10.3頻率與概率題型目錄題型目錄TOC\o"11"\h\u【題型1】頻率的穩(wěn)定性 2【題型2】游戲公平性的判斷 5【題型3】用隨機模擬試驗估計概率 9【跟蹤訓練】 13知識梳理知識梳理知識點一頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).知識點一用隨機模擬試驗估計概率1.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù).(2)構建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù).2.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的頻率來估計概率，這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.方法歸納方法歸納頻率是概率的試驗值，概率是頻率的穩(wěn)定值.題型1題型1題型題型【題型1】頻率的穩(wěn)定性1.頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.2.頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.3.概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關．典型例題典型例題例1： （2024秋?湖北期末）利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數(shù)為20，100，500時各做5組試驗，得到事件“一個正面朝上，一個反面朝上”．發(fā)生的頻數(shù)和頻率表如下：序號頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506根據(jù)以上信息，下面說法正確的有A．試驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性 B．試驗次數(shù)較小時，頻率波動較大試驗次數(shù)較大時，頻率波動較??；所以試驗次數(shù)越少越好 C．隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近 D．我們要得到某事件發(fā)生的概率時，只需要做一次隨機試驗，得到事件發(fā)生的頻率即為概率【答案】【分析】利用題中統(tǒng)計數(shù)表中的數(shù)據(jù)變化趨勢，對四個選項逐一分析判斷即可．【解答】解：對于，實驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性，故選項正確；對于，實驗次數(shù)較小時，頻率波動較大；實驗次數(shù)較大時，頻率波動較小；所以實驗時，實驗次數(shù)越多越好，故選項錯誤；對于，隨機事件發(fā)生的頻率會隨著實驗次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值（即隨機事件發(fā)生的概率）附近，故選項正確，選項錯誤．故選：．變式訓練變式訓練例1：【變式練1】某質檢員從一批種子中抽取若干組種子，在同一條件下進行發(fā)芽試驗，有關數(shù)據(jù)如表（單位：粒）種子粒數(shù)257013070020003000發(fā)芽粒數(shù)246011663918062713發(fā)芽率0.96（2）根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子的發(fā)芽率．【變式練2】（2024春?華陰市期末）在天氣預報中，有“降水概率預報”．例如，預報“明天降水概率為”，這是指A．明天該地區(qū)有的地區(qū)降水，其他地區(qū)不降水 B．明天該地區(qū)約有的時間降水，其他時間不降水 C．氣象臺的專家中，有的人認為會降水，另外的專家認為不降水 D．明天該地區(qū)降水的可能性為【變式練3】（2024秋?漢中期末）下面說法錯誤的有A．設一批產(chǎn)品的次品率，則從中任取10件，必有1件是次品 B．天氣預報：“明天降雨概率為”，則明天可能不下雨 C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率 D．做8次拋硬幣的試驗，結果5次出現(xiàn)正面，則拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是題型2題型2題型題型【題型2】游戲公平性的判斷游戲規(guī)則公平的判斷標準及判斷方法：(1)在各類游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的，這就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等.(2)具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．典型例題典型例題例1： （2024春?秦州區(qū)月考）張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是①拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝；②同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲勝；③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是黑色的則張華獲勝；④張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則張華獲勝．A．①② B．② C．②③④ D．①②③④【分析】在四個選項中分別求出張明和張華獲勝的概率，由此能求出結果．【解答】解：張明與張華兩人做游戲，在①中，拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝，在②中，同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲勝，在③中，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是黑色的則張華獲勝，在④中，張明、張華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則張華獲勝．故選：．變式訓練變式訓練例1：【變式練1】一個游戲包含兩個隨機事件和，規(guī)定事件發(fā)生則甲獲勝，事件發(fā)生則乙獲勝．判斷游戲是否公平的標準是事件和發(fā)生的概率是否相等．在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次．據(jù)此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的．你更支持誰的結論？為什么？（Ⅰ）甲、乙兩人用這枚骰子玩游戲，并規(guī)定：擲一次骰子后，向上點數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請問這樣的規(guī)則對甲、乙二人是否公平，并說明理由；（Ⅱ）甲、乙、丙三人用這枚骰子玩游戲，根據(jù)擲一次后向上的點數(shù)決定勝出者，并制定了公平的游戲方案，試在下面的表格中列舉出兩種可能的方案（不必證明）方案序號甲勝出對應點數(shù)乙勝出對應點數(shù)丙勝出對應點數(shù)【變式練3】（2024秋?廈門期末）某港口船舶?？康姆桨甘窍鹊较韧＃á瘢┤艏滓覂伤掖瑫r到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機選一個數(shù)，若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則甲先?？浚蝗魞蓴?shù)之和為偶數(shù)，則乙先停靠，這種對著是否公平？請說明理由．題型3題型3題型題型【題型3】用隨機模擬試驗估計概率用隨機數(shù)模擬法求事件概率的方法在使用整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪個代表試驗結果.(1)試驗的基本結果是等可能時，樣本點的總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個樣本點.(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)．典型例題典型例題例1：603099316696851916062107493977329906355860375107347467822166根據(jù)隨機數(shù)估計甲獲勝的概率為A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85【答案】【分析】根據(jù)題意，結合隨機數(shù)的含義，分析20組隨機數(shù)中，表示甲獲勝的組數(shù)，由古典概型公式計算可得答案【解答】解．根據(jù)題意，20組隨機數(shù)中，除099，977外，表示甲獲勝的共有18組，故選：．變式訓練變式訓練例1：【變式練1】（2024秋?四川期末）一個袋子中有紅、黃、藍、綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件，用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表紅、黃、藍、綠四個小球，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取小球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計事件發(fā)生的概率為．【變式練2】（2024春?太原期末）某場乒乓球單打比賽按三局兩勝的賽制進行，甲乙兩人參加比賽．已知每局比賽甲獲勝的概率為0.4，乙獲勝的概率為0.6．現(xiàn)用計算機產(chǎn)生之間的整數(shù)隨機數(shù)，當出現(xiàn)1或2時，表示此局比賽甲獲勝，當出現(xiàn)3，4或5時，表示此局比賽乙獲勝．在一次試驗中，產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下：534123512114125334432332314152423443423344541453525151354345根據(jù)以上數(shù)據(jù)，利用隨機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率為A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.76【變式練3】（2024春?涼州區(qū)期末）天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為A． B． C． D．跟蹤訓練跟蹤訓練10.3頻率與概率一．選擇題（共10小題）1．（2024?全國二模）天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為0.6．我們通過設計模擬實驗的方法求概率，利用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為A． B． C． D．95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935據(jù)此用頻率估計四天中恰有三天下雨的概率的近似值為A． B． C． D．3．（2023春?東安區(qū)期末）已知某人射擊每次擊中目標的概率都是0.6，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示擊中目標，6，7，8，9表示未擊中目標；因為射擊3次，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：169966151525271935592408569683471257333027554488730863537039據(jù)此估計的值為A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75A． B． C． D．5．（2022秋?廣東期末）某地天氣預報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機模擬的方法估計未來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機產(chǎn)生之間的隨機整數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機數(shù)一組，表示一次模擬的結果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機數(shù)．522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為A． B． C． D．6．（2023春?郫都區(qū)月考）某同學根據(jù)以下實驗來估計圓周率的值，每次用計算機隨機在區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，共進行了1000次實驗，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)與3為邊長能構成鈍角三角形的情況有280種，則由此估計的近似值為A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.157．（2023春?門頭溝區(qū)期中）袋子中有四張卡片，分別寫有“中、華、文、明”四個字，有放回地每次從中任取一張卡片，共取三次．將三次抽取后“中，華”兩個字都取到記為事件，用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表“中、華、文、明”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取卡片三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計事件發(fā)生的概率為A． B． C． D．8．（2023春?瓊山區(qū)期中）已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至多擊中1次的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至多擊中1次的概率為A．0.95 B．0.1 C．0.15 D．0.059．（2022秋?蓮池區(qū)期末）某人從一袋黃豆中取出20粒染成藍色后放回袋中并混合均勻，接著抓出100粒黃豆，數(shù)出其中有5粒藍色的黃豆，則估計這袋黃豆約有A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒10．（2022秋?豐城市期末）下列敘述：①某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”是互斥事件；②甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標”與“沒有人射中目標”是對立事件；③拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，則第5次出現(xiàn)反面向上的概率大于；④在相同條件下，進行大量重復試驗，可以用頻率來估計概率；則所有正確結論的序號是A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②二．多選題（共4小題）（多選）11．（2022秋?十堰期中）關于隨機數(shù)的說法不正確的是A．隨機數(shù)就是隨便取的一些數(shù)字 B．隨機數(shù)是用計算機或計算器隨便按鍵產(chǎn)生的數(shù) C．用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)為偽隨機數(shù) D．不能用偽隨機數(shù)估計概率（多選）12．（2021秋?禪城區(qū)月考）下列說法中錯誤的有A．任何事件的概率總是在之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關 C．隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率 D．概率是隨機的，在試驗前不能確定（多選）13．關于頻率和概率，下列說法正確的是A．某同學投籃三次，命中兩次，則該同學每次投籃的命中率為 B．數(shù)學家皮爾遜曾經(jīng)做過兩次試驗，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5005．如果他拋擲36000次硬幣，那么得到正面向上的頻率可能大于0.5005 C．某類種子發(fā)芽的概率為0.903，若我們抽取2000粒種子試種，則一定會有1806粒種子發(fā)芽 D．拋擲一枚質地均勻的骰子6000次，則出現(xiàn)點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000（多選）14．概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，通過實驗中某事件發(fā)生的頻率，進而用頻率得到某事件的概率的估計值．利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數(shù)為20，100，500時各做5組試驗，記事件為“一個正面朝上，一個反面朝上”，得到事件發(fā)生的頻數(shù)和頻率如表：序號頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45550.552410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折線圖表示頻率的波動情況如圖所示：根據(jù)以上信息，下列說法正確的有A．試驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性 B．試驗次數(shù)較少時，頻率波動較大；試驗次數(shù)較多時，頻率波動較小，所以試驗次數(shù)越少越好 C．隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值（即隨機事件發(fā)生的概率）附近 D．要得到某事件發(fā)生的概率，只需要做一次隨機試驗得到事件發(fā)生的頻率，這個頻率即為概率三．填空題（共4小題）32819522001874720129387958692436846039909533798026928280075384258935388278905987據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為．16．（2024秋?漢臺區(qū)月考）一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如表：，，，，，，，1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在，內(nèi)的頻率為．17．（2023秋?涪城區(qū)期末）甲、乙兩名運動員進入男子羽毛球單打決賽，假設比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝．由于要比賽3局，所以每3個隨機數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為．18．（2025春?普陀區(qū)期中）如果將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲10次，那么第9次出現(xiàn)反面朝上的概率是．四．解答題（共6小題）19．（2023?甘肅一模）某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為，，三個等級．加工業(yè)務約定：對于級品、級品、級品，廠家每件分別收取加工費80元，50元，30元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務，甲分廠加工成本費為40元件，乙分廠加工成本費為35元件．該廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級頻數(shù)453025乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級頻數(shù)401050（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務？20．（2023?大連月考）某品牌電視專賣店，在“五一”期間設計一項有獎促銷活動：每購買一臺電視，即可通過電腦產(chǎn)生一組3個數(shù)的隨機數(shù)組，根據(jù)下表兌獎：隨機數(shù)組的特征3個數(shù)字均相同恰有2個數(shù)字相同其余情況獎金（單位：元）5002000商家為了了解計劃的可行性，估計獎金數(shù)，進行了隨機模擬試驗，產(chǎn)生20組隨機數(shù)組，每組3個數(shù)，試驗結果如下所示：975，146，858，513，277，645，903，756，111，783，834，527，060，089，221，368，054，669，863，175．（Ⅰ）請根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計：若活動期間商家賣出100臺電視應付出獎金多少元？（Ⅱ）在以上模擬數(shù)據(jù)的前5組數(shù)中，隨機抽取2組數(shù)，試寫出所有的基本事件，并求至少有一組獲獎的概率．（1）隨機取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的概率；（2）該品牌燈泡壽命超過2800小時的概率為．我們通過設計模擬試驗的方法解決“隨機取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率”問題．利用計算器可以產(chǎn)生0到9十個隨機數(shù)，我們用1，2，3，4表示壽命超過2800小時，用5，6，7，8，9，0表示壽命沒有超過2800小時．因為是三個燈泡，所以每三個隨機數(shù)一組．例如，產(chǎn)生20組隨機數(shù)907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989就相當于做了20次試驗．估計三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率．22．（2022秋?江西月考）某人某天的工作是：駕車從地出發(fā)，到、兩地辦事，最后返回地，，，三地之間各路段行駛時間及當天降水概率如表：路段正常行駛所需時間（小時）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時間需延長1小時．現(xiàn)有如下兩個方案：方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事，然后到達地，下午在地辦事后返回地；方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達地，辦事后返回地．設此人8點從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時間為2小時．05269370602235851513920351597759567806835291057074