三個(gè)圓交集的題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.三個(gè)半徑為1的圓兩兩外切，它們公共部分（交集）面積是（）A.0B.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$C.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$D.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}$答案：C2.三個(gè)圓的方程分別為$x^{2}+y^{2}=1$，$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，它們交集內(nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍是（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(\frac{1}{2},1)$C.$(0,1)$D.$(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$答案：A3.若三個(gè)圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$C_2$：$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$C_3$：$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，則（）A.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$B.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$C.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$D.以上都不對(duì)答案：A4.已知三個(gè)圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$與$C_2$交集非空，$C_2$與$C_3$交集非空，則$C_1$與$C_3$交集（）A.一定非空B.一定為空C.不一定非空D.以上都不對(duì)答案：C5.三個(gè)等圓半徑為$R$，圓心構(gòu)成邊長(zhǎng)為$2R$的正三角形，它們交集面積為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$B.$\frac{\pi}{2}R^{2}$C.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{2}R^{2}$D.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{3}R^{2}$答案：D6.三個(gè)圓$x^{2}+y^{2}=4$，$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$x^{2}+(y-2)^{2}=4$交集內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值是（）A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$2$D.$4$答案：A7.若三個(gè)圓的圓心共線，它們（）交集A.一定有B.一定沒(méi)有C.可能有D.以上都不對(duì)答案：C8.三個(gè)圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=1$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=1$，$C_3$：$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$交集面積為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{2\pi}{3}$答案：A9.三個(gè)圓半徑分別為$1$，$2$，$3$，要使它們有交集，圓心距應(yīng)滿足（）A.$0\leqd\leq6$B.$0\leqd\leq5$C.$1\leqd\leq6$D.$1\leqd\leq5$答案：A10.已知三個(gè)圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$包含$C_2$，$C_2$與$C_3$有交集，則$C_1$與$C_3$（）A.一定有交集B.一定沒(méi)有交集C.可能沒(méi)有交集D.以上都不對(duì)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.對(duì)于三個(gè)圓的交集，以下說(shuō)法正確的是（）A.交集可能為空集B.交集可能是一個(gè)點(diǎn)C.交集可能是一個(gè)區(qū)域D.交集一定是對(duì)稱圖形答案：ABC2.若三個(gè)圓$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，則（）A.$r_1+r_2\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$B.$|r_1-r_2|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$C.$r_2+r_3\geq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$D.$|r_2-r_3|\leq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$答案：ABCD3.三個(gè)圓的圓心分別為$O_1(0,0)$，$O_2(1,0)$，$O_3(0,1)$，半徑都為$r$，當(dāng)它們有交集時(shí)，$r$的取值可以是（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{3}{4}$C.$1$D.$\frac{1}{2}$答案：ABC4.關(guān)于三個(gè)圓交集的性質(zhì)，正確的有（）A.交集內(nèi)任意兩點(diǎn)距離小于等于最小圓直徑B.交集關(guān)于三個(gè)圓心構(gòu)成的三角形的某條中線對(duì)稱C.若三個(gè)圓等圓，則交集關(guān)于三個(gè)圓心構(gòu)成的三角形的中心對(duì)稱D.交集內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)圓心距離之和有最小值答案：CD5.三個(gè)圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=4$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$C_3$：$x^{2}+(y-2)^{2}=4$，以下屬于交集內(nèi)點(diǎn)的是（）A.$(1,1)$B.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$C.$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$D.$(1,\frac{3}{2})$答案：AC6.若三個(gè)圓的交集是一個(gè)非空區(qū)域，以下可能成立的是（）A.三個(gè)圓半徑相等B.兩個(gè)圓半徑相等且與第三個(gè)圓半徑不同C.三個(gè)圓半徑都不同D.其中一個(gè)圓半徑遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)圓半徑答案：ABC7.三個(gè)圓有交集，關(guān)于交集面積說(shuō)法正確的是（）A.交集面積一定小于最小圓面積B.交集面積可能等于最小圓面積C.交集面積可能大于最小圓面積D.交集面積一定小于三個(gè)圓面積之和答案：AD8.已知三個(gè)圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若它們的交集是一個(gè)點(diǎn)，則（）A.三個(gè)圓兩兩相切B.三個(gè)圓的圓心共線C.至少有兩個(gè)圓半徑相等D.三個(gè)圓半徑滿足特定關(guān)系答案：AD9.對(duì)于三個(gè)圓交集內(nèi)的點(diǎn)$P(x,y)$，以下說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)$P$到三個(gè)圓心距離都小于等于對(duì)應(yīng)圓半徑B.點(diǎn)$P$到三個(gè)圓心距離之和有最大值C.點(diǎn)$P$到三個(gè)圓心距離可以構(gòu)成三角形三邊D.點(diǎn)$P$到三個(gè)圓心距離滿足一定的不等關(guān)系答案：ACD10.三個(gè)圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$與$C_2$交集為$A$，$C_2$與$C_3$交集為$B$，$C_1$與$C_3$交集為$C$，它們?nèi)齻€(gè)圓交集為$D$，則（）A.$D\subseteqA$B.$D\subseteqB$C.$D\subseteqC$D.$A\capB\capC=D$答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.三個(gè)圓只要有兩個(gè)圓有交集，那么三個(gè)圓就一定有交集。（×）2.三個(gè)等圓一定有交集。（×）3.三個(gè)圓的交集一定是連通區(qū)域。（×）4.若三個(gè)圓的圓心構(gòu)成直角三角形，它們就沒(méi)有交集。（×）5.三個(gè)圓交集面積一定小于任意兩個(gè)圓交集面積之和。（√）6.當(dāng)三個(gè)圓半徑都趨于無(wú)窮大時(shí)，它們的交集趨于整個(gè)平面。（√）7.三個(gè)圓交集內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)圓心距離之積有最大值。（√）8.若三個(gè)圓有交集，那么把其中一個(gè)圓半徑增大后，交集一定增大。（×）9.三個(gè)圓交集關(guān)于三個(gè)圓心所構(gòu)成三角形的重心對(duì)稱。（×）10.三個(gè)圓的交集內(nèi)一定存在一點(diǎn)到三個(gè)圓心距離相等。（×）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求三個(gè)圓交集面積的一般步驟。答案：先確定三個(gè)圓的方程，分析圓心位置與半徑大小。判斷圓與圓的位置關(guān)系，找出交集的形狀特征。通過(guò)圖形分割、利用幾何公式（如三角形、扇形面積公式）來(lái)計(jì)算交集面積。2.若三個(gè)圓有交集，從圓心距和半徑角度說(shuō)明需滿足什么條件？答案：設(shè)三個(gè)圓半徑為$r_1$，$r_2$，$r_3$，圓心距為$d_{12}$，$d_{23}$，$d_{13}$。需滿足$|r_i-r_j|\leqd_{ij}\leqr_i+r_j$（$i,j=1,2,3$且$i\neqj$），整體上要保證相互位置能形成交集區(qū)域。3.舉例說(shuō)明三個(gè)圓交集可能出現(xiàn)的不同情況。答案：可能為空集，如三個(gè)圓兩兩相離；可能是一個(gè)點(diǎn)，如三個(gè)圓兩兩外切于同一點(diǎn)；可能是一個(gè)區(qū)域，如三個(gè)半徑適當(dāng)?shù)膱A部分重疊形成一個(gè)公共區(qū)域。4.當(dāng)三個(gè)圓半徑相等時(shí)，其交集有什么特點(diǎn)？答案：若三個(gè)圓半徑相等，交集關(guān)于三個(gè)圓心構(gòu)成的正三角形的中心對(duì)稱。交集區(qū)域形狀規(guī)則，其面積與圓心距、半徑大小有關(guān)，圓心距不同交集區(qū)域不同。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論如何利用計(jì)算機(jī)圖形軟件準(zhǔn)確繪制三個(gè)圓的交集區(qū)域？答案：可以使用專業(yè)繪圖軟件如AutoCAD、幾何畫板等。在軟件中輸入三個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑信息繪制圓，利用軟件的圖形運(yùn)算功能，通過(guò)布爾運(yùn)算（如交集運(yùn)算）得到準(zhǔn)確的交集區(qū)域，能直觀展示其形狀和位置。2.探討三個(gè)圓交集在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例。答案：在城市規(guī)劃中，三個(gè)不同服務(wù)范圍的設(shè)施（如醫(yī)院、商場(chǎng)、學(xué)校）的覆蓋區(qū)域可看作圓，其交集區(qū)域就是居民能同時(shí)方便享受三種服務(wù)的區(qū)域。在物流配送中，三個(gè)倉(cāng)庫(kù)的配送范圍交集可優(yōu)化配送路線。3.若改變?nèi)齻€(gè)圓的半徑，其交集的形狀和面積如何變化？答案：當(dāng)一個(gè)圓半徑增大，交集可能變大，若增