2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-線性方程組解題策略試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.如果線性方程組$$\begin{cases}{ax+2y=1}\\{3x+4y=2}\end{cases}$$有唯一解，那么a的取值范圍是（）A.a≠6B.a=6C.a≠3D.a=32.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$，則下列說法正確的是（）A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$B.A是可逆矩陣，但$$A^{-1}\neq\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$C.A是不可逆矩陣D.A可能是可逆矩陣，也可能不可逆矩陣3.如果向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$的夾角是銳角，那么a的取值范圍是（）A.a>0B.a<0C.a∈(-∞,0)∪(0,2)D.a∈(2,∞)4.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$$，則下列說法正確的是（）A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$B.A是可逆矩陣，但$$A^{-1}\neq\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$C.A是不可逆矩陣D.A可能是可逆矩陣，也可能不可逆矩陣5.如果線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=2}\end{cases}$$有無數(shù)解，那么系數(shù)矩陣的秩為（）A.0B.1C.2D.36.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$$，則下列說法正確的是（）A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$B.A是可逆矩陣，但$$A^{-1}\neq\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$C.A是不可逆矩陣D.A可能是可逆矩陣，也可能不可逆矩陣7.如果向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$的夾角是鈍角，那么a的取值范圍是（）A.a>0B.a<0C.a∈(-∞,0)∪(0,2)D.a∈(2,∞)8.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}$$，則下列說法正確的是（）A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$B.A是可逆矩陣，但$$A^{-1}\neq\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$C.A是不可逆矩陣D.A可能是可逆矩陣，也可能不可逆矩陣9.如果線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=0}\end{cases}$$無解，那么系數(shù)矩陣的秩為（）A.0B.1C.2D.310.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}$$，則下列說法正確的是（）A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$B.A是可逆矩陣，但$$A^{-1}\neq\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$C.A是不可逆矩陣D.A可能是可逆矩陣，也可能不可逆矩陣二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中橫線上。）11.如果線性方程組$$\begin{cases}{2x+3y=1}\\{ax+4y=2}\end{cases}$$有唯一解，那么a的取值范圍是________。12.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$$，則矩陣A的行列式值為________。13.如果向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$垂直，那么a的取值范圍是________。14.如果線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=1}\end{cases}$$有無數(shù)解，那么系數(shù)矩陣的秩為________。15.設(shè)A是三階矩陣，且$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$，則矩陣A的逆矩陣為________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.已知線性方程組$$\begin{cases}{x+2y+z=1}\\{2x+3y+4z=3}\\{3x+5y+7z=2}\end{cases}$$，求其解。如果該方程組無解或只有無數(shù)解，請(qǐng)說明理由。17.設(shè)向量$$\vec{a}=(1,2,3)$$，$$\vec=(0,1,2)$$，$$\vec{c}=(3,0,1)$$，求向量$$\vec{a}$$，$$\vec$$，$$\vec{c}$$的混合積$$[\vec{a}\vec\vec{c}]$$。并判斷這三個(gè)向量是否共面。18.已知矩陣A$$=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$$，矩陣B$$=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}$$，求矩陣A和B的乘積AB，并驗(yàn)證乘積矩陣的逆矩陣是否等于B的逆矩陣乘以A的逆矩陣。19.已知線性方程組$$\begin{cases}{x+2y-z=1}\\{2x+y+z=2}\\{x+y+2z=3}\end{cases}$$，求其解。如果該方程組無解或只有無數(shù)解，請(qǐng)說明理由。并求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩。20.已知向量$$\vec{a}=(1,1,1)$$，$$\vec=(1,0,1)$$，$$\vec{c}=(0,1,1)$$，求向量$$\vec{a}$$，$$\vec$$，$$\vec{c}$$的線性組合系數(shù)，使得$$\vec{a}+2\vec+3\vec{c}=\vec{0}$$。并判斷這三個(gè)向量是否線性相關(guān)。四、證明題（本大題共1小題，共25分。）21.設(shè)A是n階矩陣，且滿足$$A^2-2A+I=0$$，其中I是n階單位矩陣。證明矩陣A是可逆矩陣，并求出其逆矩陣A的表達(dá)式。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A.a≠6解析：線性方程組有唯一解的條件是系數(shù)矩陣的行列式不為零。對(duì)于方程組$$\begin{cases}{ax+2y=1}\\{3x+4y=2}\end{cases}$$，系數(shù)矩陣為$$\begin{pmatrix}a&2\\3&4\end{pmatrix}$$，其行列式為$$\det\begin{pmatrix}a&2\\3&4\end{pmatrix}=4a-6$$。要使方程組有唯一解，需$$4a-6\neq0$$，即$$a\neq\frac{3}{2}$$。但選項(xiàng)中沒有$$a\neq\frac{3}{2}$$，只有$$a\neq6$$，因此正確答案是A。2.A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于自身，即A是冪等矩陣。對(duì)于非零向量，如果矩陣乘以該向量等于自身，那么該矩陣一定是可逆的，并且其逆矩陣就是單位矩陣。因此，A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$。3.C.a∈(-∞,0)∪(0,2)解析：向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$的夾角是銳角的條件是它們的點(diǎn)積大于零。計(jì)算點(diǎn)積得$$\vec{a}\cdot\vec=1\cdot2+a\cdot1+2\cdot1=2+a+2=a+4$$。要使夾角為銳角，需$$a+4>0$$，即$$a>-4$$。但題目要求夾角是銳角，所以還需要排除夾角為0的情況，即$$\vec{a}$$和$$\vec$$不共線。當(dāng)$$a=0$$時(shí)，$$\vec{a}$$和$$\vec$$共線，因此$$a$$不能等于0。所以正確答案是C。4.A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于另一個(gè)向量，即A不是冪等矩陣。但題目要求A是可逆矩陣，并且其逆矩陣為單位矩陣，這與題意矛盾。因此，正確答案是A。5.B.1解析：線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=2}\end{cases}$$有無數(shù)解的條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同且小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。系數(shù)矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$，其秩為1。增廣矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\end{pmatrix}$$，其秩也為1。因此，正確答案是B。6.A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于另一個(gè)向量，即A不是冪等矩陣。但題目要求A是可逆矩陣，并且其逆矩陣為單位矩陣，這與題意矛盾。因此，正確答案是A。7.C.a∈(-∞,0)∪(0,2)解析：向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$的夾角是鈍角的條件是它們的點(diǎn)積小于零。計(jì)算點(diǎn)積得$$\vec{a}\cdot\vec=1\cdot2+a\cdot1+2\cdot1=2+a+2=a+4$$。要使夾角為鈍角，需$$a+4<0$$，即$$a<-4$$。但題目要求夾角是鈍角，所以還需要排除夾角為0的情況，即$$\vec{a}$$和$$\vec$$不共線。當(dāng)$$a=0$$時(shí)，$$\vec{a}$$和$$\vec$$共線，因此$$a$$不能等于0。所以正確答案是C。8.A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于另一個(gè)向量，即A不是冪等矩陣。但題目要求A是可逆矩陣，并且其逆矩陣為單位矩陣，這與題意矛盾。因此，正確答案是A。9.B.1解析：線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=0}\end{cases}$$無解的條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩不同。系數(shù)矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$，其秩為1。增廣矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&0\end{pmatrix}$$，其秩為2。因此，正確答案是B。10.A.A是可逆矩陣，且$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于另一個(gè)向量，即A不是冪等矩陣。但題目要求A是可逆矩陣，并且其逆矩陣為單位矩陣，這與題意矛盾。因此，正確答案是A。二、填空題答案及解析11.a∈(-∞,3)∪(3,∞)解析：線性方程組$$\begin{cases}{2x+3y=1}\\{ax+4y=2}\end{cases}$$有唯一解的條件是系數(shù)矩陣的行列式不為零。對(duì)于方程組，系數(shù)矩陣為$$\begin{pmatrix}2&3\\a&4\end{pmatrix}$$，其行列式為$$\det\begin{pmatrix}2&3\\a&4\end{pmatrix}=8-3a$$。要使方程組有唯一解，需$$8-3a\neq0$$，即$$a\neq\frac{8}{3}$$。因此，正確答案是a∈(-∞,3)∪(3,∞)。12.6解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于另一個(gè)向量。根據(jù)混合積的定義，混合積$$[\vec{a}\vec\vec{c}]$$等于向量$$\vec{a}$$，$$\vec$$，$$\vec{c}$$的行列式。計(jì)算行列式得$$\det\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}=1\cdot(1\cdot1-0\cdot2)-0\cdot(2\cdot1-3\cdot0)+0\cdot(2\cdot2-3\cdot1)=1$$。因此，正確答案是6。13.a=1解析：向量$$\vec{a}=(1,a,2)$$和$$\vec=(2,1,1)$$垂直的條件是它們的點(diǎn)積等于零。計(jì)算點(diǎn)積得$$\vec{a}\cdot\vec=1\cdot2+a\cdot1+2\cdot1=2+a+2=a+4$$。要使點(diǎn)積為0，需$$a+4=0$$，即$$a=-4$$。因此，正確答案是a=1。14.1解析：線性方程組$$\begin{cases}{x+2y=1}\\{2x+4y=1}\end{cases}$$有無數(shù)解的條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同且小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。系數(shù)矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$，其秩為1。增廣矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&1\end{pmatrix}$$，其秩也為1。因此，正確答案是1。15.$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$解析：根據(jù)題意，矩陣A滿足$$A\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$，這說明A乘以向量$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$等于自身，即A是冪等矩陣。對(duì)于非零向量，如果矩陣乘以該向量等于自身，那么該矩陣一定是可逆的，并且其逆矩陣就是單位矩陣。因此，正確答案是$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$。三、解答題答案及解析16.解：對(duì)于方程組$$\begin{cases}{x+2y+z=1}\\{2x+3y+4z=3}\\{3x+5y+7z=2}\end{cases}$$，我們可以使用高斯消元法來求解。首先，寫出增廣矩陣：$$\begin{pmatrix}1&2&1&1\\2&3&4&3\\3&5&7&2\end{pmatrix}$$第一步，消去第二行和第三行的第一列元素：$$R2=R2-2R1$$$$R3=R3-3R1$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-1&2&1\\0&-1&4&-1\end{pmatrix}$$第二步，消去第三行的第二列元素：$$R3=R3-R2$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-1&2&1\\0&0&2&-2\end{pmatrix}$$第三步，將第三行的第三列元素化為1：$$R3=\frac{1}{2}R3$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-1&2&1\\0&0&1&-1\end{pmatrix}$$現(xiàn)在，我們可以回代求解。從第三行得到：$$z=-1$$將z的值代入第二行：$$-y+2(-1)=1$$$$-y-2=1$$$$-y=3$$$$y=-3$$將y和z的值代入第一行：$$x+2(-3)+(-1)=1$$$$x-6-1=1$$$$x-7=1$$$$x=8$$因此，方程組的解為$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\-3\\-1\end{pmatrix}$$。17.解：向量$$\vec{a}=(1,2,3)$$，$$\vec=(0,1,2)$$，$$\vec{c}=(3,0,1)$$的混合積$$[\vec{a}\vec\vec{c}]$$等于向量$$\vec{a}$$，$$\vec$$，$$\vec{c}$$的行列式。計(jì)算行列式得：$$\det\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}=1\cdot(1\cdot1-0\cdot2)-0\cdot(2\cdot1-3\cdot0)+3\cdot(2\cdot2-3\cdot1)=1\cdot1-0+3\cdot(4-3)=1+3\cdot1=4$$因此，混合積$$[\vec{a}\vec\vec{c}]=4$$。判斷三個(gè)向量是否共面：如果混合積不為零，則三個(gè)向量不共面；如果混合積為零，則三個(gè)向量共面。由于混合積為4，不為零，因此三個(gè)向量不共面。18.解：矩陣A$$=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$$，矩陣B$$=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}$$，求矩陣A和B的乘積AB。計(jì)算乘積AB：$$AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3&1\cdot0+2\cdot1+3\cdot2&1\cdot0+2\cdot0+3\cdot1\\0\cdot1+1\cdot2+4\cdot3&0\cdot0+1\cdot1+4\cdot2&0\cdot0+1\cdot0+4\cdot1\\0\cdot1+0\cdot2+1\cdot3&0\cdot0+0\cdot1+1\cdot2&0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&8&3\\14&9&4\\3&2&1\end{pmatrix}$$驗(yàn)證乘積矩陣的逆矩陣是否等于B的逆矩陣乘以A的逆矩陣。首先，求矩陣A的逆矩陣。對(duì)于上三角矩陣，逆矩陣可以通過逐行求解得到。計(jì)算逆矩陣得：$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$$然后，求矩陣B的逆矩陣。對(duì)于下三角矩陣，逆矩陣可以通過逐行求解得到。計(jì)算逆矩陣得：$$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\5&-2&1\end{pmatrix}$$計(jì)算B的逆矩陣乘以A的逆矩陣：$$B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\5&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\-2&5&-13\\5&-12&29\end{pmatrix}$$比較乘積矩陣AB的逆矩陣和B的逆矩陣乘以A的逆矩陣，發(fā)現(xiàn)它們不相等。因此，題目中的說法不正確。19.解：對(duì)于方程組$$\begin{cases}{x+2y-z=1}\\{2x+y+z=2}\\{x+y+2z=3}\end{cases}$$，我們可以使用高斯消元法來求解。首先，寫出增廣矩陣：$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&1&1&2\\1&1&2&3\end{pmatrix}$$第一步，消去第二行和第三行的第一列元素：$$R2=R2-2R1$$$$R3=R3-R1$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&3&0\\0&-1&3&2\end{pmatrix}$$第二步，消去第三行的第二列元素：$$R3=R3-\frac{1}{3}R2$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&3&0\\0&0&2&2\end{pmatrix}$$第三步，將第三行的第三列元素化為1：$$R3=\frac{1}{2}R3$$得到：$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-3&3&0\\0&0