓心距離d=|1|/√(k^2+1)=1。解得k=±√2。8.B解析：圓心（1/2，1/2），半徑√(1^2+0^2-1)=√2。方程為(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2，化簡(jiǎn)得x^2+y^2-2x-2y+1=0。9.B解析：聯(lián)立y=kx+1和x^2/4+y^2/9=1，得x^2/4+(kx+1)^2/9=1。化簡(jiǎn)得(9+4k^2)x^2+8kx-27=0。判別式Δ=64k^2+4(9+4k^2)*27=0。解得k=±2/3。10.C解析：向量AB（2，-2），向量AC（1，-1）。向量AB·向量AC=2*(-1)+(-2)*(-1)=-2+2=0。所以AB⊥AC，夾角60°。11.±√2解析：同第7題解析。12.2^3=8解析：正方體體積邊長(zhǎng)三次方。13.√3/√14解析：sin<0xE2><0x82><0x90><0xE2><0x82><0x99>=|a×b|/|a||b|=|（1，2，3）×（2，3，1）|=|（-5，-5，-1）|/√14=√(25+25+1)/√14=√51/√14=√3/√14。14.-3/4解析：同第9題解析。15.8/9解析：同第9題解析，k2=4/9。二、填空題答案及解析11.±√2解析：同第7題解析。12.8解析：同第12題解析。13.√3/√14解析：同第13題解析。14.-3/4解析：同第14題解析。15.8/9解析：同第15題解析。三、解答題答案及解析16.（1）證明：AC⊥BD（矩形對(duì)角線垂直）。AC⊥BD，AC⊥PA（三垂線定理），AC⊥平面PBD。AE在平面ABE，所以AC⊥BE。AE在平面PAC，所以AC⊥PC。AC⊥平面ABE。（2）解：過(guò)B作BO⊥PC于O，BO在平面PAC。作OH⊥AC于H，OH在平面ABE。連接BH?！螧HO就是二面角B-PAC的平面角。cos∠BHO=OH/BH。AC=2√2，AH=√2。BH=√(AB^2-AH^2)=√(1^2-(√2)^2/4)=√(4-2)/2=√2/2。OH=√(BH^2-AH^2)=√((√2/2)^2-(√2)^2/4)=√(1/2-1/4)=√(1/4)=1/2。cos∠BHO=(1/2)/(√2/2)=1/√2=√2/2。二面角B-PAC的余弦值是√2/2。17.（1）解：e=c/a=√2/2，a=2c。F（1，0），c=1，a=2。b^2=a^2-c^2=4-1=3。橢圓方程x^2/4+y^2/3=1。（2）解：F（1，0）。直線MN過(guò)F，設(shè)方程y=k(x-1)。聯(lián)立x^2/4+y^2/3=1，得x^2/4+(k(x-1))^2/3=1。化簡(jiǎn)得(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0。x?+x?=8k^2/(3+4k^2)，x?x?=(4k^2-12)/(3+4k^2)。|FM|=|FN|，向量FM=(x?-1，k(x?-1))，向量FN=(x?-1，k(x?-1))。FM·FN=0?；?jiǎn)得(x?-1)(x?-1)+k^2(x?-1)(x?-1)=0。x?x?-(x?+x?)+1+k^2(x?x?-x?-x?+1)=0。((4k^2-12)/(3+4k^2))-(8k^2/(3+4k^2))+1+k^2(((4k^2-12)/(3+4k^2))-(8k^2/(3+4k^2))+1)=0?；?jiǎn)得(4k^2-12-8k^2+3+4k^2)+(3+4k^2)k^2=0。(-k^2-9)+(3+4k^2)k^2=0。k^2(3+4k^2)-k^2-9=0。3k^4+12k^2-k^2-9=0。3k^4+11k^2-9=0。解得k^2=1/3，k=±√3/3。直線MN方程y=±√3/3(x-1)。18.解：余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+2^2-√7^2)/(2*3*2)=(9+4-7)/(12)=6/12=1/2。B=60°。面積S=1/2acsinB=1/2*3*2*sin60°=3√3/2。19.（1）解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。f'(x)>0，x>2或x<0。f'(x)<0，0<x<2。單調(diào)增區(qū)間（-∞，0），（2，+∞）。單調(diào)減區(qū)間（0，2）。（2）解：最大值f(2)=-2，最小值f(0)=2。區(qū)間[-1，2]上最大值是max{f(-1)，f(2)}=max{-4，-2}=max{-4，-2}=-2。最小值是min{f(-1)，f(0)}=min{-4，2}=-4。區(qū)間長(zhǎng)度是2-(-1)=3。最大值減最小值是-2-(-4)=2。對(duì)于任意x?，x?∈（-1，2），都有|f(x?)-f(x?)|<4。所以2<4，成立。所以m的取值范圍是整個(gè)實(shí)數(shù)集R。20.（1）證明：AC=√(AB^2-AH^2)=√(1^2-(√3/2)^2)=√(1-3/4)=√1/4=1/2。BC=1。BD=√(B?B^2+B^2D^2)=√(1^2+(√3/2)^2)=√(1+3/4)=√7/2。在△BCD中，BC^2+CD^2=(1^2+(√3/2)^2)=(1+3/4)=7/4。BD^2=7/4。所以BC^2+CD^2=BD^2?！鰾CD是直角三角形，∠BCD=90°。AC⊥BD（三垂線定理），AC⊥平面A?BCC?。CC?⊥平面A?BCC?。AC⊥CC?。AC⊥平面BCC?B?。BD在平面BCC?B?。所以BD⊥AC。（2）解：過(guò)A作AO⊥CC?于O，AO在平面PAC。作OH⊥AC于H，OH在平面ABE。連接AH。∠AHO就是二面角A-CC?-A?的平面角。cos∠AHO=OH/AH。AC=1/2，AH=√3/4。CH=1/4。OH=√(AH^2-CH^2)=√((√3/4)^2-(1/4)^2)=√(3/16-1/16)=√2/4。cos∠AHO=(√2/4)/(√3/4)=√2/√3=√6/3。二面角A-CC?-A?的余弦值是√6/3。21.（1）證明：AC^2=AB^2+BC^2=4+4=8。PD^2=AC^2+CD^2=8+4=12。PD^2=PA^2+AD^2=2+4=6。PD^2≠PA^2+AD^2，所以PD⊥AC不成立。應(yīng)該是BC⊥PAC。BC⊥AC（正方形對(duì)角線垂直）。BC⊥AC，PA⊥平面ABCD，BC在平面ABCD，所以BC⊥PA。BC⊥PA，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC。AC在平面PAC，所以BC⊥AC。BC⊥PC（AC⊥平面PBC，BC在平面PBC）。（2）解：過(guò)D作DO⊥AC于O，DO在平面PAC。作DH⊥PC于H，DH在平面PAC?！螪HO就是二面角P-AC-D的平面角。cos∠DHO=OH/DH。AC=2√2，AO=AH=√2。PC=2√3，CH=√(PC^2-AH^2)=√(12-2)=√10。DH=CH=√10。OH=√(AH^2-CH^2)=√(2-(√10)^2/4)=√(8-5√10/2)。cos∠DHO=(√(8-5√10/2))/(√10)。二面角P-AC-D的余弦值是(√(8-5√10/2))/(√10)。22.（1）解：e=c/a=√3/3，a=2，c=2√3/3。b^2=a^2-c^2=4-(8/3)=4/3。橢圓方程x^2/4+y^2/(4/3)=1。（2）解：F（0，2）。直線MN過(guò)（0，2），設(shè)方程y=kx+2。聯(lián)立x^2/4+y^2/(4/3)=1，得x^2/4+(kx+2)^2/(4/3)=1。化簡(jiǎn)得(3+4k^2)x^2+16kx+16-12=0。3+4k^2)x^2+16kx+4=0。Δ=256k^2-4(3+4k^2)4=256k^2-48-64k^2=192k^2-48。Δ>0，192k^2>48，k^2>1/4，|k|>1/2。x?+x?=-16k/(3+4k^2)，x?x?=4/(3+4k^2)。|MN|=√(1+k^2)|x?-x?|=√(1+k^2)√((x?+x?)^2-4x?x?)=√(1+k^2)√((-16k/(3+4k^2))^2-4(4/(3+4k^2)))=√(1+k^2)√(256k^2/(3+4k^2)^2-16/(3+4k^2))=√(1+k^2)√((256k^2-16(3+4k^2))/(3+4k^2)^2)=√(1+k^2)√((256k^2-48-64k^2)/(3+4k^2)^2)=√(1+k^2)√((192k^2-48)/(3+4k^2)^2)=√(48(4k^2-1)/(3+4k^2)^2)=4√3√(4k^2-1)/(3+4k^2)。|MN|=2√3。4√3√(4k^2-1)/(3+4k^2)=2√3。4√(4k^2-1)/(3+4k^2)=2。2√(4k^2-1)=3+4k^2。4k^4-4k^2=9+12k^2+16k^4。12k^4+16k^2+9=0。解得k^2=-3/2或-3/10。無(wú)解。k無(wú)解。所以不存在滿足條件的直線MN。23.解：余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+3^2-√7^2)/(2*2*3)=(4+9-7)/(12)=6/12=1/2。B=60°。面積S=1/2acsinB=1/2*2*3*sin60°=3√3/2。余弦定理cosB=(2^2+3^2-√7^2)/(2*2*3)=6/12=1/2。不對(duì)，cosB=(4+9-7)/(12)=6/12=1/2。B=60°。面積S=1/2*2*3*sin60°=3√3/2。24.（1）解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1。f'(x)=0，x=1±√(1/3)。f(1-√1/3)=1-(1-√1/3)^3+2(1-√1/3)+1=1-1+3√1/3-3(1/3)+2-2√1/3+1=3√1/3-1+3-2√1/3=2√1/3+2。f(1+√1/3)=1-(1+√1/3)^3+2(1+√1/3)+1=1-1-3√1/3-3(1/3)+2+2√1/3+1=-2√1/3+2。極大值是2，極小值是-2√1/3+2。（2）解：對(duì)于任意x∈[-1，3]，都有f(x)≥m2-x2。g(x)=f(x)+x2=x3-3x2+2x+1+x2=x3-2x2+2x+1。g'(x)=3x^2-4x+2=3(x^2-4x/3)+2=3(x-2/3)^2-2/3+2=3(x-2/3)^2+4/3。g'(x)≥4/3>0。g(x)在[-1，3]單調(diào)增。g(3)=27-18+6+1=16。g(-1)=-1-6-2+1=-8。g(x)min=g(-1)=-8。所以-8≥m2。m2≤-8。無(wú)解。所以不存在實(shí)數(shù)m滿足條件。25.（1）證明：底面ABCD是矩形，AC⊥BD。AA?=2，AD=1，AB=2。AE在平面A?DE。作AH⊥CD于H，AH在平面A?DE。AE⊥AH。AE在平面A?DE，AH在平面A?DE，所以AE⊥CD