專題01二次根式內(nèi)容導(dǎo)航考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺考點(diǎn)鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1二次根式的有關(guān)概念二次根式的定義：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．二次根式有意義的條件1）單個(gè)二次根式，如a有意義的條件是??≥0；2）二次根式相加，如a+b有意義的條件是??≥0且b≥3）二次根式作為分母時(shí)，如1a有意義的條件是??>04）二次根式與分式相加，如a+1b有意義的條件是??≥0且b知識(shí)點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1）式子a（??≥0）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（a≥0），所以2）a23），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.知識(shí)點(diǎn)3二次根式的乘除運(yùn)算1.二次根式的乘法乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：積的算術(shù)平方根：積的算術(shù)平方根等于積的中每個(gè)因式的算術(shù)平方根的乘積.即：2.二次根式的除法除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：商的算術(shù)平方根：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.即3.最簡(jiǎn)二次根式定義：1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，把滿足上述兩個(gè)條件的二次根數(shù)，叫做最簡(jiǎn)二次根式.例：都是最簡(jiǎn)二次根式.最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，即被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.知識(shí)點(diǎn)4二次根式的加減運(yùn)算1.同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.【補(bǔ)充】1）同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng),如：是同類二次根式.2）幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)可以完全互不相同，如：.3）判斷兩個(gè)根式是不是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后看被開(kāi)方數(shù)是否相同.2.二次根式的加減：一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并，即.【口訣】一化、二找、三合并.3.合并同類二次根式的方法：合并同類二次根式與合并同類項(xiàng)類似，將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)5二次根式混合運(yùn)算1.內(nèi)容：二次根式的混合運(yùn)算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.【補(bǔ)充】1）在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用；2）在二次根式混合運(yùn)算中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).3.二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng)：1）結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.知識(shí)點(diǎn)6二次根式的化簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．，化簡(jiǎn)二次根式的步驟:1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【題型1二次根式的識(shí)別】高妙技法若一個(gè)根式是二次根式，則一定滿足被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，根指數(shù)為2，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是字母時(shí)，要根據(jù)字母的取值進(jìn)行討論.1．（24-25八年級(jí)上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）下列代數(shù)式，，，，中，二次根式有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；形如的式子叫做二次根式．據(jù)此判斷給出的式子有多少個(gè)二次根式．【詳解】解：形如的式子叫做二次根式．在，，，，中，不含根號(hào)，被開(kāi)方數(shù)小于，不符合要求，不是二次根式，其余個(gè)是二次根式，所以，二次根式有個(gè)．故選：C2．（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·階段練習(xí)）給出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，一般地，把形如的式子叫做二次根式，根據(jù)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：，是二次根式，故①符合題意；6不是二次根式，故②不符合題意；，不是二次根式，故③不符合題意；，，是二次根式，故④符合題意；，是二次根式，故⑤符合題意；是三次根式，故⑥不符合題意；綜上所述，二次根式有個(gè)，故選：B．【題型2二次根式有意義的條件】高妙技法1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．3．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴且，故答案為：且．4．（2025八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）若，則．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再求解y的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵與均有意義，∴，解得，∴，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，一元一次不等式組的應(yīng)用，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．5．（24-25九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）已知實(shí)數(shù)a滿足，那么的值是．【答案】2021【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，出現(xiàn)二次根式中有未知數(shù)的題，想到二次根式有意義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)二次根式有意義的條件得到的取值范圍，再由的取值范圍去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件得：，，，原式可化為：，，，，故答案為：2021．【題型3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】高妙技法，即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.①一個(gè)數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，它的平方的算術(shù)平方根等于它本身，記為；②當(dāng)一個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，它的平方的算術(shù)平方根等于它的相反數(shù)，記為.6．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解答本題的關(guān)鍵．先將被開(kāi)方數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以開(kāi)平方，而分子部分化成含和的形式，即得答案．【詳解】，，．故選：D．7．（22-23八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）若為三角形的三邊長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，然后對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系可知：，∴，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)．8．（22-23八年級(jí)下·山東泰安·期末）已知，化簡(jiǎn)：．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)得，再根據(jù)將絕對(duì)值化簡(jiǎn)，即得答案．【詳解】解：原式，，，，∴原式．故答案為：．9．（23-24八年級(jí)下·福建莆田·階段練習(xí)）閱讀下面的解題過(guò)程體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問(wèn)題．化簡(jiǎn)：解：由，解得：∴，∴原式=(1)按照上面的解法，試化簡(jiǎn)．(2)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．(3)已知a，b，c為的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：．【答案】(1)1(2)(3)【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、絕對(duì)值的性質(zhì)、數(shù)軸、三角形的三邊關(guān)系，（1）根據(jù)二次根式有意義的條件判斷出x的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得；（2）由a、b在數(shù)軸上的位置判斷出、，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得；（3）由三角形三邊間的關(guān)系得出、，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得．【詳解】（1）解：隱含條件，解得：，，即，∴原式；（2）解：觀察數(shù)軸得隱含條件：，，，∴，，∴原式；（3）解：由三角形三邊之間的關(guān)系可得隱含條件：，，，，∴，，∴原式．【題型4復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)】10．（23-24八年級(jí)下·湖南湘西·階段練習(xí)）有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．例如，，請(qǐng)仿照上例解下列問(wèn)題：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)、運(yùn)算，（1）結(jié)合題干思路方法作答即可；（2）結(jié)合題干思路方法作答即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，．11．（23-24八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下面這道例題的解法，并回答問(wèn)題．例如：化簡(jiǎn)．解：．依據(jù)上述計(jì)算，填空：(1)，；(2)根據(jù)上述方法求值：．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式：（1）根據(jù)例題的方法，湊完全平方公式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解；（2）根據(jù)例題的方法，湊完全平方公式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】（1）解：；；故答案為：；；（2）解：．12．（24-25八年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故．由，解得，即．根據(jù)以上方法，求的值．【答案】【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式，仿照題意設(shè)，再把等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴．【題型5最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式的識(shí)別】高妙技法最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，即被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.判斷同類二次根式時(shí)，先把所有的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同來(lái)加以判斷.注意：1）同類二次根式與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)．2）幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)可以完全互不相同，如：.13．（24-25八年級(jí)上·上?！て谀┰谙铝卸胃街校瑢儆谧詈?jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，依據(jù)此兩項(xiàng)要求進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、被開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)得盡的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；D、被開(kāi)方數(shù)含有看得見(jiàn)的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：C．14．（24-25八年級(jí)上·上海崇明·期末）下列各組二次根式中，不是同類二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義：將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．先利用二次根式化簡(jiǎn)各數(shù)，再根據(jù)同類二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：A．與的被開(kāi)方數(shù)相同，所以兩數(shù)是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．與的被開(kāi)方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．與的被開(kāi)方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D．與的被開(kāi)方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．15．（20-21八年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）若二次根式與是同類二次根式，則整數(shù)可以等于．（寫出一個(gè)即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵二次根式與是同類二次根式，∴可設(shè)，則，∴，解得，故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查的是同類二次根式的概念，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．【題型4二次根式的混合運(yùn)算】高妙技法1）在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用；2）在二次根式混合運(yùn)算中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).3）二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng)：①結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式；②如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.16．（24-25八年級(jí)上·上?！て谀┯?jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）關(guān)鍵二次根式加減乘除的混合運(yùn)算計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算，分母有理化計(jì)算即可．本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．（2））．17．（24-25八年級(jí)上·上海崇明·期末）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減即可．【詳解】解：原式．18．（24-25八年級(jí)上·上海·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)、平方差公式等知識(shí)，首先利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再由二次根式混合運(yùn)算求解即可得到答案．熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式混合運(yùn)算法則及平方差公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：．19．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．首先計(jì)算分母有理化，完全平方公式，零指數(shù)冪和二次根式的除法，然后合并即可．【詳解】．【題型5與二次根式有關(guān)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題】高妙技法1）二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果一定是被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式或因數(shù)都開(kāi)不盡.2)如果被開(kāi)方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分?jǐn)?shù)的形式，然后利用分母有理化化簡(jiǎn).3）如果被開(kāi)方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開(kāi)方開(kāi)得盡的因式或因數(shù)開(kāi)方，從而將式子化簡(jiǎn).20．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┮阎?，求的值．【答案】【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式和平方差公式，首先根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)，然后利用二次根式的混合運(yùn)算法則求解，最后代數(shù)求解即可．【詳解】解：，∵，，∴原式．21．（24-25八年級(jí)上·上海·期中）已知實(shí)數(shù)、使等式成立，請(qǐng)化簡(jiǎn)代數(shù)式，并求代數(shù)式的值．【答案】；【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性可得、的值，將所求式子化簡(jiǎn)后代入、的值進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：∵∴且，∴，∴，當(dāng)時(shí)，原式22．（24-25八年級(jí)上·上海寶山·期中）已知：，，求：的值．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的變形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，，∴．23．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┯?jì)算：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算小括號(hào)內(nèi)的分式加法，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．24．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）【閱讀材料】問(wèn)題：已知，求的值．小明的做法是：∵，∴．∴．∴．∴．∴．小明的做法是將已知條件適當(dāng)?shù)淖冃?，再整體代入所求代數(shù)式進(jìn)行解答．小麗的做法是：∵∴當(dāng)時(shí)，原式．小麗的做法是將結(jié)論中代數(shù)式適當(dāng)?shù)淖冃?，再已知條件代入變形式進(jìn)行解答．【解決問(wèn)題】(1)請(qǐng)你仿照“小明的做法”或“小麗的做法”，解決問(wèn)題：已知，求的值；(2)請(qǐng)你參考“小明的做法”和“小麗的做法”，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題：已知，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，代數(shù)式求值，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵．（1）仿照小明的做法時(shí)，先計(jì)算出的值；仿照小麗的做法時(shí)，將原式變形為；（2）仿照小明的做法，計(jì)算出的值，的值，再將原式變形為，代入求解即可．【詳解】（1）解：仿照小明的做法：∵，∴．∴．∴．∴．∴．仿照小麗的做法：∵∴當(dāng)時(shí)，原式．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【題型11比較二次根式的大小】高妙技法25．（23-24八年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）比較與的大?。敬鸢浮俊痉治觥坑^察得代數(shù)式的被開(kāi)方數(shù)的差相等，先將代數(shù)式轉(zhuǎn)變?yōu)榉质降男问?，比較分式的大小即可求解．【詳解】解：∵，，且，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的大小比較，解題的關(guān)鍵是借助被開(kāi)方數(shù)的差相等，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為分式的形式進(jìn)行比較．26．（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：______，______；(2)利用上面的規(guī)律，比較______（填“”或“”或“”）．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法得到，，根據(jù)，得到，．【詳解】（1）解：；，故答案為：，；（2）解：，，∵，∴，∴，故答案為：．【題型6分母有理化】高妙技法1）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式稱為互為有理化因式，即，其中互為有理化因式.2）分母有理化的思路：分母含根號(hào)乘上互為有理化的因式，得到分母不含根號(hào).（易錯(cuò)點(diǎn)：分子漏乘該有理化因式）.注意：一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè).例如:的有理化因式可以是，也可以是，這里的a可以是任意有理數(shù).27．（24-25八年級(jí)上·上海浦東新·期中）面對(duì)一些二次根式，其實(shí)可以用了因式分解中的分組分解法來(lái)解決問(wèn)題：，則．利用這種思想，解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：；(2)化簡(jiǎn)：；(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分母有理化，二次根式混合運(yùn)算，找到有理化因式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意分母有理化即可（2）根據(jù)題意分母有理化即可（3）根據(jù)題意分母有理化，在合并同類二次根式即可【詳解】（1）解：原式，，，；（2）解：原式；（3）解：原式．28．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）閱讀材料，并完成下列任務(wù)：材料一：裂項(xiàng)求和小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過(guò)具體運(yùn)算：，，，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（n為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立．應(yīng)用規(guī)律：快速計(jì)算．材料二：根式化簡(jiǎn)例1

；例2

任務(wù)一：化簡(jiǎn)．(1)化簡(jiǎn)：(2)猜想：___________________（n為正整數(shù)）．任務(wù)二：應(yīng)用(3)計(jì)算：；任務(wù)三：探究(4)已知，比較x和y的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查二次根式裂項(xiàng)求解，解題關(guān)鍵是熟練進(jìn)行二次根式分母有理化的化簡(jiǎn)．（1）根據(jù)題目中的例子可以寫出答案；（2）根據(jù)例2，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）根據(jù)分母有理化，可得二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的加減，即可得到答案；（4）結(jié)合例1，例2的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）（2），，，故答案為：；（3）；（4），，，故．【題型7二次根式的應(yīng)用】29．（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）如圖，某居民小區(qū)有一塊形狀為長(zhǎng)方形的綠地，長(zhǎng)為米，寬為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀、大小相同的小長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)小長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米，寬為米．(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）．(2)除去修建花壇的地方，其他位置全部修建為通道，通道上要鋪上造價(jià)為26元/平方米的地磚．要鋪完整個(gè)通道，購(gòu)買地磚需要花費(fèi)多少錢?【答案】(1)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為米(2)要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚需要花費(fèi)元【分析】此題考查了二次根式的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）先利用長(zhǎng)方形的綠地面積減去花壇的面積，再用化簡(jiǎn)結(jié)果乘以地磚的單價(jià)即可．【詳解】（1）解：（米），∴長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為米．（2）（平方米），則（元），∴要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚需要花費(fèi)元．30．（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）閱讀材料：已知a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立．這個(gè)結(jié)論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．例：已知，求代數(shù)式最小值．解：令，，則由，得．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式取到最小值，最小值為4．根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：(1)已知，則當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式到最小值，最小值為_(kāi)_____；(2)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形花園，則當(dāng)這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長(zhǎng)度是多少米？(3)已知，則自變量x取何值時(shí)，代數(shù)式取到最大值？最大值為多少？(4)若x為任意實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值為m，則m范圍為_(kāi)_____．【答案】(1)，(2)這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)、寬均為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長(zhǎng)度是40米(3)自變量時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為(4)【分析】本題主要考查了“均值不等式”的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解例題，借助例題求解．（1）根據(jù)例題，可得，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，最小值為，即可獲得答案；（2）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為米，籬笆周長(zhǎng)為米，可得函數(shù)解析式為，根據(jù)例題，即可獲得答案；（3）將原函數(shù)變形為，由取最小值，即可確定自變量取何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，并求得最大值．（4）分，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，最小值為．故答案為：，；（2）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為米，籬笆周長(zhǎng)為米，根據(jù)題意，用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形花園，則矩形的寬為米，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為40，∴這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)、寬均為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長(zhǎng)度是40米；（3）∵，∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為6，∴此時(shí)有最大值，最大值為，∴自變量時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為．（4）①，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)m有最大值，最大值為，又，結(jié)果分母都為正數(shù)，，②時(shí)，③，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，此時(shí)m有最小值，最小值為，又，結(jié)果的分母為負(fù)數(shù)，，，綜合①②③得m的取值范圍為．31．（15-16八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期末）已知三角形三邊之長(zhǎng)能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計(jì)算的方法是：，其中表示三角形的面積，分別表示三邊之長(zhǎng)，表示周長(zhǎng)之半，即．我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個(gè)公式基本一致，所以這個(gè)公式也叫“海倫-秦九韶公式”．請(qǐng)你利用公式解答下列問(wèn)題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計(jì)算（1）中的邊上的高．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)公式求得p=9，然后將AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式，且已知BC的長(zhǎng)和三角形的面積，代入即可求解．【詳解】解：（1），所以，答：的面積是．（2）邊上的高，答：邊的高是．故答案為（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，二次根式的乘法運(yùn)算，屬于新定義題型，重點(diǎn)是掌握題目中給出的公式，代入相應(yīng)值．【題型8與二次根式有關(guān)的新定義問(wèn)題】32．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式．(1)求a的平方根；(2)對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算“”如下：，如：，請(qǐng)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義，求平方根，新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算,二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義及二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同類二次根式的定義得出，求出a，再根據(jù)平方根的定義求出a的平方根即可；（2）先根據(jù)新運(yùn)算求出，再根據(jù)新運(yùn)算求出的值即可．【詳解】（1）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，，解得，的平方根是；（2），，．33．（20-21八年級(jí)上·河北唐山·期末）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與是關(guān)于4的共軛二次根式，求a的值；(2)若與是關(guān)于2的共軛二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)-2【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案．【詳解】（1）∵a與是關(guān)于4的共軛二次根式，∴．∴．（2）∵與是關(guān)于2的共軛二次根式，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義共軛二次根式的理解和應(yīng)用，并會(huì)利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．34．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）定義：我們將與稱為一對(duì)“對(duì)偶式”．因?yàn)?，可以有效的去掉根?hào)，所以有一些題可以通過(guò)構(gòu)造“對(duì)偶式”來(lái)解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因?yàn)?，所以?1)已知：，求：①；②結(jié)合已知條件和第①問(wèn)的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是；(3)計(jì)算：．【答案】(1)①，②；(2)；(3)．【分析】（1）仿照題意，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用平方差公式，對(duì)原式進(jìn)行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵，，∴；故答案為：②由①得，已知，兩式相加得到，，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，即方程的解是；（2）解：由二根式有意義的條件得到，解得，即的取值范圍是，故答案為：；（3）解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算、二次根式有意義的條件、平方差公式以及分母有理化，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵．【題型9與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題】35．（24-25八年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：①；②；③；…(1)請(qǐng)你利用上述規(guī)律計(jì)算（仿照上式寫出過(guò)程）；(2)請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，寫出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式__________；(3)請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，此題是一個(gè)閱讀題目，通過(guò)閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過(guò)仔細(xì)觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系，并用關(guān)系式表示出來(lái)．（1）從三個(gè)式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)加數(shù)都是1，第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為n，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是，結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積．由此可求解即可；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)規(guī)律把所求式子先化簡(jiǎn)二次根式，最后計(jì)算期間即可；【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：由題意得，（3）解：．36．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）嘉嘉根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“特殊到一般”的方法探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是嘉嘉的探究過(guò)程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】將題目中的橫線處補(bǔ)充完整；(2)【歸納猜想】若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律，并證明此規(guī)律成立；(3)【應(yīng)用規(guī)律】嘉嘉寫出一個(gè)等式（均為正整數(shù)），若該等式符合上述規(guī)律，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．（1）根據(jù)前個(gè)的規(guī)律即可得出答案；（2）根據(jù)特例中數(shù)字的變化規(guī)律分析求解即可，對(duì)等式的坐標(biāo)進(jìn)行整理，即可求證；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：等式④：；（2）解：若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律為，證明如下：等式左邊右邊；（3）解：∵（均為正整數(shù)），∴，，∴．【題型10帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題】37．（23-24八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）閱讀下列解題過(guò)程例：若代數(shù)式的值是2，求的取值范圍解：原式，當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，原式，符合條件；當(dāng)時(shí)，原式，解得（舍去）．∴的取值范圍是．上述解題過(guò)程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：______．(2)解方程：．【答案】(1)2(2)的值為或7【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解絕對(duì)值方程．掌握二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可確定，，從而化簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)即可；（2）由閱讀材料可知，再分類討論，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，∴．（2）解：原式，當(dāng)時(shí)，原式，解得，符合條件；當(dāng)時(shí)，原式，舍去；當(dāng)時(shí)，原式，解得，符合條件．∴的值為或7．提升專練1．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)時(shí)，特別要關(guān)注字母的取值范圍，若字母的取值范圍不確定，往往需要分類討論．例如，化簡(jiǎn)：．(1)當(dāng)時(shí)，原式______；當(dāng)時(shí)，原式______；當(dāng)時(shí)，原式______．(2)由（）可知，此代數(shù)式的值隨實(shí)數(shù)取值的變化而變化，當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)此代數(shù)式．【答案】(1)；；；(2)當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，掌握二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）把的值代入求解即可；（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況分析即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；故答案為：；；；（2）解：當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；．2．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）閱讀并回答問(wèn)題．已知，求a、b的值．分析：因?yàn)槿魩讉€(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)皆為零，所以當(dāng)一個(gè)等式里含有幾個(gè)未知數(shù)時(shí)，可將該等式化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式．例如，將方程化為，從而求得．再如，將方程化為，將方程左邊配成兩個(gè)完全平方式的和，從而求得．試用類似的方法解決下面的問(wèn)題：(1)已知，求的值．(2)已知，求a、b、c的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式性質(zhì)．（1）根據(jù)，得出，代入，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)，得出，即可得出，，，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，，，解得：，，．3．（24-25八年級(jí)下·江西南昌·期中）類比和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中解決新的問(wèn)題時(shí)最常用的數(shù)學(xué)思想方法．【學(xué)習(xí)新知，類比求解】解方程：．解：去根號(hào)，兩邊同時(shí)平方得一元一次方程________________，解這個(gè)方程，得________．經(jīng)檢驗(yàn)，________是原方程的解．【學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題】運(yùn)用上面的方法解下列方程：（1）；

（2）．【答案】，7，7；（1）；（2）無(wú)解【分析】學(xué)習(xí)新知，類比求解：根據(jù)題意補(bǔ)充完整即可；（1）移項(xiàng)得，，根據(jù)原題提供的方法進(jìn)行求解即可；（2）移項(xiàng)得，，根據(jù)原題提供的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】學(xué)習(xí)新知，類比求解：．解：去根號(hào)，兩邊同時(shí)平方得一元一次方程，解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．答案為：，7，7；學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題：（1），解：移項(xiàng)得，，去根號(hào)，兩邊同時(shí)平方得一元一次方程，解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．（2），移項(xiàng)，去根號(hào)，兩邊同時(shí)平方得方程，解這個(gè)方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，不是是原方程的解．原方程無(wú)解．4．（24-25八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）我國(guó)古代的《洛書(shū)》記載了世界上最早的幻方——“九宮格”．（1）任務(wù)一：在圖①方格中，若要使每一橫、豎、斜對(duì)角的3個(gè)實(shí)數(shù)相乘都得到同樣的結(jié)果，則__________，__________；（2）任務(wù)二：在如圖②的“幻圓”中，若內(nèi)、外兩個(gè)圓周上四個(gè)數(shù)字之和以及外圓兩直徑上的四個(gè)數(shù)字之和都相等，求的值．3ab12圖①圖②【答案】（1），；（2）．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二次根式的加法和乘法，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意分別列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）設(shè)小圓與豎線相交的空白區(qū)域?yàn)?，依題意列出關(guān)于的方程，求解即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意可得：，解得：，，解得：，故答案為：，；（2）設(shè)小圓與豎線相交的空白區(qū)域?yàn)?，依題意得：，∴．5．（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值，他是這樣解答的：∵，∴，∴，，∴．∴．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)________；_______；(2)化簡(jiǎn)：；(3)若，求的值．【答案】(1)，(2)12(3)4【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是要掌握二次根式的化簡(jiǎn)規(guī)則．（1）利用分母有理化計(jì)算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先利用得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】（1）解：，故答案為：，；（2）解：；（3）解：6．（24-25八年級(jí)下·吉林白城·階段練習(xí)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三邊長(zhǎng)），此公式與古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年）提出的海倫公式（其中a，b，c表示三角形的三邊長(zhǎng)，）如出一轍，所以秦九韶公式與海倫公式實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)公式，所以我們也稱為海倫-秦九韶公式．(1)已知在中，，，，且a，b，c滿足．①______，______，______．②請(qǐng)你從兩個(gè)公式中選擇一個(gè)合適的公式，求出的面積．(2)如圖，在中，，，，請(qǐng)你用海倫-秦九韶公式求的面積．【答案】(1)①，，3；②的面積為(2)的面積為【分析】本題主要考查平方，絕對(duì)值，算術(shù)平方根的非負(fù)性，秦九韶公式與海倫公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)平方，絕對(duì)值，算術(shù)平方根的非負(fù)性得到答案即可；②選擇海倫公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題目給出的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①，，故答案為：，，3；②；（2）解：；7．（24-25八年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，某鄉(xiāng)村有塊形狀為長(zhǎng)方形的空地，長(zhǎng)為，寬為，現(xiàn)要在空地上建休閑廣場(chǎng)，中間修建長(zhǎng)方形的兒童活動(dòng)區(qū)（圖中陰影部分），兒童活動(dòng)區(qū)的長(zhǎng)為，寬為．(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．（結(jié)果需要化簡(jiǎn)）(2)除去兒童活動(dòng)區(qū)，空地的其他地方全部澆筑水泥，求澆筑水泥區(qū)的面積．【答案】(1)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為米．(2)澆筑水泥區(qū)的面積為平方米．【分析】本題考查的是二次根式的應(yīng)用；（1）由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列式，再化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）由大的長(zhǎng)方形的面積減去小的長(zhǎng)方形的面積即可；【詳解】（1）解：米，答：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為米．（2）解：由題意可得：平方米，答：澆筑水泥區(qū)的面積為平方米．8．（24-25八年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）在實(shí)際練習(xí)二次根式的運(yùn)算時(shí)，小明出現(xiàn)了“”的計(jì)算錯(cuò)誤，下面通過(guò)比較與的大小來(lái)進(jìn)行分析：將，兩個(gè)式子分別平方．∵，．∴．（填“>”“<”或“=”）∴．（填“>”“<”或“=”）(1)題干中的四個(gè)空依次填，，，．(2)參考上面的方法，比較和的大?。敬鸢浮?1)，7，，(2)，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】本題考查二次根式比較大小，二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，完全平方公式，掌握平方法比較大小，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方式計(jì)算，與比較大小，即可求解，（2）根據(jù)完全平方式分別計(jì)算和，比較大小，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，且，∴，∴，故答案為：，7，，；（2）解：∵，，∵，∴，∴∴．9．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）二次根式的雙重非負(fù)性體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須滿足非負(fù)條件，二是二次根式的運(yùn)算結(jié)果始終是非負(fù)的．已知實(shí)數(shù)m滿足等式．請(qǐng)利用上述性質(zhì)解答：(1)求m的取值范圍；(2)小智求出的值為2026，他的答案正確嗎？為什么？【答案】(1)(2)小智的答案正確，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查二次根式的雙重非負(fù)性，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的雙重非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的雙重非負(fù)性得到即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，解得，即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：，故m的取值范圍為：；（2）解：小智的答案正確，理由如下：，，，原式可變形為：，，，，的值為2026，小智的答案正確．10．（24-25七年級(jí)下·湖北孝感·階段練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：______；（2）若，求的值；（3）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最大值．【答案】（1）3；（2）a的值為或6；（3）【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)．（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次根式的非負(fù)性可對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而即可得到答案；（2）分三種