濟(jì)寧市高二學(xué)生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.“x>1”是“x2>1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.已知點(diǎn)P(a,b)在直線x+y=1上，則|OP|的最小值為（）

A.√2/2

B.1

C.√3/2

D.2

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”的概率是（）

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

7.若數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n,則a?的值為（）

A.25

B.30

C.35

D.40

8.過點(diǎn)(1,2)且與直線3x-4y+5=0平行的直線方程是（）

A.3x-4y-5=0

B.3x-4y+5=0

C.4x-3y+5=0

D.4x-3y-5=0

9.在△ABC中，若角A=60°,角B=45°,邊BC=√2,則邊AC的值為（）

A.1

B.√3

C.2

D.√2

10.已知f(x)=e^x,g(x)=log?(x),則函數(shù)h(x)=f(g(x))的反函數(shù)是（）

A.e^x

B.log?(x)

C.x

D.-x

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.y=2x+1

B.y=(1/3)^x

C.y=x2

D.y=log?(x)

2.若α是第四象限角，且sin(α)=-1/2,則cos(α)的值可以是（）

A.√3/2

B.-√3/2

C.1/2

D.-1/2

3.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值和f(x)的極值分別為（）

A.a=3,極小值=0

B.a=3,極大值=0

C.a=-3,極小值=3

D.a=-3,極大值=3

4.從一副完整的撲克牌中（除去大小王）隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌是紅桃或黑桃的概率為（）

A.1/4

B.1/2

C.1/13

D.13/52

5.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=2,a?=10,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??為（）

A.50

B.55

C.60

D.65

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-(a+1)y+9=0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值為__________。

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為__________。

3.若α是銳角，且tan(α)=√3，則sin(α)的值為__________。

4.在△ABC中，若邊a=3,邊b=2,角C=60°，則邊c的長度為__________。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=n2-n+1，則數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?=__________(用n表示)。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-3*2^x+1=0

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+2)，求f(0)+f(1)+f(2)+...+f(9)的值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，cosC=1/2，求△ABC的面積。

4.某班級有男生30人，女生20人，現(xiàn)要隨機(jī)選出3人參加活動，求選出的3人中恰好有1名女生的概率。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+2n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.C

3.A

4.A

5.A

6.C

7.B

8.D

9.B

10.C

解題過程：

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0，即x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。由A∩B={1}，得1∈B，即a*1=1，故a=1。檢驗(yàn)當(dāng)a=1時，B={1,2}，滿足A∩B={1}。若a=-1，B為空集，不滿足。若a=2，B={1/2}，A∩B={1}。若a=-2，B={-1/2}，A∩B為空集。故a=2。

3.若x>1，則x2>1。但若x2>1，則x>1或x<-1，不滿足x>1。故“x>1”是“x2>1”的充分不必要條件。

4.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。此處ω=2，故T=2π/2=π。

5.點(diǎn)P(a,b)在直線x+y=1上，即a+b=1。|OP|2=a2+b2。利用基本不等式(a+b)2≥4ab，有1=a+b≤√(2(a2+b2))，即2(a2+b2)≥1，a2+b2≥1/2。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1/2。故|OP|的最小值為√(1/2)=√2/2。

6.骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，總共有6種等可能結(jié)果。出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的結(jié)果有2,4,6，共3種。故概率為3/6=1/2。

7.a?=S?-S?=52+5-(42+4)=25+5-16-4=30。

8.直線3x-4y+5=0的斜率為3/4。與之平行的直線斜率相同，且過點(diǎn)(1,2)。設(shè)方程為3x-4y+c=0。代入(1,2):3*1-4*2+c=0,3-8+c=0,c=5。故方程為3x-4y+5=0。但此方程與原方程相同，需過點(diǎn)(1,2)，故應(yīng)為3x-4y-3*1+4*2=0，即3x-4y-3+8=0，即3x-4y+5=0。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為過(1,2)的平行線，即3x-4y-5=0。

9.由sinA/BC=sinB/AC，得sin60°/√2=sin45°/AC?！?/2/√2=√2/2/AC。AC=(√2/2)/(√3/2√2)=(√2/2)*(2√2/√3)=2/√3=2√3/3。檢查選項(xiàng)，無此值。重新審題，sin60°/√2=sin45°/AC=>AC=(√2/2)/(√3/2)=√2/√3=√6/3。仍不符。檢查題目條件，角B=45°，邊BC=√2，邊AC=sin60°/sin45°*BC=(√3/2)/(√2/2)*√2=√3。選項(xiàng)B正確。

10.h(x)=f(g(x))=f(log?(x))=e^(log?(x))=x。函數(shù)y=x的反函數(shù)是其本身。故h(x)的反函數(shù)是y=x。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,D

2.B,D

3.A,D

4.B,D

5.B,C

解題過程：

1.A.y=2x+1，斜率k=2>0，是增函數(shù)。D.y=log?(x)，底數(shù)2>1，在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)。B.y=(1/3)^x，底數(shù)1/3<1，是減函數(shù)。C.y=x2，開口向上，對稱軸x=0，在(-∞,0)上減，在(0,+∞)上增。故選A,D。

2.第四象限角α滿足cos(α)>0,sin(α)<0。sin(α)=-1/2<0符合。根據(jù)sin2(α)+cos2(α)=1，有cos2(α)=1-sin2(α)=1-(-1/2)2=1-1/4=3/4。cos(α)=±√(3/4)=±√3/2。由于α在第四象限，cos(α)>0，故cos(α)=√3/2。選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)D-1/2<0，符合sin(α)<0，但cos2(α)=1-(-1/2)2=3/4，cos(α)=√3/2≠-1/2。故選項(xiàng)D錯誤。選項(xiàng)B正確。

3.f'(x)=3x2-a。由題意，x=1處取得極值，故f'(1)=0。3*12-a=0=>3-a=0=>a=3。檢驗(yàn)極值性質(zhì)，f''(x)=6x。當(dāng)x=1時，f''(1)=6*1=6>0，故x=1處取得極小值。極小值為f(1)=13-3*1+1=1-3+1=-1。選項(xiàng)A、B的a值正確，但極值值錯誤。選項(xiàng)C、D的a值錯誤。此題無正確選項(xiàng)。需要修正題目或選項(xiàng)。

4.一副撲克牌有52張（除去大小王）。紅桃有13張，黑桃有13張。抽到紅桃或黑桃的事件是互斥且完備的，即所有可能結(jié)果被分為紅桃和黑桃兩類。故概率為紅桃概率+黑桃概率=13/52+13/52=26/52=1/2。選項(xiàng)B正確。另一種方法是計算不是紅桃或黑桃的概率，即抽到方片或梅花的概率，共26張，概率為26/52=1/2。故抽到紅桃或黑桃的概率為1-1/2=1/2。選項(xiàng)D也正確。

5.a?=S?-S???=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)=n2+2n-n2=2n。當(dāng)n=1時，a?=S?=12+2*1=3。通項(xiàng)公式a?=2n不適用于n=1。修正為a?={3,2n}。但題目要求用n表示。若按一般數(shù)列定義，n≥1。故a?=2n(n≥1)。選項(xiàng)B,C符合a?=2n。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-9

2.3

3.1/2

4.√7

5.n2-n+1(n≥1)

解題過程：

1.兩直線平行，斜率相等。l?:ax+3y-6=0，斜率為-a/3。l?:3x-(a+1)y+9=0，斜率為3/(a+1)。令-a/3=3/(a+1)，交叉相乘得-a(a+1)=9*3=>-a2-a=27=>a2+a+27=0。解此一元二次方程，判別式Δ=12-4*1*27=1-108=-107<0，無實(shí)數(shù)解。因此，不存在實(shí)數(shù)a使得兩直線平行。檢查題目意圖，可能題目有誤或要求特殊條件。若理解為兩直線重合，則需除斜率外常數(shù)項(xiàng)也成比例，即-6/9=-2/3=3/(a+1)，得a+1=-9/2，a=-11/2。但題目只問a值，未指明重合，通常指平行。此題按當(dāng)前表述無解。若必須填空，可能題目本身存在問題。假設(shè)題目意圖是考察斜率相等，則應(yīng)確保方程可解。可能原題有筆誤。按現(xiàn)有方程，無解。

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和。點(diǎn)1和點(diǎn)-2的間距為1-(-2)=3。當(dāng)x在-2和1之間時，即-2≤x≤1，函數(shù)值為(-2-x)+(x-1)=-2-1=-3。當(dāng)x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1，在x=-2處值為3。當(dāng)x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1，在x=1處值為3。故函數(shù)的最小值為-3。

3.tan(α)=√3。由tan=opp/adj，設(shè)對邊為√3k，鄰邊為k。則sin(α)=opp/hyp=√3k/√(k2+(√3k)2)=√3k/√(k2+3k2)=√3k/√4k2=√3k/2k=√3/2。α為銳角，sin(α)>0，故sin(α)=√3/2。

4.由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC。代入a=3,b=2,cosC=1/2，得c2=32+22-2*3*2*(1/2)=9+4-6=7。故c=√7。

5.a?=S?-S???。當(dāng)n=1時，a?=S?=12+2*1=3。當(dāng)n≥2時，a?=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)=n2+2n-n2=2n。故數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?={3,2n}(n≥1)。若題目隱含n≥1，可寫為a?=2n(n≥1)。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-3*2^x+1=0

2^(x+1)=2*2^x。令t=2^x，則方程變?yōu)?t-3t+1=0=>-t+1=0=>t=1。即2^x=1。解得x=log?(1)=0。

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+2)，求f(0)+f(1)+f(2)+...+f(9)的值。

f(x)=(x-1)/(x+2)=1-3/(x+2)。f(0)+f(1)+...+f(9)=[1-3/(2+0)]+[1-3/(2+1)]+...+[1-3/(2+9)]

=10*1-3*[1/2+1/3+...+1/11]

=10-3*(H??-H?)(其中H?為n階調(diào)和級數(shù))

=10-3*(1+1/2+1/3+...+1/11-1)

=10-3*(H??-1)

=10-3H??+3

=13-3H??。

(注：H??=1+1/2+1/3+...+1/11是具體的數(shù)值，但題目未要求精確值，此為理論過程)

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，cosC=1/2，求△ABC的面積。

由cosC=1/2，得角C=60°。sinC=sin60°=√3/2。面積S=(1/2)absinC=(1/2)*5*7*(√3/2)=35√3/4。

4.某班級有男生30人，女生20人，現(xiàn)要隨機(jī)選出3人參加活動，求選出的3人中恰好有1名女生的概率。

總?cè)藬?shù)為30+20=50?；臼录倲?shù)為C(50,3)。選出的3人中恰好有1名女生，則需從20名女生中選1人，從30名男生中選2人。有利事件數(shù)為C(20,1)*C(30,2)。

概率P=[C(20,1)*C(30,2)]/C(50,3)=[20*(30*29/2)]/(50*49*48/6)=(20*435)/(19600)=8700/19600=44/98=22/49。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+2n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

當(dāng)n=1時，a?=S?=12+2*1=3。

當(dāng)n≥2時，a?=S?-S???=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]

=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)

=n2+2n-n2+2n-1-2n+2

=2n+1。

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=2n+1(n≥1)。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點(diǎn)分類和總結(jié)如下：

**一、集合與常用邏輯用語**

*集合的概念、表示法、集合間的基本關(guān)系（包含、相等）。

*集合的運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）。

*命題及其關(guān)系（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）。

*四種命題的真假關(guān)系。

*充分條件、必要條件、充要條件的判斷。

*簡易邏輯用語（且、或、非）。

**二、函數(shù)**

*函數(shù)的概念（定義域、值域、對應(yīng)法則）。

*函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）。

*基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像和性質(zhì)。

*函數(shù)圖像變換（平移、伸縮）。

*反函數(shù)的概念、求法。

**三、數(shù)列**

*數(shù)列的概念（通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）。

*等差數(shù)列（定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式）。

*等比數(shù)列（定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式）。

*數(shù)列的遞推關(guān)系。

**四、三角函數(shù)**

*任意角的概念、弧度制。

*三角函數(shù)的定義（sin,cos,tan,cot,sec,csc）。

*三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）。

*同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）。

*誘導(dǎo)公式。

*兩角和與差的三角函數(shù)公式。

*三角函數(shù)的化簡、求值、證明。

**五、不等式**

*不等式的概念和性質(zhì)。

*基本不等式（均值不等式）及其應(yīng)用。

*一元二次不等式的解法。

*含絕對值不等式的解法。

**六、立體幾何初步**

*空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征。

*三視圖。

*空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系。

*直線與平面平行的判定與性質(zhì)。

*直線與平面垂直的判定與性質(zhì)。

*平面與平面平行的判定與性質(zhì)。

*平面與平面垂直的判定與性質(zhì)。

**七、解析幾何初步**

*直線的傾斜角和斜率。

*直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式）。

*兩直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）。

*圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

*直線與圓的位置關(guān)系。

*橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)。

**八、概率統(tǒng)計初步**

*隨機(jī)事件、樣本空間。

*事件的關(guān)系（包含、互斥、對立）。

*概率的意義、基本性質(zhì)。

*古典概型、幾何概型。

*抽樣方法（簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣）。

*頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、頻率分布圖。

*數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（方差、標(biāo)準(zhǔn)差）。

**九、算法初步**

*算法的概念。

*程序框