一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積§9.7格林公式及其應(yīng)用一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域區(qū)域的邊界曲線的方向當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時

如果左手在區(qū)域D內(nèi)

則行走方向是L的正向

單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域

如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D

則稱D為平面單連通區(qū)域

否則稱為復(fù)連通區(qū)域

定理1

設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成

函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

則有其中L是D的取正向的邊界曲線

>>>——格林公式應(yīng)注意的問題:

對復(fù)連通區(qū)域D

格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分

且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

格林公式:

用格林公式計算區(qū)域的面積

例1

求橢圓x

acosq

y

bsinq

所圍成圖形的面積A

設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L則

解

設(shè)L是由橢圓曲線則提示:因此,由格林公式有格林公式:

用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域

解

因此,由格林公式有格林公式:

用格林公式計算二重積分為頂點的三角形閉區(qū)域

解

用格林公式求閉曲線積分令P

2xy

Q

x2

則

證

因此

由格林公式有格林公式:

例3

設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線

證明提示

解

不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

當(dāng)(0

0)

D時

由格林公式得記L所圍成的閉區(qū)域為D

當(dāng)x2

y2

0時

有在D內(nèi)取一圓周l

x2

y2

r2(r>0)

不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

當(dāng)(0

0)

D時

解

記L所圍成的閉區(qū)域為D

記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域為D1

應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時針方向

于是二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)G是一個開區(qū)域

P(x

y)、Q(x

y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

與路徑無關(guān)

否則說與路徑有關(guān)

如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2

等式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)這是因為

設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線

則L1

(L2-)是G內(nèi)一條任意的閉曲線

而且有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)定理2(曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法)>>>定理證明

應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題(1)區(qū)域G是單連通區(qū)域

(2)函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

如果這兩個條件之一不能滿足

那么定理的結(jié)論不能保證成立

討論

設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

問是否一定成立？提示

>>>

解

這里P

2xy

Q

x2

選擇從O(0

0)到A(1

0)再到B(1

1)的折線作為積分路線

物線y

x2上從O(0

0)到B(1

1)的一段弧

三、二元函數(shù)的全微分求積表達(dá)式P(x

y)dx

Q(x

y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)

但它未必就是某個函數(shù)的全微分

那么在什么條件下表達(dá)式P(x

y)dx

Q(x

y)dy是某個二元函數(shù)u(x

y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時

怎樣求出這個二元函數(shù)呢？二元函數(shù)u(x

y)的全微分為du(x

y)=ux(x

y)dx

uy(x

y)dy

原函數(shù)如果函數(shù)u(x

y)滿足du(x

y)=P(x

y)dx

Q(x

y)dy則函數(shù)u(x

y)稱為P(x

y)dx

Q(x

y)dy的原函數(shù).>>>設(shè)函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

則P(x

y)dx

Q(x

y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x

y)的全微分的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立

定理3求原函數(shù)的公式

解

這里因為P、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

且有是某個函數(shù)的全微分

取積分路線為從A(1

0)到B(x

0)再到C(x

y)的折線

半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分

并求出一個這樣的函數(shù)

則所求函數(shù)為

例7驗證

在整個xOy面內(nèi)

xy2dx

x2ydy是某個函數(shù)的全微分

并求出一個這樣的函數(shù)

這里P

xy2

Q

x2y

解