2025年高考數(shù)學模擬試卷：立體幾何突破解題思路與試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.22.已知直線l：x=2與平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/33.若直線l1：x+y=1與直線l2：ax+y=2相交于點P，且點P在平面α：x-y+z=0上，則實數(shù)a的值是（）A.1B.2C.3D.44.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，則二面角A-PC-B的余弦值是（）A.1/2B.1/√2C.√2/2咱們這題得好好琢磨琢磨，二面角這玩意兒啊，有時候挺繞的。但只要咱們把空間想象清楚了，就不怕它。這里呢，咱們得先找出二面角的平面角，再求它的余弦值。根據(jù)題意，PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC。又因為AB⊥AC，所以∠BAC=90°。那么，在△PAB和△PAC中，∠PAB和∠PAC都是45°。所以，∠BPC=90°+45°=135°。于是，二面角A-PC-B的平面角就是∠BPC的補角，也就是45°。所以，余弦值就是√2/2。所以，正確答案是C。5.已知點A（1，0，2），點B（3，1，1），點C（2，-1，3），則向量AB與向量AC的夾角余弦值是（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/36.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值是（）A.1/2B.1/√2C.√2/2D.√3/37.已知點P（1，2，3），點Q（3，2，1），則向量PQ在z軸上的投影長度是（）A.1B.2C.√2D.√38.在空間直角坐標系中，平面α：2x+y+z=1與平面β：x-2y+z=2所成角的余弦值是（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/39.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成角的正弦值是（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/310.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，則三棱錐P-ABC的體積是（）A.1/3B.√2/3C.1D.211.已知點A（1，0，2），點B（3，1，1），點C（2，-1，3），則向量AB與向量AC的夾角正弦值是（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/312.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線EF與平面A1ABB1所成角的余弦值是（）A.1/2B.1/√2C.√2/2D.√3/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=2，y=1，z=3+2t的距離是________。14.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax+y=2相交于點P，且點P在平面α：x-y+z=0上，則實數(shù)a的值是________。15.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，AB=AC=1，則二面角A-PC-B的余弦值是________。16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）證明：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角B-PAC的余弦值。18.（12分）在五面體P-ABCDEF中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的正三角形，EF∥AC，EF=1，AE=2√2，點E在棱PC上。（1）證明：AC⊥平面PEF；（2）求三棱錐P-AEF的體積。19.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=3，D是棱CC1的中點，E是棱A1B1的中點。（1）證明：DE⊥平面A1ABB1；（2）求二面角A-DE-B的余弦值。20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，E是棱PC的中點，F(xiàn)是棱PB上的點，且PF=1/3PB。（1）證明：平面PDF⊥平面PAC；（2）求三棱錐E-BCF的體積。21.（12分）在六面體ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，棱AA1⊥底面ABC，棱AA1=2，底面ABC是邊長為2的正方形，棱CC1⊥底面ABC，CC1=1，EF∥AC，EF=1，點E在棱CC1上。（1）證明：平面A1BE⊥平面A1AC；（2）求四棱錐A1-BECD的體積。22.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中點，F(xiàn)是棱PB上的點，且PF=1/3PB。（1）證明：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PBC的余弦值。四、選做題（本大題共3小題，共10分。請根據(jù)自己學習的知識選擇其中2題作答，若全做，則按前兩題計分。）23.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，AA1=2，D是棱CC1的中點，E是棱A1B1的中點，求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值。24.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，求直線EF與平面A1ABB1所成角的余弦值。25.在五面體P-ABCDEF中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的正三角形，EF∥AC，EF=1，AE=2√2，點E在棱PC上，求三棱錐P-AEF的體積。五、附加題（本大題共1小題，共10分。請根據(jù)自己學習的知識作答。）26.在六面體ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，棱AA1⊥底面ABC，棱AA1=2，底面ABC是邊長為2的正方形，棱CC1⊥底面ABC，CC1=1，EF∥AC，EF=1，點E在棱CC1上，求四棱錐A1-BECD的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離d=|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=1/√3=√3/3。選項A是正確的。2.D解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=0所成角的余弦值是cosθ=|1*1|/√(1^2+1^2+1^2)=1/√3。選項D是正確的。3.C解析：聯(lián)立l1：x+y=1與l2：ax+y=2得x=1-a，y=a+1。代入平面α：x-y+z=0得1-a-(a+1)+z=0，即z=2a。因為點P在平面α上，所以2a=0，解得a=3。選項C是正確的。4.A解析：取AC中點D，連接PD，則PD⊥AC。又因為PA⊥平面ABC，所以PD⊥AB?！螾DB是二面角A-PC-B的平面角。在直角三角形PAB和PAC中，∠PAB=∠PAC=45°，所以∠PDB=90°-45°=45°。余弦值為cos45°=1/√2。選項A是正確的。5.C解析：向量AB=(3-1，1-0，1-2)=(2，1，-1)，向量AC=(2-1，-1-0，3-2)=(1，-1，1)。向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=|2*1+1*(-1)+(-1)*1|/√(2^2+1^2+(-1)^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√6√3=0。選項C是正確的。6.A解析：E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，所以E（2，1，1），F(xiàn)（2，-1，3）。向量EF=(2-2，-1-1，3-1)=(0，-2，2)。平面ABB1A1的法向量n=(0，1，0)。直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值sinθ=|0*0+(-2)*1+2*0|/√(0^2+(-2)^2+2^2)√(0^2+1^2+0^2)=2/√8=√2/2。選項A是正確的。7.B解析：向量PQ=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)。向量PQ在z軸上的投影長度是|-2|=2。選項B是正確的。8.A解析：平面α：2x+y+z=1的法向量n1=(2，1，1)，平面β：x-2y+z=2的法向量n2=(1，-2，1)。兩平面所成角的余弦值cosθ=|2*1+1*(-2)+1*1|/√(2^2+1^2+1^2)√(1^2+(-2)^2+1^2)=1/√3。選項A是正確的。9.C解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=0所成角的正弦值sinθ=|1*1|/√(1^2+1^2+1^2)=1/√3。選項C是正確的。10.B解析：三棱錐P-ABC的體積V=1/3S△ABC*PA=1/3*1/2*1*1*2=√2/3。選項B是正確的。11.C解析：向量AB=(3-1，1-0，1-2)=(2，1，-1)，向量AC=(2-1，-1-0，3-2)=(1，-1，1)。向量AB與向量AC的夾角正弦值sinθ=|2*1+1*(-1)+(-1)*1|/√(2^2+1^2+(-1)^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=0/√6√3=0。選項C是正確的。12.D解析：E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，所以E（2，1，1），F(xiàn)（2，-1，3）。向量EF=(2-2，-1-1，3-1)=(0，-2，2)。平面A1ABB1的法向量n=(0，1，0)。直線EF與平面A1ABB1所成角的余弦值cosθ=|0*0+(-2)*1+2*0|/√(0^2+(-2)^2+2^2)√(0^2+1^2+0^2)=2/√8=√2/2。選項D是正確的。二、填空題答案及解析13.√2解析：點A（1，2，3）到直線l：x=2，y=1，z=3+2t的距離是點A到直線l上任意一點P的距離的最小值。取P（2，1，3），向量AP=(2-1，1-2，3-3)=(1，-1，0)。向量AP與直線l的方向向量v=(0，0，2)的夾角余弦值cosθ=|1*0+(-1)*0+0*2|/√(1^2+(-1)^2+0^2)√(0^2+0^2+2^2)=0/√2=0。所以，點A到直線l的距離是|AP|cosθ=√(1^2+(-1)^2+0^2)=√2。選項√2是正確的。14.2解析：聯(lián)立l1：x+y=1與l2：ax+y=2得x=1-a，y=a+1。代入平面α：x-y+z=0得1-a-(a+1)+z=0，即z=2a。因為點P在平面α上，所以2a=0，解得a=2。選項2是正確的。15.1/√2解析：取AC中點D，連接PD，則PD⊥AC。又因為PA⊥平面ABC，所以PD⊥AB?！螾DB是二面角A-PC-B的平面角。在直角三角形PAB和PAC中，∠PAB=∠PAC=45°，所以∠PDB=90°-45°=45°。余弦值為cos45°=1/√2。選項1/√2是正確的。16.√2/2解析：E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，所以E（2，1，1），F(xiàn)（2，-1，3）。向量EF=(2-2，-1-1，3-1)=(0，-2，2)。平面ABB1A1的法向量n=(0，1，0)。直線EF與平面ABB1A1所成角的正弦值sinθ=|0*0+(-2)*1+2*0|/√(0^2+(-2)^2+2^2)√(0^2+1^2+0^2)=2/√8=√2/2。選項√2/2是正確的。三、解答題答案及解析17.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。又因為ABCD是矩形，所以AB⊥BC。所以BC⊥平面PAB。因為E是PC的中點，所以PE=EC。又因為BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE。所以BC⊥平面PAC。因為BC在平面ABE中，PE在平面PAC中，所以平面ABE⊥平面PAC。（2）求二面角B-PAC的余弦值：取AC中點D，連接PD，則PD⊥AC。又因為BC⊥AC，所以∠PDB是二面角B-PAC的平面角。在直角三角形PAB和PAC中，∠PAB=∠PAC=45°，所以∠PDB=90°-45°=45°。余弦值為cos45°=√2/2。18.（1）證明：因為PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC。又因為EF∥AC，所以EF⊥PA。又因為EF∥AC，所以EF⊥BC。所以AC⊥平面PEF。（2）求三棱錐P-AEF的體積：過A作AH⊥EF于H，連接PH。因為AC⊥平面PEF，所以AC⊥EF。又因為AH⊥EF，所以H在EF上。所以AH是三棱錐P-AEF的高。在直角三角形PEF中，EF=1，AE=2√2，所以PH=√(AE^2-AH^2)=√(8-AH^2)。所以三棱錐P-AEF的體積V=1/3S△AEF*PH=1/3*1/2*1*√(8-AH^2)=√(8-AH^2)/6。19.（1）證明：因為AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AC。又因為AC=BC，所以∠ACB=90°。所以AC⊥BC。又因為AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC。所以BC⊥平面AA1C1。因為E是棱A1B1的中點，所以E在平面AA1C1中。又因為D是棱CC1的中點，所以DE在平面AA1C1中。又因為BC⊥平面AA1C1，所以DE⊥BC。又因為DE在平面AA1C1中，AA1⊥平面AA1C1，所以DE⊥AA1。所以DE⊥平面A1ABB1。（2）求二面角A-DE-B的余弦值：取AB中點F，連接DF，EF。因為AC=BC，所以DF⊥AB。又因為DE⊥平面A1ABB1，所以DE⊥AB。所以∠DEF是二面角A-DE-B的平面角。在直角三角形DEF中，DE=√(AA1^2+(AC/2)^2)=√(9+2)=√11，EF=√(AA1^2+(AC/2)^2)=√(9+2)=√11，DF=AC/2=1。所以cos∠DEF=DF/DE=1/√11。20.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD。又因為ABCD是正方形，所以AD⊥AB。所以AD⊥平面PAB。因為E是棱PC的中點，所以PE=EC。又因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥PE。所以AD⊥平面PAC。因為AD在平面PDF中，PE在平面PAC中，所以平面PDF⊥平面PAC。（2）求三棱錐E-BCF的體積：過E作EG⊥BC于G，連接PG。因為平面PDF⊥平面PAC，所以EG⊥平面PAC。又因為PE在平面PAC中，所以EG⊥PE。又因為EG⊥BC，所以EG⊥平面PBC。所以EG是三棱錐E-BCF的高。在直角三角形PBC中，PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+1)=√5，PF=1/3PB=√5/3，所以PG=PF=√5/3。所以三棱錐E-BCF的體積V=1/3S△BCF*EG=1/3*1/2*1*√5/3=√5/18。21.（1）證明：因為棱AA1⊥底面ABC，棱CC1⊥底面ABC，所以AA1⊥AC，CC1⊥AC。所以AC⊥平面ACC1A1。因為E在棱A1BE中，所以E在平面A1AC中。又因為AC⊥平面ACC1A1，所以AC⊥BE。又因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC。所以AA1⊥平面BCE。因為AA1在平面A1BE中，BE在平面A1BE中，所以平面A1BE⊥平面A1AC。（2）求四棱錐A1-BECD的體積：過A1作A1H⊥BE于H，連接CH。因為平面A1BE⊥平面A1AC，所以A1H⊥平面A1AC。又因為A1H⊥BE，所以A1H⊥BC。又因為A1H⊥平面A1AC，所以A1H⊥AC。所以A1H是四棱錐A1-BECD的高。在直角三角形A1BE中，A1B=√(AA1^2+AB^2)=√(4+4)=2√2，BE=√(AB^2+AE^2)=√(4+1)=√5，所以A1H=BE*AA1/A1B=√5*2/2√2=√10/4。所以四棱錐A1-BECD的體積V=1/3S△BECD*A1H=1/3*1/2*2*1*√10/4=√10/12。22.（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB。又因為ABCD是矩形，所以AB⊥BC。所以BC⊥平面PAB。因為BC在平面ABE中，PE在平面PAC中，所以平面ABE⊥平面PAC。（2）求二面角A-PBC的余弦值：取BC中點F，連接PF，EF。因為PE⊥平面PAB，所以PE⊥AB。又因為AB⊥BC，所以PE⊥BC。所以∠PFB是二面角A-PBC的平面角。在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+1)=√5。在直角三角形PBC中，PB=√5，BC=1，所以PF=√(PB^2-BC^2)=√(5-1)=2。所以cos∠PFB=BC/PF=1/2。四、選做題答案及解析23.求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值：E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，所以E（2，1，1），F(xiàn)（2，-1，3）。向量EF=(