試題試題2024北京八一學(xué)校高三10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每題4分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2}2．已知命題p：?x∈（0，+∞），lnx≥1﹣，則￢p為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝x3 B．y＝ln|x| C．y＝2﹣x D．y＝x2﹣2x4．已知a＝ln3，b＝log0.32，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)（，﹣），則cos（π+α）＝（）A．﹣ B． C． D．6．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增．若f（1）＝1，則不等式﹣1＜f（x﹣1）＜1的解集為（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（0，1） D．（0，2）7．已知函數(shù)f（x）＝sinx和直線l：y＝x+a，那么“a＝0”是“直線l與曲線y＝f（x）相切”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Napier，1550﹣1617）發(fā)明的對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)表（部分對(duì)數(shù)表如表所示），為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間．因?yàn)?10＝1024∈[103，104），所以210的位數(shù)為4（一個(gè)自然數(shù)數(shù)位的個(gè)數(shù)，叫做位數(shù)），已知M30是24位數(shù)，則正整數(shù)M的值為（）N3456789lgN0.47710.60210.69900.77820.84510.90310.9542A．4 B．5 C．6 D．89．先將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程f（x）＝g（x）有實(shí)根，則ω的值可以為（）A． B．1 C．2 D．410．已知函數(shù)若y＝f（x）的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝log2（x+a），若f（2）＝2，則a＝．12．（5分）函數(shù)y＝x+（x＞1）的最小值是．13．（5分）曲線y＝ex在x＝0處的切線恰好是曲線y＝ln（x+a）的切線，則實(shí)數(shù)a＝．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）滿足，且f（x）在內(nèi)不存在零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為．15．（5分）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子的半徑為3m，它以1rad/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．輪子外邊沿有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到船底的距離是H（單位：m），輪子旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（單位：s）．當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P在輪子的最高點(diǎn)處．①當(dāng)點(diǎn)P第一次入水時(shí)，t＝；②當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)H（t）的瞬時(shí)變化率取得最大值，則t0的最小值是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（14分）已知函數(shù)f（x）＝cosx（sinx+cosx）﹣，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)α＞0，若函數(shù)g（x）＝f（x+α）為奇函數(shù)，求α的最小值．17．（14分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f（x）的解析式唯一確定．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求g（x）在區(qū)間[0，]上的最大值．條件①：f（x）的最小正周期為π；條件②：f（x）為奇函數(shù)；條件③：f（x）圖象的一條對(duì)稱軸為x＝．18．（14分）已知函數(shù)，其中a∈R．（1）若是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；（2）若a＜0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．19．（14分）已知函數(shù)f（x）＝xsinx+acosx+x，a∈R．（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線與y＝﹣x+1平行，求a的值；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）當(dāng)a＞2時(shí)，若方程f（x）﹣3＝0在區(qū)間上有唯一解，求a的取值范圍．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x2+2x）[ln（x+1）+ax]．（1）若a＝0，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）當(dāng)a≥0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）存在極小值；（3）請(qǐng)直接寫出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．21．（14分）對(duì)于集合M，定義函數(shù)對(duì)于兩個(gè)集合M，N，定義集合M△N＝{x|fM（x）?fN（x）＝﹣1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，16}．（Ⅰ）寫出fA（1）和fB（1）的值，并用列舉法寫出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；（Ⅲ）有多少個(gè)集合對(duì)（P，Q），滿足P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）＝A△B？

參考答案一、選擇題共10小題，每題4分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，再運(yùn)算即可得解．【解答】解：∵B＝[﹣1，1]，又A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．2．【答案】A【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可．【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，命題p：?x∈（0，+∞），lnx≥1﹣，則￢p為：?x0∈（0，+∞），lnx0＜1﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，注意量詞的變換．3．【答案】B【分析】結(jié)合奇偶性及單調(diào)性的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：y＝x3為奇函數(shù)，不符合題意；由y＝f（x）＝ln|x|可得f（﹣x）＝ln|﹣x|＝f（x），且x＞0時(shí)f（x）＝lnx單調(diào)遞增，符合題意；y＝2﹣x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；y＝x2﹣2x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．4．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：a＝ln3＞1，b＝log0.32＜0，c＝0.30.2∈（0，1），則a＞c＞b故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．【答案】A【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求cosα的值，進(jìn)而運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可得解．【解答】解：∵平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)（，﹣），∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．【答案】D【分析】由已知可把原不等式轉(zhuǎn)化為f（﹣1）＜f（x﹣1）＜f（1），結(jié)合單調(diào)性可求．【解答】解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增且f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣1，則不等式﹣1＜f（x﹣1）＜1可轉(zhuǎn)化為f（﹣1）＜f（x﹣1）＜f（1），所以﹣1＜x﹣1＜1，解可得0＜x＜2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性在求解不等式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7．【答案】A【分析】a＝0時(shí)，直線l與曲線y＝f（x）相切；a＝﹣2π時(shí)，直線l與曲線y＝f（x）相切．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：f′（x）＝cosx，a＝0時(shí)，f′（0）＝1，因此函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為：y＝x，因此直線l與曲線y＝f（x）相切；a＝﹣2π時(shí)，由上面同理可得：直線l與曲線y＝f（x）相切．因此“a＝0”是“直線l與曲線y＝f（x）相切”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、直線與曲線相切的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【答案】C【分析】根據(jù)位數(shù)定義利用對(duì)數(shù)運(yùn)算表可得M＝6．【解答】解：由題意可知1023≤M30＜1024，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得23≤30lgM＜24，所以，故0.7667≤lgM＜0.8，由表中數(shù)據(jù)可知M＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算及求值，難度不大．9．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：先將函數(shù)f（x）＝sinωx（ω＞0）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝sin（ωx+）的圖象；再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）＝sin（ωx+）+2的圖象，若方程f（x）＝g（x）有實(shí)根，即sinωx＝sin（ωx+）+2能成立．當(dāng)ω＝時(shí)，方程即sin＝sin（+）+2，它不會(huì)成立．當(dāng)ω＝1時(shí)，方程即sinx＝sin（x+）+2，它不會(huì)成立．當(dāng)ω＝2時(shí)，方程即sin2x＝sin（2x+π）+2＝﹣sin2x+2，即sin2x＝1，它能成立；當(dāng)ω＝4時(shí)，方程即sin4x＝sin（4x+2π）+2＝sin4x+2，它不會(huì)成立；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出與f（x）＝﹣x，（x＜0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)解析式，分析可得函數(shù)f（x）＝2x﹣a與g（x）＝﹣x在區(qū)間（0，+∞）上有交點(diǎn)，方程2x﹣a＝﹣x在區(qū)間（0，+∞）上有解，設(shè)h（x）＝2x+x，分析其值域，即可得a的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝﹣x，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為g（x）＝﹣x，（x＞0），若y＝f（x）的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x）＝2x﹣a與g（x）＝﹣x在區(qū)間（0，+∞）上有交點(diǎn)，即方程2x﹣a＝﹣x在區(qū)間（0，+∞）上有解，對(duì)于2x﹣a＝﹣x，變形可得a＝2x+x，設(shè)h（x）＝2x+x，x∈（0，+∞），其導(dǎo)數(shù)h′（x）＝2xln2+1＞0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）為增函數(shù)，則h（x）＞20+0＝1，若方程2x﹣a＝﹣x在區(qū)間（0，+∞）上有解，必有a＞1，即a的取值范圍為（1，+∞），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【答案】2．【分析】推導(dǎo)出f（2）＝log2（2+a）＝2，從而2+a＝4，由此能求出a．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝log2（x+a），f（2）＝2，∴f（2）＝log2（2+a）＝2，∴2+a＝4，解得a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】變形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函數(shù)y＝x+＝（x﹣1）++1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1＝2，即x＝3時(shí)取等號(hào)．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出y＝ex在x＝0處的切線方程，設(shè)出y＝ln（x+a）的切點(diǎn)聯(lián)立方程組可解得a＝2．【解答】解：對(duì)于y＝ex，易知y′＝ex，切線斜率為k＝e0＝1，切點(diǎn)為（0，1）；則曲線y＝ex在x＝0處的切線為y＝x+1，顯然，設(shè)切點(diǎn)（x0，ln（x0+a）），由，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案】．【分析】利用極值點(diǎn)得到函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，由已知的恒等式得到f（x）的對(duì)稱中心，結(jié)合題意求出函數(shù)的周期，得到ω的值，利用對(duì)稱軸方程求出φ的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式，再令f（x）＝0，求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）滿足，則為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，即為函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程，又f（π﹣x）+f（x）＝0，則為函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心，又f（x）在內(nèi)不存在零點(diǎn)，所以，故函數(shù)f（x）的周期為π，則，所以f（x）＝sin（2x+φ），則2×+φ＝k，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x+kπ），k∈Z，令f（x）＝0，則2x+kπ＝k'π，解得，k'，k∈Z，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，函數(shù)零點(diǎn)的求解，解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點(diǎn)）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解），屬于中檔題．15．【答案】，．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，由此求出點(diǎn)P第一次入水時(shí)t的值．寫出點(diǎn)P到船底的距離關(guān)系式H（t），利用導(dǎo)數(shù)H′（t）求出函數(shù)H（t）的瞬時(shí)變化率取得最大值時(shí)t0的最小值．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；由題意可得，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：y＝3sin（ωt+）＝3cosωt＝3cost；令3cost＝﹣1.5，解得cost＝﹣，所以t＝+2kπ，k∈Z；當(dāng)k＝0時(shí)，t＝；所以點(diǎn)P第一次入水時(shí)，t＝．點(diǎn)P到船底的距離為：H（t）＝3cost+4，求導(dǎo)數(shù)為H′（t）＝﹣3sint，函數(shù)H（t）的瞬時(shí)變化率取得最大值時(shí)，t＝+2kπ，k∈Z，t0的最小值是．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）由題意可得g（0）＝0，即，由此求得α的最小正值．【解答】（Ⅰ）解：＝＝＝，所以函數(shù)f（x）的最小正周期．由，k∈Z，得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．（Ⅱ）解：由題意，得，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）為奇函數(shù)，且x∈R，所以g（0）＝0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，驗(yàn)證知其符合題意．又因?yàn)棣粒?，所以α的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．17．【答案】（Ⅰ）f（x）＝sin2x；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）可以選擇條件①②或條件①③，先由周期計(jì)算ω，再計(jì)算φ即可；（Ⅱ）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）選擇條件①②：由條件①及已知得，所以ω＝2，由條件②得f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ（k∈Z），因?yàn)椋驭眨?，所以f（x）＝sin2x，經(jīng)檢驗(yàn)φ＝0符合題意；選擇條件①③：由條件①及已知得，所以ω＝2，由條件③得，解得φ＝kπ（k∈Z），因?yàn)?，所以φ?，所以f（x）＝sin2x；（Ⅱ）由題意得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，g（x）的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．18．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用極值點(diǎn)列方程求出a的值，再回代入導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即得；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分解因式后求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)參數(shù)a的范圍分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：（1）由，可得x＞0，且，因是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，故，解得．當(dāng)時(shí)，，由f′（x）＞0可得，由f′（x）＜0可得或x＞1，即函數(shù)f（x）在上遞減，在上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故是f（x）的極小值點(diǎn)．故；（2）由（1），x＞0，因a＜0，由f′（x）＝0，解得x＝1或．①若，則，當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)或x＞1時(shí)，f′（x）＜0．即函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；②若，即，當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1或時(shí)，f′（x）＜0．即函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③若，則，則，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．【答案】（1）a＝﹣1；（2）最大值為π，最小值為2；（3）（2，3]．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的幾何意義由可列方程求解a的值；（2）由f′（x）＝﹣sinx+xcosx+1，可得f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可得最值；（3）當(dāng)a＞2時(shí)，f′（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1．設(shè)h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，h′（x）＝（2﹣a）cosx﹣xsinx，分析可知h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且h（0）＝1＞0，，所以存在唯一的，使h（x0）＝0，即f′（x0）＝0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得解．【解答】解：（1）由題意，f′（x）＝sinx+xcosx﹣asinx+1，因?yàn)榍€y＝f（x）在點(diǎn)處的切線與y＝﹣x+1平行，所以，解得a＝﹣1；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝xsinx+2cosx+x，所以f′（x）＝﹣sinx+xcosx+1，當(dāng)時(shí)，1﹣sinx＞0，xcosx＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此f（x）在區(qū)間上的最大值為，最小值為f（0）＝2．（3）當(dāng)a＞2時(shí)，f′（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1．設(shè)h（x）＝（1﹣a）sinx+xcosx+1，h′（x）＝（2﹣a）cosx﹣xsinx，因?yàn)閍＞2，，所以h′（x）＜0，所以h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)閔（0）＝1＞0，，所以存在唯一的，使h（x0）＝0，即f′（x0）＝0，所以f（x）在區(qū)間[0，x0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)閒（0）＝a，，又因?yàn)榉匠蘤（x）﹣3＝0在區(qū)間上有唯一解，所以2＜a≤3，即a的取值范圍是（2，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，方程求解求參數(shù)范圍問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．【答案】（1）y＝0；（2）證明見解析；（3）當(dāng)a≥0或a＝﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜a＜0或a＜﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）討論函數(shù)f′（x）在區(qū)間（﹣1，0）和（0，+∞）上的符號(hào)即可推理作答；（3）在x≠0時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再探討g（x）在（﹣1，0）∪（0，+∞）上的零點(diǎn)情況即可作答．【解答】解：（1）依題意可得，若a＝0，則f'（0）＝0，又f（0）＝0，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y＝0；（2）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），由（1）知，，因?yàn)閍≥0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，，所以，則有f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，于是得當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，所以當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）存在極小值；（3）函數(shù)f（x）＝（x2+2x）[ln（x+1）+ax]的定義域?yàn)椋ī?，+∞），由f（x）＝0，可得f（x）＝（x2+2x）[ln（x+1）+ax]＝0，顯然x＝0是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即為方程的解，令，則，令，則，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，?∈x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），h（x）＜h（0）＝0，即有g(shù)′（x）＜0，g（x）在（﹣1，0），（0，+∞）上都遞減，令φ（x）＝ln（x+1）﹣x，，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，φ′（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，φ（x）≤φ（0）＝0，即?∈（﹣1，+∞），恒有l(wèi)n（x+1）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取“＝”，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，，當(dāng)x＞0時(shí)，，因此，g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，g（x）取值集合為（1，+∞），g（x）在（0，+∞）上遞減，g（x）取值集合為（0，1），于是得當(dāng)0＜﹣a＜1或﹣a＞1，即﹣1＜a＜0或a＜﹣1時(shí)，方程有唯一解，當(dāng)a≥0或a＝﹣1時(shí)，此方程無(wú)解，綜上：當(dāng)a≥0或a＝﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜a＜0或a＜﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查