第10節(jié)概率與函數(shù)、數(shù)列題型分析近幾年高考重視在知識交匯處命題，通過綜合運用函數(shù)、數(shù)列等知識解決概率統(tǒng)計實際問題，突出知識間的綜合應(yīng)用.解決概率統(tǒng)計與函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的單調(diào)性確定最優(yōu)解；解決概率與數(shù)列的交匯問題的關(guān)鍵在于找出概率pn或均值E(Xn)的遞推公式，利用數(shù)列的性質(zhì)、求和公式等解決問題，該問題的實質(zhì)仍是以概率統(tǒng)計為主導(dǎo).題型一概率與函數(shù)例1(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；(2)設(shè)函數(shù)f(c)＝p(c)＋q(c).當(dāng)c∈[95，105]時，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95，105]上的最小值.思維建模概率與函數(shù)交匯問題的解題步驟第一步：通讀題目，仔細(xì)審題，理解題意；第二步：根據(jù)題目所要解決的問題，確定自變量及其取值范圍；第三步：構(gòu)建函數(shù)模型，寫出函數(shù)的解析式；第四步：通過函數(shù)的單調(diào)性(有時借助導(dǎo)數(shù))等求函數(shù)最值達(dá)到解決問題的目的.訓(xùn)練1(2025·太原調(diào)研)甲、乙兩人參加一個比賽，該比賽設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每場比賽乙贏的概率為p(0<p<1)，甲贏的概率為1－p，每場比賽相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，設(shè)備出現(xiàn)了故障，比賽被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才合理？有專家提出如下的獎金分配方案：若出現(xiàn)無人先贏5場且比賽意外終止的情況，則甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比P甲∶P乙分配獎金.(1)若p＝eq\f(3,4)，求乙應(yīng)該獲得的獎金數(shù)；(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎金的概率為f(p)，并判斷當(dāng)p≥eq\f(2,3)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.(注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱隨機(jī)事件為小概率事件)題型二概率與數(shù)列例2(2024·揚州兩校聯(lián)考)某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對學(xué)生們進(jìn)行了問卷調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，其中eq\f(1,4)的學(xué)生計劃只選擇校本課程一，另外eq\f(3,4)的學(xué)生計劃既選擇校本課程一又選擇校本課程二.每位學(xué)生若只選擇校本課程一，則記1分；若既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分.假設(shè)每位選擇校本課程一的學(xué)生是否計劃選擇校本課程二相互獨立，視頻率為概率.(1)從學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人(n∈N*)，記這n人的合計得分恰為n＋1的概率為pn，求p1＋p2＋…＋pn.思維建模概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟如下：(1)精準(zhǔn)定性，即明確所求概率的“事件屬性”；(2)準(zhǔn)確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系化為數(shù)列模型問題；(3)解決模型，即轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題求解，在求解過程中應(yīng)靈活運用數(shù)列的性質(zhì).訓(xùn)練2(2025·重慶聯(lián)考)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得分規(guī)則：若出現(xiàn)的點數(shù)為1，則得1分，若出現(xiàn)的點數(shù)為2或3，則得2分；若出現(xiàn)的點數(shù)為4或5或6，則得3分.(1)記X為連續(xù)擲這枚骰子2次的總得分，求X的數(shù)學(xué)期望.(2)現(xiàn)在將得分規(guī)則變更如下：若出現(xiàn)的點數(shù)為1或2，則得2分，其他情況都得1分.反復(fù)擲這枚骰子，設(shè)總得分為n的概率為pn，證明：數(shù)列{pn＋1－pn}為等比數(shù)列.馬爾可夫鏈雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容了，利用全概率公式，我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率，還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻t＝0時，位于點x＝i(i∈N*)，下一個時刻，它將以概率α或者β(α，β∈(0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)xt＝i表示：在時刻t該點位于位置x＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得：P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1).由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α，代入上式可得：pi＝β·pi－1＋α·pi＋1.進(jìn)一步，我們假設(shè)在x＝0與x＝m(m>0，m∈N*)處各有一個吸收壁，當(dāng)點到達(dá)吸收壁時被吸收，不再游走.于是，p0＝0，pm＝1.隨機(jī)游走模型是一個典型的馬爾可夫過程.進(jìn)一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a；原地不動，其概率為b；向右平移一個單位，其概率為c，那么根據(jù)全概率公式可得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1.典例(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則E(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))Xi)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))qi.記前n次