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第9.4節(jié)二重積分的應(yīng)用

一、空間立體的體積二、平面薄片的質(zhì)量由二重積分的定義式可知：二重積分是一個與區(qū)域D的分劃及點的取法無關(guān)的和式的極限，所以凡是可以表示為這類極限的量均可用二重積分來計算.這里我們主要介紹利用二重積分計算立體的體積以及平面薄片的質(zhì)量這兩方面的應(yīng)用.一、空間立體的體積

由二重積分的幾何意義可知，以區(qū)域D為底，曲面為頂?shù)牧Ⅲw的體積為可表示為例1求旋轉(zhuǎn)拋物面與坐標平面所圍成的立體的體積.解

將代入中，易求得旋轉(zhuǎn)拋物面在坐標平面上的投影為圓域D：（如圖所示）

1o例2

計算由平面立體的體積.及三個坐標平面所圍成的1該立體即為以D為底，為頂?shù)牧Ⅲw，所以平面在坐標平面上的（如圖所示），

投影為區(qū)域代入中，得解

將所求體積為

二、平面薄片的質(zhì)量

設(shè)在坐標平面中有一個厚度為1個單位的平面薄片形成的有界閉區(qū)域D，其密度為，現(xiàn)求該薄片的質(zhì)量.由于該薄片的密度隨點所以不能再用求質(zhì)量的公式來求薄片的質(zhì)量.

的位置變化而變化，

（其中m表示質(zhì)量）下面用二重積分的積分思想求該薄片的質(zhì)量.第一步：化整為零個子區(qū)域?qū)分成若記第i塊薄片的質(zhì)量為，則總質(zhì)量，由此可得m的近似值第二步：積零為整在每一塊小薄片上任取一點，當很小時，就可近似地看作該小薄片的密度，故有若用表示這n個子區(qū)域直徑的最大值，則當時，上式的極限即為m的精確值，即第三步：取極限所以密度為的薄片的質(zhì)量是一個與區(qū)域的取法均無關(guān)的極限，根據(jù)二D的分劃和點重積分的定義可知，質(zhì)量m可表示為解

三角形薄片的質(zhì)量可以用二重積分表示為，其中積分區(qū)域D如圖所示，例3

求以為頂點的三角形薄片的質(zhì)量，其中密度為于是得解

薄片質(zhì)量即為，其中積分

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