【02-暑假預(yù)習(xí)】第08講基本不等式含答案-2025年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)第08講基本不等式內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1基本不等式1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中稱(chēng)為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).知識(shí)點(diǎn)3利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大).注意：1.≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).知識(shí)點(diǎn)4基本不等式的拓展三元基本不等式：（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。多元基本不等式：（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。教材習(xí)題01設(shè)，，求證下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解題方法（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以，命題得證.（2）要證明，只用證明，只用證明，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以成立，則成立，命題得證.（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，命題得證.（4）因?yàn)?，，所以要證，只用證，只用證，根據(jù)基本不等式可知顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以成立，命題得證.【答案】證明見(jiàn)解析教材習(xí)題02（1）把64寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何值時(shí)，它們的和最??？（2）把24寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何值時(shí)，它們的積最大？解題方法（1）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取到，即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的和最小，最小為.（2）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取到，即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的積最大，最大為.【答案】（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的和最小；（2）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的積最大教材習(xí)題03某罐裝飲料廠為降低成本要將制罐材料減小到最少．假設(shè)罐裝飲料筒為圓柱體，上、下底半徑均為r，高為h，體積為定值V，上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍．試問(wèn)：當(dāng)r與h之比是多少時(shí)，用料最少？（可以到市場(chǎng)上進(jìn)行調(diào)查，看看哪些罐裝飲料大體上符合你的計(jì)算結(jié)果）解題方法圓柱底面積為，則．上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍，設(shè)側(cè)面厚度為1個(gè)單位，則上、下底厚度為2個(gè)單位，則所用材料的量值為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)，解得．故.【答案】考點(diǎn)一利用基本不等式比較大小1．已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定2．已知，，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．（多選題）3．已知，下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．（多選題）4．已知a，，，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二由基本不等式證明不等關(guān)系1．已知．(1)若，證明：；(2)若，證明：；(3)若，證明．2．（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）若，，證明:.3．（1）已知，，，求證：．（2）已知，，，，求證：．4．已知，都是正數(shù)，求證：.5．（1）若，，，都是正數(shù)，求證：；（2）若，，都是正數(shù)，求證：.考點(diǎn)三最值定理（多選題）1．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為2．已知，且，則的最小值為．3．若，則的最小值是.4．（1）已知正數(shù)a，b滿足，求的最大值；（2）已知，，求的取值范圍．5．（1）已知，求的最大值；（2）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的最大值.考點(diǎn)四基本不等式的恒成立問(wèn)題1．對(duì)一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個(gè)答案都不對(duì)2．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或4．已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為.5．已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)五基本（均值）不等式的應(yīng)用1．一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以的速度勻速直達(dá)B市．已知兩地鐵路線長(zhǎng)，為了安全，兩列貨車(chē)的間距不得小于（貨車(chē)長(zhǎng)度忽略不計(jì)），那么這批貨物全部運(yùn)到B市最快需要（

）A．2小時(shí) B．4小時(shí) C．6小時(shí) D．8小時(shí)2．港珠澳大橋通車(chē)后，經(jīng)常往來(lái)于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案是每次均加30升的燃油，第二種方案是每次加200元的燃油，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．采用第一種方案更劃算 B．采用第二種方案更劃算C．兩種方案一樣劃算 D．無(wú)法確定采用哪種方案更劃算3．一家商店用一架兩邊臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金，一位顧客要購(gòu)買(mǎi)黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤(pán)，將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客；再將的砝碼放入右盤(pán)，將另一黃金放于左盤(pán)使之平衡后交給顧客，則商店在銷(xiāo)售后（

）A．黃金少給了 B．黃金剛好C．黃金多給了 D．與砝碼放置順序有關(guān)4．如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場(chǎng)（陰影部分），則健身廣場(chǎng)的最大面積為．5．海倫公式亦叫海倫——秦九韶公式．它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，表達(dá)式為，其中a，b，c分別是三角形的三邊長(zhǎng)，．已知一根長(zhǎng)為8的木棍，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為2，則該三角形面積的最大值為．考點(diǎn)六“1”的妙用1．已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．272．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．（多選題）3．已知，且，則（

）A． B．C． D．4．已知，且，則的最小值是.知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．基本不等式2．兩個(gè)重要的不等式3．利用基本不等式求最值4．基本不等式的拓展1．兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為.為便于調(diào)控生產(chǎn)，分別將、、中的值記為并進(jìn)行分析.則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．已知,,且,則的最小值為(

)A． B． C． D．3．函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．3 C．4 D．54．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．8 B．10 C．12 D．146．若、都有恒成立，則（

）A． B．C． D．7．已知，且恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6（多選題）8．已知，則的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3（多選題）9．下列有關(guān)最值的結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2B．若均為正數(shù)，且，則的最小值為4C．若均為正數(shù)，且，則的最小值為1D．若均為正數(shù)，且，則的最小值為210．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．11．已知，且是方程的一個(gè)根，則的最小值是．12．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13．某種植戶要倚靠院墻建一個(gè)高3m的長(zhǎng)方體溫室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墻壁和頂棚的搭建，設(shè)溫室中墻的邊長(zhǎng)分別為，如圖所示．(1)寫(xiě)出：滿足的關(guān)系式；(2)求溫室體積的最大值．14．（1）已知是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值；（2）函數(shù)的最小值為多少？15．已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．16．發(fā)展新能源汽車(chē)是我國(guó)從汽車(chē)大國(guó)邁向汽車(chē)強(qiáng)國(guó)的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某汽車(chē)工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計(jì)劃在園區(qū)建造一個(gè)高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長(zhǎng)方體形狀的儲(chǔ)物室，經(jīng)過(guò)談判，工程施工單位給出兩種報(bào)價(jià)方案：方案一：儲(chǔ)物室的墻面報(bào)價(jià)為每平方米200元，屋頂和地面報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，總計(jì)報(bào)價(jià)記為；方案二：其給出的整體報(bào)價(jià)為元，(1)當(dāng)寬度為8米時(shí)，方案二的報(bào)價(jià)為29700元，求的值；(2)求的函數(shù)解析式，并求報(bào)價(jià)的最小值；(3)若對(duì)任意的時(shí)，方案二都比方案一省錢(qián)，求的取值范圍.第08講基本不等式內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1基本不等式1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中稱(chēng)為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).知識(shí)點(diǎn)3利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大).注意：1.≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).知識(shí)點(diǎn)4基本不等式的拓展三元基本不等式：（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。多元基本不等式：（a，b，c均為正實(shí)數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。教材習(xí)題01設(shè)，，求證下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解題方法（1）因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以，命題得證.（2）要證明，只用證明，只用證明，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以成立，則成立，命題得證.（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，命題得證.（4）因?yàn)?，，所以要證，只用證，只用證，根據(jù)基本不等式可知顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以成立，命題得證.【答案】證明見(jiàn)解析教材習(xí)題02（1）把64寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何值時(shí)，它們的和最??？（2）把24寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)各取何值時(shí)，它們的積最大？解題方法（1）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取到，即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的和最小，最小為.（2）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取到，即當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的積最大，最大為.【答案】（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的和最??；（2）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)都取時(shí)，它們的積最大教材習(xí)題03某罐裝飲料廠為降低成本要將制罐材料減小到最少．假設(shè)罐裝飲料筒為圓柱體，上、下底半徑均為r，高為h，體積為定值V，上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍．試問(wèn)：當(dāng)r與h之比是多少時(shí)，用料最少？（可以到市場(chǎng)上進(jìn)行調(diào)查，看看哪些罐裝飲料大體上符合你的計(jì)算結(jié)果）解題方法圓柱底面積為，則．上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍，設(shè)側(cè)面厚度為1個(gè)單位，則上、下底厚度為2個(gè)單位，則所用材料的量值為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)，解得．故.【答案】考點(diǎn)一利用基本不等式比較大小1．已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.2．已知，，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：A.（多選題）3．已知，下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確。對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故D正確.故選：ABD（多選題）4．已知a，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】對(duì)于A，B：由題知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，則，即，故，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC考點(diǎn)二由基本不等式證明不等關(guān)系1．已知．(1)若，證明：；(2)若，證明：；(3)若，證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）要證，因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方，即證.展開(kāi)得，已知，所以即證，也就是證，即證.對(duì)于，有，已知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以得證.（2）根據(jù)二項(xiàng)式，將，代入可得：整理得因?yàn)椋砸阎?，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).同時(shí)，由第一問(wèn)可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.將和代入可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，若，得證.（3）因?yàn)?，所以，以上三個(gè)式子相加得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，且，所以，所以，所?2．（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）若，，證明:.【答案】（1）4；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為．（2），，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．3．（1）已知，，，求證：．（2）已知，，，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵，，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．.4．已知，都是正數(shù)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明∵，都是正數(shù)，∴，，，，，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.5．（1）若，，，都是正數(shù)，求證：；（2）若，，都是正數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】證明

（1）由，，，都是正數(shù)，利用基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，即有，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.（2）由，，都是正數(shù)，利用基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.考點(diǎn)三最值定理（多選題）1．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，對(duì),，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，B錯(cuò)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得，故的最大值為，C對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確故選：ACD.2．已知，且，則的最小值為．【答案】【詳解】，且，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為．故答案為：3．若，則的最小值是.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：4．（1）已知正數(shù)a，b滿足，求的最大值；（2）已知，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正數(shù)滿足，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以，即的最大值為；（2）令，即，所以，解得，所以，因?yàn)?，，可得，所以，所以，即的取值范圍?5．（1）已知，求的最大值；（2）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的最大值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，取到最大值.（2）由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).所以的最大值為10.考點(diǎn)四基本不等式的恒成立問(wèn)題1．對(duì)一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【詳解】因?yàn)閤，，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的最小值是.故選：B.2．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式恒成，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故.故選：.3．已知，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，恒成立，，解得.故選：A.4．已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為.【答案】6【詳解】要使不等式恒成立，只需要.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為6，即，故的最大值為6.5．已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由，不等式恒成立，可得對(duì)恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.考點(diǎn)五基本（均值）不等式的應(yīng)用1．一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以的速度勻速直達(dá)B市．已知兩地鐵路線長(zhǎng)，為了安全，兩列貨車(chē)的間距不得小于（貨車(chē)長(zhǎng)度忽略不計(jì)），那么這批貨物全部運(yùn)到B市最快需要（

）A．2小時(shí) B．4小時(shí) C．6小時(shí) D．8小時(shí)【答案】D【詳解】設(shè)這批貨物從A市全部運(yùn)到B市的時(shí)間為t，則（小時(shí)），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．2．港珠澳大橋通車(chē)后，經(jīng)常往來(lái)于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案是每次均加30升的燃油，第二種方案是每次加200元的燃油，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．采用第一種方案更劃算 B．采用第二種方案更劃算C．兩種方案一樣劃算 D．無(wú)法確定采用哪種方案更劃算【答案】B【詳解】任取其中兩次加油，假設(shè)第一次的油價(jià)為m元/升，第二次的油價(jià)為n元/升．第一種方案的均價(jià)為；第二種方案的均價(jià)為．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以無(wú)論油價(jià)如何變化，第二種方案更劃算．3．一家商店用一架兩邊臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金，一位顧客要購(gòu)買(mǎi)黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤(pán)，將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客；再將的砝碼放入右盤(pán)，將另一黃金放于左盤(pán)使之平衡后交給顧客，則商店在銷(xiāo)售后（

）A．黃金少給了 B．黃金剛好C．黃金多給了 D．與砝碼放置順序有關(guān)【答案】C【詳解】設(shè)天平左、右兩臂長(zhǎng)分別為，兩次放入的黃金的克數(shù)分別為x，y．由杠桿的平衡原理有，則．由于，且，故．因此，即顧客實(shí)際所得黃金大于10克．4．如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場(chǎng)（陰影部分），則健身廣場(chǎng)的最大面積為．【答案】37.5/70/2【詳解】設(shè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為，且，，由三角形相似得，化簡(jiǎn)得，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故健身廣場(chǎng)的最大面積為．5．海倫公式亦叫海倫——秦九韶公式．它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，表達(dá)式為，其中a，b，c分別是三角形的三邊長(zhǎng)，．已知一根長(zhǎng)為8的木棍，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為2，則該三角形面積的最大值為．【答案】【詳解】由海倫公式可知，不妨設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．考點(diǎn)六“1”的妙用1．已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．27【答案】C【詳解】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：C2．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D（多選題）3．已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所?，解得，B正確．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，即，C正確．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D正確．故選：BCD.4．已知，且，則的最小值是.【答案】【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．基本不等式2．兩個(gè)重要的不等式3．利用基本不等式求最值4．基本不等式的拓展1．兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為.為便于調(diào)控生產(chǎn)，分別將、、中的值記為并進(jìn)行分析.則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】解方程可依次求得，結(jié)合基本不等式可得大小關(guān)系.【詳解】由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），.故選：A.2．已知,,且,則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】因?yàn)?利用基本不等式,注意等號(hào)成立的條件,即可求得答案.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),取等號(hào),即,結(jié)合,可得時(shí),取得最小值．故選:A.3．函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式求和的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”.故選：B4．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】解：均為正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，則的最小值為故選：C5．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】利用，可求的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為8．故選：A.6．若、都有恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】推導(dǎo)出，，將代入各選項(xiàng)中的代數(shù)式，利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】顯然不滿足等式，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，A對(duì)B錯(cuò)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，CD都錯(cuò).故選：A.7．已知，且恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問(wèn)題【分析】根據(jù)條件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，又恒成立，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B.（多選題）8．已知，則的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3【答案】ABC【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】分和兩種情況，利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以選項(xiàng)ABC滿足題意，故選：ABC.（多選題）9．下列有關(guān)最值的結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2B．若均為正數(shù)，且，則的最小值為4C．若均為正數(shù)，且，則的最小值為1D．若均為正數(shù)，且，則的最小值為2【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、對(duì)勾函數(shù)求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應(yīng)用基本不等式求A、C、D中目標(biāo)式的最值，由“1”的代換及基本不等式求C中目標(biāo)式的最值，注意取值條件即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4，正確.對(duì)于C，若均為正數(shù)，且，由基本不等式得，得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為1，正確.對(duì)于D，若均為正數(shù)，且，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2，正確.故選：BCD10．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】27【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】先根據(jù)求得和的關(guān)系式，進(jìn)而代入到利用均值不等式求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：.11．已知，且是方程的一個(gè)根，則的最小值是．【答案】8【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由題意易得，代入所求式，利用基本不等式計(jì)算即得.【詳解】由題意，可得，即得，則，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.12．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱(chēng)命題的真假求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求出的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，所以故答案為?3．某種植戶要倚靠院墻建一個(gè)高3m的長(zhǎng)方體溫室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墻壁和頂棚的搭建，設(shè)溫室中墻的邊長(zhǎng)分別為，如圖所示．(1)寫(xiě)出：滿足的關(guān)系式；(2)求溫室體