第08講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式本講義亮度：1構(gòu)建知識(shí)體系明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，深入淺出，力求打扎實(shí)基礎(chǔ)；2例題經(jīng)典力求熟練掌握各?？碱}型，提高分析能力；【題型一】解不含參的一元二次不等式【題型二】三個(gè)“二次”之間的關(guān)系【題型三】解含參的一元二次不等式【題型四】一元二次不等式恒成立問(wèn)題【題型五】一元二次不等式在某區(qū)間有解問(wèn)題【題型六】一元二次方程根的分布問(wèn)題3課后分層練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容.1.通過(guò)函數(shù)圖象理解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的緊密聯(lián)系，理解一元二次不等式的幾何意義；2.掌握一元二次不等式的一般解法，并能用集合表示，能運(yùn)用三個(gè)“二次”的關(guān)系解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的不等式恒成立及問(wèn)題的解法；【題型一】解不含參的一元二次不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解1一元二次不等式的概念(1)定義一般地，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式；(2)一般形式：ax2+bx+c>0(≥0)，a2一元二次不等式及其解法①二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：(以下均以a>0為例)判別式?=?>0?=0?<0二次函數(shù)y=ax的圖象一元二次方程ax有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根x(有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax{x|x<{x|x≠-R一元二次不等式ax{x|??【典題1】（2025·江西上饒·一模）已知集合M=xx2-6x-7<0，N=x2x>a，若M?N，則實(shí)數(shù)A．-∞,14 B．-∞,14 C．【答案】D【分析】解不等式求得集合M,N，由M?N，可得a2≤-1【詳解】由x2-6x-7<0，得(x-7)(x+1)<0，解得-1<x<7，所以N=x|2x>a由M?N，所以a2≤-1，解得a≤-2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：D.變式練習(xí)1（2425高一上·重慶·期中）不等式x2-3x-4<0的解集為（A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1}C．{x|x>4或x<-1} D．{x|x>1或x<-4}【答案】A【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由x2-3x-4<0，可得x-4x+1所以不等式x2-3x-4<0的解集為故選：A.2（2425高三下·四川樂(lè)山·期末）已知集合A={x|x2-x-6<0}，B=x|2-x>1，則A．{x|-2<x<1} B．{x|-3<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|1<x<3}【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合A，利用交集的意義可求A∩B.【詳解】由x2-x-6<0，得x-3x+2所以A={x|-2<x<3}，又因?yàn)锽={x|x<1}，則A∩B={x|-2<x<1}.故選：A.3（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）不等式x-1x-3≤0的解集是（A．(-∞,1)∪[3,+∞C．[1,3) D．[1,3]【答案】C【分析】直接解分式不等式求解即可.【詳解】x-1x-3所以不等式x-1x-3≤0的解集為故選：C.【題型二】三個(gè)“二次”之間的關(guān)系【典題1】（2425高一上·陜西·期末）若關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0的解集為x-1<x<2，則A．-1,2 B．-C．-2,1 D．-【答案】B【分析】利用韋達(dá)定理用a表示b,c，代入所求不等式得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】由不等式ax2-bx+c>0則a<0ba=1所以不等式bx2-ax+c<0，即為a所以x2-x-2>0，解得x<-1或所以不等式bx2-ax+c<0故選：B.變式練習(xí)1（2425高一上·河北唐山·期末）若不等式ax2+bx+4>0的解集為{x|-1<x<4}，則不等式(x-a)(x+b)>0A．{x|-3<x<1} B．{x|x>3或x<1}C．{x|-3<x<-1} D．{x|x<-3或x>-1}【答案】D【分析】利用三個(gè)二次的關(guān)系推得方程ax2+bx+4=0有兩根為-1和4，由韋達(dá)定理求出【詳解】由題意，方程ax2+bx+4=0有兩根為-1故由韋達(dá)定理，-ba=3則不等式(x-a)(x+b)>0即(x+1)(x+3)>0，解得x<-3或x>-1.故選：D.2（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0的解集為{x∣x<-1或x>3}A．a(chǎn)>0B．c<0C．a(chǎn)+b+c>0D．cx2【答案】C【分析】利用三個(gè)二次的關(guān)系分析得到a<0，b=-2a,c=-3a，即可判斷AB；對(duì)于C，由1?{x∣x<-1或x>3}可得a+b+c>0；對(duì)于D，利用前面已得結(jié)論，消元后解一元二次不等式即得.【詳解】由題意知，-1和3是方程ax2+bx+c=0則有-1+3=-ba,-1對(duì)于AB，由a<0和b=-2a,c=-3a，可推得b>0,c>0，故AB均錯(cuò)誤；對(duì)于C，因1?{x∣x<-1或x>3},故a+b+c>0，故C正確；對(duì)于D，由上分析，不等式cx2-bx+a<0因a<0,，故可解得-13<x<1，即cx2-bx+a<0故選：C.3（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的不等式ax2+2bx+4≤0的解集為x?m≤x≤4mA．2 B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系可得a=1,b=-m2-2【詳解】由題意得，a>0，方程ax2+2bx+4=0∴m?4m=4∵m<0，m≤4m，∴∴b=-m2-2m∴b的最小值為2.故選：C.4（2223高一上·遼寧遼陽(yáng)·期中）已知關(guān)于x的不等式ax2-bx+1>0的解集為-∞,2mA．4 B．22 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定2m,m為ax2-bx+1=0的兩根，求得【詳解】由題意關(guān)于x的不等式ax2-bx+1>0的解集為-可知a>0，且2m,m為ax即2m+m=ba所以b+1m=故選:C.【題型三】解含參的一元二次不等式【典題1】（2425高一上·山東臨沂·期中）已知關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有5個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．(6,7] B．[-5,-4)C．[-5,-4)∪(6,7] D．(-5,-4]∪[6,7)【答案】C【分析】先求出方程x2-(a+1)x+a=0的根，接著分類討論求出a<1、a=1和a>1【詳解】解方程x2-(a+1)x+a=0得當(dāng)a<1時(shí)，不能等式x2-(a+1)x+a<0解集為因?yàn)椴坏仁角∮?個(gè)整數(shù)解，則這5個(gè)整數(shù)解為-4,-3,-2,-1,0，所以-5≤a<-4，符合；當(dāng)a=1時(shí)，不等式x2-(a+1)x+a<0解集為當(dāng)a>1時(shí)，不等式x2-(a+1)x+a<0解集為因?yàn)椴坏仁角∮?個(gè)整數(shù)解，則這5個(gè)整數(shù)解為2,3,4,5,6，所以6<a≤7，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-5,-4)∪(6,7].故選：C.變式練習(xí)1（2025高一上·河北保定·專題練習(xí)）若0<t<1，則關(guān)于x的不等式(x-t)(x-1t)<0A．{x|1t<x<t}C．{x|x<1t或【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，比較t,1t【詳解】當(dāng)0<t<1時(shí)，1t>1>t>0，解(x-t)(x-1所以不等式(x-t)(x-1t)<0故選：D2（2425高一上·陜西渭南·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式ax2+2a-1x-2>0A．-∞,-2 BC．-∞,-2∪【答案】C【分析】考慮a=0和a<0兩種情況，當(dāng)a<0時(shí)將不等式變形為x+2x-1a<0，根據(jù)根的大小關(guān)系得到a∈-1【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，不等式ax2+2a-1x-2>0故不等式的解集為-∞,-2，故當(dāng)a<0時(shí)，ax2+當(dāng)a∈-12,0時(shí)，x+2x-當(dāng)a=-12時(shí)，不等式當(dāng)a∈-∞,-12時(shí)，x+2x-故選：C3（2425高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（A．-1<a≤0或2≤a<3 B．-2≤a<-1或3<a≤4C．-2<a≤-1或3≤a<4 D．-1≤a<0或2<a≤3【答案】B【分析】根據(jù)含參的一元二次不等式的解法，分類討論求出不等式的解集，然后分析該集合中能含有哪兩個(gè)整數(shù)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】由題意得，原不等式可轉(zhuǎn)化為x-1x-a當(dāng)a>1時(shí)，解得1<x<a，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，則3<a≤4；當(dāng)a<1時(shí)，解得a<x<1，此時(shí)解集中的整數(shù)為0，-1，則-2≤a<-1；當(dāng)a=1時(shí)，不等式為x-12<0綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|-2≤a<-1或3<a≤4故選：B．【題型四】一元二次不等式恒成立【典題1】（2425高三上·河南許昌·期中）?x∈-2,+∞，x2+4-aA．3 B．3 C．23 D．【答案】C【分析】分離參數(shù)變?yōu)閍≤x2+4x+7x+2在-2,+【詳解】?x∈-2,+∞，即x2+4x+7≥ax+2所以a≤x2+4x+7又x+2+3x+2≥2x+2所以a≤23，則實(shí)數(shù)a的最大值為2故選：C變式練習(xí)1（2025高一上·河北保定·專題練習(xí)）一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為RA．a(chǎn)>0b2-4ac>0C．a(chǎn)>0b2-4ac<0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立計(jì)算即可得出參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)橐辉尾坏仁絘x2+bx+c<0則必有開(kāi)口向下，且與x軸無(wú)交點(diǎn)即判別式小于0，所以a<0，且b2故選：B.2（2425高一上·重慶·期末）若不等式a-2x2-2a-2x-4<0對(duì)一切x∈RA．-∞,-2∪C．-2,2 D．-2,2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次不等式恒成立問(wèn)題求解.【詳解】當(dāng)a=2時(shí)，-4<0恒成立，則a=2；當(dāng)a≠2時(shí)，a-2<0Δ=4(a-2)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,2].故選：D3（2425高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）若命題“?x∈0,?3,?xA．-1 B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】若命題“?x∈0,?則?x∈0,3，x2-2x-a≤0tx=x2-2x=當(dāng)x=3時(shí)，tx故a≥3，則實(shí)數(shù)a的最小值是3.故選：D.4（2223高二上·四川德陽(yáng)·期末）若p:-2≤a≤2,?q:x2-ax+1≥0在0,+∞恒成立，則A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由x2-ax+1≥0在0,+∞恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤x【詳解】若x2-ax+1≥0在則a≤x2+1由x>0得x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=所以a≤2，則p:-2≤a≤2是q:a≤2的充分不必要條件.故選：A.【題型五】一元二次不等式在某區(qū)間有解問(wèn)題【典題1】（2324高一上·北京·期中）已知存在x∈0,1，使得x2-4x≥m2A．0,1 B．1,3 C．0,4 D．0,+【答案】C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)max【詳解】依題意，令f(x)=x則f(x)=x2-4x=所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則fx因?yàn)榇嬖趚∈[0,1]，使得x2所以f(x)max≥即m(m-4)≤0，解得0≤m≤4，所以m的取值范圍是0,4，故選：C.變式練習(xí)1（2425高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-4x>a2-5a在區(qū)間0,4A．0,5 B．1,4C．(-∞，0)∪(5，【答案】A【分析】求得x2-4x的最大值，由此列不等式來(lái)求得m【詳解】x2-4x=x-22-4,x∈x2-4x取得最大值為由于關(guān)于x的不等式x2-4x>a所以a2-5a<0,aa-5故選：A2（2324高二上·浙江·期中）若關(guān)于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在區(qū)間1,4上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（A．9 B．6 C．214 D．【答案】D【分析】問(wèn)題化為m+1≥x+9x在區(qū)間[1,4]【詳解】關(guān)于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在區(qū)間等價(jià)于(m+1)x≥x2+9在區(qū)間[1,4]上有解，即m+1≥x+又x+9x≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，故m+1≥6，可得m≥5.故選：D【題型六】一元二次方程根的分布問(wèn)題【典題1】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x2+(m-3)x+m=0滿足下列條件，求(1)有兩個(gè)正根；(2)一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1；(3)一個(gè)根在(-2,0)內(nèi)，另一個(gè)根在(0,4)內(nèi)；(4)一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于4；【答案】(1)(0,1](2)(-(3)(-(4)(-【分析】令f(x)=x2+(m-3)x+m，設(shè)f(x)=0的兩個(gè)根為【詳解】（1）解：令f(x)=x2+(m-3)x+m，設(shè)f(x)=0則滿足x1+x所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1].（2）解：若方程x2+(m-3)x+m=0的一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于則滿足f(1)=2m-2<0，解得m<1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞（3）解：若方程x2+(m-3)x+m=0一個(gè)根在(-2,0)內(nèi)，另一個(gè)根在則滿足f-2=10-m>0f所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-4（4）解：若方程x2+(m-3)x+m=0的一個(gè)根小于2，一個(gè)根大于則滿足f2=3m-2<0f4=5m+4<0，解得m<-變式練習(xí)1（2425高一上·河南·階段練習(xí)）已知一元二次方程x2+a2+1x+a-2=0的一根比1大，另一根比A．a(chǎn)-3<a<1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)-1<a<0 D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根與二次函數(shù)的關(guān)系，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】記y=x要使方程的根一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則只需要x=1時(shí)，y<0即可，即1+a2+1+a-2<0，解得-1<a<0，所以實(shí)數(shù)故選：C.2（2425高一上·浙江·期中）關(guān)于x的方程x2+a-2x+5-a=0有兩根，其中一根小于2，另一根大于3，則實(shí)數(shù)A．{a|a<-5或a>-4} B．a(chǎn)C．a(chǎn)a<-5 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合一元二次函數(shù)及其方程的性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組，即可求解．【詳解】設(shè)f(x)=x則由題意可知f(2)<0f(3)<0Δ=(a-2)2故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<-5}.故選：C．3（2425高一上·甘肅金昌·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x(1)若方程滿足一個(gè)根在-2,0內(nèi)，另一個(gè)根在0,4內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根，求m的取值范圍.【答案】(1)-(2)-【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及一元二次方程根的分布求解即可；（2）分方程有兩非負(fù)實(shí)根，有一負(fù)實(shí)根和一零根，有一正一負(fù)實(shí)根，三種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及一元二次方程根的分布求解即可.【詳解】（1）若方程x2+m-3x+m=0一個(gè)根在令fx則f-2=10-m>0f即m的取值范圍是-4（2）①若方程有兩非負(fù)實(shí)根，則Δ=m-32-4m≥0②若方程有一負(fù)實(shí)根，一零根，則，-m-3③若方程有一正一負(fù)實(shí)根，則f0=m<0，解得綜上所述，m的取值范圍為-∞【A組基礎(chǔ)題】1（2425高三上·浙江·期末）集合A=-2,-1,0,1,2，B={x|x2A．-1,0,1,2 B．-2,-1,0,1 C．0,1 D．-2,-1,0,1,2【答案】A【分析】先解一元二次不等式，得集合B,再由交集定義計(jì)算即得.【詳解】∵B={x|∴A∩B=故選：A.2（2324高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解為x-2<x<3，那么A．xx>3或x<-2C．x-2<x<3 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.【詳解】一元二次不等式ax2+bx+c>0所以ax2+bx+c=0的解為x由韋達(dá)定理得x1ax故選：D.3（2425高一上·海南?？凇て谥校┟}“?x∈R，12x2+x-A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)>-3 D．a(chǎn)>-2【答案】D【分析】由存在命題、判別式以及充要條件的性質(zhì)求解即可；【詳解】由題意可得Δ=1-4×12故選：D.4（2425高一上·湖南湘潭·期末）“a>2”是“關(guān)于x的不等式x2-a+2x+2a<0有解A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件【答案】D【分析】應(yīng)用一元二次不等式的解的情況計(jì)算求參結(jié)合充分不必要條件定義判斷即可.【詳解】若關(guān)于x的不等式x2-a+2x+2a<0有解，則由“a>2”可以推出“a≠2”，由“a≠2”不能推出“a>2”，所以“a>2”是“關(guān)于x的不等式x2-a+2故選：D.5（多選）（2425高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2+a+1A．當(dāng)a=3時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根B．a(chǎn)≤-1是方程有實(shí)根的必要不充分條件C．該方程不可能有兩個(gè)不等正根D．該方程不可能有兩個(gè)不等負(fù)根【答案】AC【分析】當(dāng)a=3時(shí)，計(jì)算判別式可判斷A選項(xiàng)；由Δ≥0求出a的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理可判斷CD選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)a=3時(shí)，方程為x2+4x+4=0，則因此，當(dāng)a=3時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若關(guān)于x的方程x2則Δ=a+12-4a+1因?yàn)閍a≤-1是aa≤-1或所以，a≤-1是方程有實(shí)根的充分不必要條件，B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，若方程x2則Δ=a+12-4a+1設(shè)關(guān)于x的方程x2+a+1x+a+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根分別為若方程有兩個(gè)不等正根，則x1+x若方程有兩個(gè)不等負(fù)根，則x1+x2=-所以，方程可能有兩個(gè)不等負(fù)根，D錯(cuò).故選：AC.6（2025·遼寧·二模）命題p:“?x∈-1,3，x2-2x-m≤0”是假命題，則m【答案】-∞,-1【分析】根據(jù)題意，?p為真命題，恒成立問(wèn)題分離參數(shù)求解.【詳解】由題，?p:?x∈-1,3所以m<x2-2x又y=x2-2x在x∈∴m<-1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞故答案為：-∞7（2425高一上·江蘇南京·自主招生）x4-5x2+k=0有四個(gè)解x1【答案】9【分析】根據(jù)題意，設(shè)t=x2>0，由換元法結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，可得【詳解】根據(jù)題意可知0不是方程的根，否則方程只有三個(gè)根，設(shè)t=x2>0設(shè)t2-5t+k=0兩根為t1∴t1+又x2=t，∴x設(shè)t1<t2，∴四根依次為-t2，∵x4-∴t2=9∴t1+9∵t1t故答案為：948（2425高一上·福建廈門·期中）關(guān)于x的不等式ax2(1)若此不等式對(duì)于一切x∈R都成立，求a的取值范圍；(2)若此不等式解集為xx<1或x>b，求a,b的值【答案】(1)aa>(2)a=1,b=3.【分析】（1）分a=0與a≠0討論即可求解；（2）由題意可得a>0，且1,b是方程ax2【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，-4x+3>0不恒成立，故舍去；當(dāng)a≠0時(shí)，a>0-42-4a×3=16-12a<0綜上所述，a的取值范圍為aa>（2）因?yàn)閍x2-4x+3>0a∈R的解集為則a>0，且1,b是方程ax則1+b=4a1×b=9（2324高二下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）關(guān)于x的方程x2+m-3x+m=0(1)有兩個(gè)正根；(2)一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1；(3)一個(gè)根在-2,0內(nèi)，另一個(gè)根在0,4內(nèi)；【答案】(1)0<m≤1；(2)m<1(3)-4【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理和根的判別式得到不等式，求出0<m≤1；（2）令fx=x2+m-