【02-暑假預習】專題05用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（4知識點+五大題型+思維導圖+過關(guān)檢測）（學生版）-2025年新高二數(shù)學暑假銜接講練(人教A版)專題05用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：5大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01：用向量表示點、直線、平面的位置1、用向量表示點的位置：在空間中,我們?nèi)∫欢c作為基點,那么空間中任意一點就可以用向量表示.我們把向量稱為點的位置向量.如圖.2、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使得，即3、空間直線的向量表示式如圖②,取定空間中的任意一點,可以得到點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①或②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.4、用向量表示空間平面的位置如圖（1），設(shè)兩條直線相交于點，它們的方向向量分別為和，為平面內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得．這樣，點與向量和不僅可以確定平面，還可以具體表示出內(nèi)的任意一點．進一步地，如圖（2），取定空間任意一點，可以得到，空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)，使（*）.我們把（*）式稱為空間平面的向量表示式．知識點02：平面的法向量1、平面法向量的定義如圖，若直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量；過點A且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．2、平面法向量的性質(zhì)（1）平面的一個法向量垂直于平面內(nèi)的所有向量；（2）一個平面的法向量有無限多個，它們互相平行．3、求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:（1）設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為（2）選向量：選取兩不共線向量（3）列方程組：由列出方程組（4）解方程組：解方程組（5）賦非零值：取其中一個為非零值（常取)（6）得結(jié)論：得到平面的一個法向量.知識點03：空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??知識點04：空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???【題型01：空間中直線的方向向量】一、單選題1．（24-25高二上·內(nèi)蒙古通遼·期末）已知向量都是直線l的方向向量，則x的值是（

）A．或1 B． C． D．12．（24-25高二上·湖南·月考）在空間直角坐標系中，直線過點且以為方向向量，為直線上的任意一點，則點的坐標滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山西·月考）已知直線l的一個方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點，則（

）A． B． C．1 D．2二、填空題4．（24-25高二上·四川成都·期中）經(jīng)過點，點的直線的一個方向向量是.【題型02：平面的法向量及其求法】一、單選題1．（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知，，，則下列向量是平面法向量的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·河北石家莊·期末）已知平面，其中點，平面的法向量，則下列各點中在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·上?！て谥校┰诳臻g直角坐標系中，已知點，則下列向量可以作為平面的一個法向量的是（

）．A． B． C． D．二、填空題4．（24-25高二上·北京房山·期末）在空間直角坐標系中，已知點、、，若點在平面內(nèi)，則一個符合題意的點的坐標為．三、解答題5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，，，，試求直線的一個方向向量和平面的一個法向量.6．（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點，F(xiàn)是的中點，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面的一個法向量.

【題型03：利用空間向量解決平行問題】一、單選題1．（24-25高二上·重慶銅梁·月考）直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若平面，則（

）A． B．5 C． D．12．（24-25高二上·貴州銅仁·期末）已知，分別是平面，的法向量，且，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知為平面的一個法向量，為直線l的一個方向向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、解答題4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，為矩形，平面，，，，分別是，，的中點．求證：(1)平面；(2)平面平面．5．（2024高二上·全國·專題練習）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點分別為和的中點，求證：平面.6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．試用向量的方法證明：平面平面．

【題型04：利用空間向量解決垂直問題】一、單選題1．（24-25高二上·吉林長春·期末）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則（

）A． B． C． D．l與斜交2．（24-25高二上·北京·月考）已知，分別是平面，的法向量，且，則t的值為（

）A．1 B．2 C． D．3．（24-25高二上·江蘇無錫·期中）已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024高二·全國·專題練習）已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），有下列說法：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、解答題5．（23-24高二上·廣東廣州·月考）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)求證：；(2)求證：平面6．（24-25高二·上?！るS堂練習）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為的中點，為中點．求證：平面．7．（24-25高二上·山東菏澤·月考）如圖所示，是一個正三角形，平面，，且．(1)求平面的法向量(2)求證：平面平面．【題型05：利用空間向量解決平行、垂直問題中的探索性問題】一、解答題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體中，若分別為棱和上任意一點（不與端點重合），是否存在使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.2．（24-25高二上·廣東佛山·月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱上一點．請用向量方法解決以下問題：(1)證明：直線平面；(2)是否存在點，使直線平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．3．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱錐中，平面平面，，，，，，.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4．（2024高二·全國·專題練習）如圖，直三棱柱中，，，M為棱AB的中點，是的中點.(1)證明：平面；(2)棱AC上是否存在點，使得點在平面內(nèi)？若存在，求的值；若不存在，說明理由.5．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，點分別為邊的中點，將沿折起，使得平面平面.

(1)求證：；(2)在平面內(nèi)是否存在點，使得平面平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.6．（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點，求證：；(2)設(shè)，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在棱長為1的正方體中，為平面的中心，為的中點.以為原點，以為空間的一個單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則直線的一個方向向量（

）

A． B． C． D．2．（23-24高二上·貴州貴陽·期中）已知是直線的方向向量，是平面的法向量.若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線的方向向量為，，平面的法向量分別為，則下列選項正確的是（

）A．若∥，則 B．若∥β，則C．若⊥，則 D．若∥β，則4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知在直三棱柱中，，，則平面的一個單位法向量（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標系中，若平面經(jīng)過點，且是平面的一個法向量.若點為平面內(nèi)的一點，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·山東·月考）已知直線的一個方向向量，直線的一個方向向量，若，且，則（

）A．或 B．或 C． D．7．（24-25高二上·廣東茂名·期中）在長方體中，，，，在上．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．若平面的一個法向量為，則（

）

A． B． C． D．18．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空間中的一個單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算：，其中行列式計算表示為，所得向量垂直于向量，所確定的平面.利用向量積可以計算由兩個不共線向量確定的平面的法向量.若向量，，則平面的法向量為（

）A． B． C． D．9．（24-25高二上·山東·期中）在空間直角坐標系中，已知，，，，，若線段與平面交于點，則（

）A． B． C． D．二、多選題10．（24-25高二上·貴州貴陽·月考）已知m，n是兩條不同直線，方向向量分別是，；，，是三個不同平面，法向量分別是，，，下列命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）平面α經(jīng)過三點，，，向量是平面α的法向量，則下列四個選項中正確的是（

）A．直線AB的一個方向向量為B．線段AB的長度為3C．平面α的法向量中D．向量與向量夾角的余弦值為12．（24-25高二上·安徽安慶·月考）如圖，在正方體中，當點在線段上運動時，下列結(jié)論正確的是（

）．

A．與不可能平行 B．與始終異面C．與平面可能垂直 D．與始終垂直三、解答題13．（24-25高二上·福建廈門·期中）如圖，在正方體中，棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是的中點．

(1)求證：：(2)求證：平面.14．（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）在正方體中，分別是的中點，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求證：平面平面.15．（24-25高二上·四川綿陽·月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點．求證：(1)∥平面；(2)平面平面．16．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，，是的中點，作交于點，且．求證：平面；

17．（2024高二·全國·專題練習）如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，E，F(xiàn)分別為，的中點．

(1)證明：；(2)若點M是線段上的點，且，判斷點M是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；18．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·月考）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，為的中點.在上是否存在一點，使得平面？若不存在，說明理由；若存在，確定點的位置.19．（23-24高二上·四川雅安·期中）如圖，在正方體中，分別是的中點．(1)用空間向量法證明：平面；(2)在直線上是