IIR與FIR數(shù)字濾波器的分析比較及設(shè)計(jì)方法分析概述目錄TOC\o"1-3"\h\u9999IIR與FIR數(shù)字濾波器的分析比較及設(shè)計(jì)方法分析概述 1241281.1IIR與FIR數(shù)字濾波器的分析比較 1147551.2IIR與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 220550（1）確定指標(biāo)： 220204（2）逼近： 25240（3）實(shí)現(xiàn) 291621.2.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 3104061.2.2 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 51.1IIR與FIR數(shù)字濾波器的分析比較 在文章的第二部分介紹到根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h(n)的不同，導(dǎo)致在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)有兩種不同的方向：有限長(zhǎng)FIR和無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器。并且詳細(xì)分析了FIR數(shù)字濾波器和IIR數(shù)字濾波器各自所具有的不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及隨之而來(lái)的充滿各自特色的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法。那么在實(shí)際設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，要根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)逼近設(shè)計(jì)好的理想化模型，那么在FIR數(shù)字濾波器和IIR數(shù)字濾波器兩者之間該如何進(jìn)行取舍呢？早在數(shù)字濾波器提出之初，人們就知道了這兩種濾波器的存在，但I(xiàn)IR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程可以參照現(xiàn)成的模擬濾波器的設(shè)計(jì)例子，所以IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)起來(lái)十分快速，研究人員可以在設(shè)計(jì)過(guò)程中直接將完整的設(shè)計(jì)公式和現(xiàn)成的設(shè)計(jì)圖表拿來(lái)使用。且由于IIR數(shù)字濾波器具有一個(gè)輸出的反饋回路，根據(jù)其系統(tǒng)函數(shù)可知在Z平面上有極點(diǎn)存在。因此一般IIR數(shù)字濾波器的階數(shù)都比較低，在實(shí)際生產(chǎn)中可以為人們節(jié)省很多的物料成本，因此成為人們主要的研究應(yīng)用對(duì)象。相較而言FIR數(shù)字濾波器由于其在Z平面的極點(diǎn)僅在0點(diǎn)（系統(tǒng)函數(shù)分母為1），于是往往需要設(shè)計(jì)很高的階數(shù)才能達(dá)到和較少階數(shù)的IIR濾波器相似的性能。高階數(shù)帶來(lái)生產(chǎn)成本上升的同時(shí)還伴隨著濾波器自身運(yùn)算效率的低下，以至于在一段時(shí)間內(nèi)人們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)都默認(rèn)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。但隨著快速傅里葉變換FFT的提出，F(xiàn)IR濾波器的運(yùn)算效率得到了大幅提高，甚至可以超過(guò)同階數(shù)的IIR濾波器。在對(duì)于需要濾波器有嚴(yán)格的線性相位的場(chǎng)合，人們發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)的IIR濾波器自身不具備嚴(yán)格的線性相位，而且當(dāng)設(shè)計(jì)的濾波器選擇性越好的時(shí)候，其非線性的狀況就越加嚴(yán)重。于是此時(shí)必須通過(guò)加入用于相位矯正的模塊才能投入實(shí)際應(yīng)用，但這樣一來(lái)的IIR數(shù)字濾波器相較于FIR數(shù)字濾波器簡(jiǎn)單高效就不復(fù)存在。FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)僅存在于零點(diǎn)也給其帶來(lái)IIR數(shù)字濾波器所不具備的天然的穩(wěn)定性，根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)Z變換的知識(shí)可知，對(duì)于IIR數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)其極點(diǎn)必須在Z平面的單位圓之內(nèi)取值時(shí)才能保證整個(gè)濾波器系統(tǒng)的穩(wěn)定。且IIR濾波器公式化的設(shè)計(jì)也讓其過(guò)于模板化，在其身上往往能看到很嚴(yán)重的經(jīng)典濾波器的影子，雖然有利于簡(jiǎn)單、快速、大規(guī)模量產(chǎn)但也失去了在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中靈活變化的可能。1.2IIR與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法按照信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)可知濾波就是卷積計(jì)算，對(duì)于卷積計(jì)算來(lái)說(shuō)，有并行乘法、串行乘法、分布式算法[4]、進(jìn)化規(guī)劃算法[5]、人工魚群算法[6]、粒子群算法[7]等。數(shù)字濾波器分為無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)IIR（InfiniteImpulseResponse）濾波器和有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)FIR（FiniteImpulseResponse）濾波器兩種。對(duì)于IIR數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)，它的差分方程由式（2-6）可見(jiàn)，其系數(shù)ai應(yīng)該至少有一項(xiàng)不為0。而存在非零值也就意味著對(duì)于IIR數(shù)字濾波器來(lái)說(shuō)，一定有關(guān)于輸出y（n）的延時(shí)存在并反饋回來(lái)，反映到實(shí)際生產(chǎn)濾波器時(shí)就表現(xiàn)該遞歸結(jié)構(gòu)模型為必然存在一個(gè)反饋環(huán)路。IIR濾波器穩(wěn)定約束[8-10]也在設(shè)計(jì)的考慮范圍之內(nèi)，如IIR濾波器有限字長(zhǎng)效應(yīng)[11]數(shù)字濾波器自其理論的提出到現(xiàn)在在各行各業(yè)大放異彩已經(jīng)度過(guò)了快一個(gè)世紀(jì)的時(shí)光，無(wú)數(shù)的專家學(xué)者前赴后繼，為數(shù)字濾波器發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)，到如今關(guān)于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，人們?cè)缫延辛艘惶缀艹墒旆桨?。一個(gè)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般包含以下三個(gè)步驟：（1）確定指標(biāo)：首先，我們要根據(jù)所做任務(wù)的具體情況，來(lái)確定要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）逼近：其次，在根據(jù)實(shí)際需求明確了要設(shè)計(jì)的濾波器的性能指標(biāo)之后，我們就可以得到一個(gè)數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型，且這個(gè)數(shù)學(xué)模型具有我們所需要的性能指標(biāo)能滿足我們的任務(wù)需求，但往往這個(gè)數(shù)學(xué)模型各個(gè)參數(shù)很理想化，在現(xiàn)實(shí)中幾乎不可能生產(chǎn)出來(lái)，這時(shí)只能用一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)逼近這個(gè)理想化模型。且根據(jù)實(shí)際需要還可以選擇兩種不同的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)逼近這個(gè)理想化模型，這兩種不同的系統(tǒng)函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于FIR數(shù)字濾波器和IIR數(shù)字濾波器。（3）實(shí)現(xiàn)完成了前面兩步，我們這時(shí)已經(jīng)得到了一個(gè)可以實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)，由于數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，因此這個(gè)數(shù)字濾波器可以由系統(tǒng)函數(shù)、差分方程或者單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行表示，即這里我們已經(jīng)得到了一個(gè)用系統(tǒng)函數(shù)表示的數(shù)字濾波器，可以利用計(jì)算機(jī)編程或者實(shí)際硬件根據(jù)得到的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)將這個(gè)數(shù)字濾波器變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。1.2.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)由式（2-2）可見(jiàn)，那么設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的關(guān)鍵則是得到式中各個(gè)系數(shù)ai和bi的取值。IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)還有另一種表示方法由式（2-7）可見(jiàn)，因此確定式中A以及零、極點(diǎn)ci和d 為了從模擬域設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，則必須首先把所需求的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)按照一定的方法轉(zhuǎn)化成模擬濾波器的性能指標(biāo)，利用成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法即可得到一個(gè)作為中間項(xiàng)的模擬原型濾波器。幾個(gè)常用的經(jīng)典模擬濾波器模型有：巴特沃斯（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Ellipse）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等等[13]。模擬濾波器有著成熟的設(shè)計(jì)方法就體現(xiàn)在這幾個(gè)經(jīng)典的模擬濾波器模型都有著嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的圖表曲線供設(shè)計(jì)人員直接調(diào)用，因此可大大減少濾波器的設(shè)計(jì)難度。設(shè)計(jì)好模擬原型濾波器后，我們就要根據(jù)這個(gè)模擬濾波器得到我們真正需要的數(shù)字濾波器，常用的由模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法兩種，下面來(lái)詳細(xì)介紹：（1）用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 脈沖響應(yīng)不變法，顧名思義就是利用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)來(lái)搭建從模擬域到數(shù)字域的橋梁，實(shí)際操作就是利用數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n）去模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)h（t），以此來(lái)根據(jù)設(shè)計(jì)好的模擬濾波器得到數(shù)字濾波器。h（n）是離散序列而?a（t）則是連續(xù)信號(hào)，則將??（4-1）式中T為采樣周期。利用信號(hào)與系統(tǒng)的知識(shí)可知，當(dāng)令離散序列的h（n）的Z變換為H（Z），連續(xù)信號(hào)的?a（t）的拉普拉斯變換為Ha（s）時(shí)，因?yàn)楫?dāng)z=H（4-2）觀察式（4-2）可以看出這里順利的達(dá)成了從模擬域的s平面變換到數(shù)字域的z平面的目的，則脈沖響應(yīng)不變法就可以利用設(shè)計(jì)好的模擬原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（s）得到符合性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。 但觀察式（4-2）也可發(fā)現(xiàn)，數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（z）對(duì)應(yīng)的是模擬濾波器沖激響應(yīng)的s變換的周期延拓（k取值范圍無(wú)窮），即這個(gè)映射關(guān)系有著很大的周期重復(fù)性，只有當(dāng)模擬濾波器這邊的沖激響應(yīng)只處于一個(gè)周期內(nèi)（限帶）時(shí)，在映射到數(shù)字域進(jìn)而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)時(shí)才不會(huì)重復(fù)映射[14]。但實(shí)際模擬濾波器很難做到這點(diǎn)，因此這將會(huì)導(dǎo)致在利用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí)很難避免產(chǎn)生混疊失真現(xiàn)象。圖4-1 脈沖響應(yīng)不變法的模擬域到數(shù)字域的映射關(guān)系 （2）用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 由于在實(shí)際應(yīng)用中使用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器很難避免產(chǎn)生混疊失真，研究者們又提出了另一種非線性的變換方法，即雙線性變換法。和脈沖響應(yīng)不變法相比一個(gè)差異就是其在模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換中不會(huì)產(chǎn)生混疊失真現(xiàn)象。 由于雙線性變化法是基于脈沖響應(yīng)不變法改進(jìn)而來(lái)，所以在核心實(shí)現(xiàn)途徑上有著很多相似之處。雙線性變換法在映射之前要先將模擬濾波器的沖激響應(yīng)在整個(gè)頻率軸上的頻率壓縮到不會(huì)產(chǎn)生多重映射的-π/T與π/T之間，再利用變換關(guān)系z(mì)=esT以及式（4-2）將模擬域（s平面）映射到數(shù)字域（z平面），以此便可以在不產(chǎn)生混疊失真的條件下，利用模擬原型濾波器設(shè)計(jì)出符合需求的IIR數(shù)字濾波器[15]圖4-2 雙線性變換法的模擬域到數(shù)字域的映射關(guān)系1.2.2 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器基于成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)，有嚴(yán)格公式、圖表參照，設(shè)計(jì)起來(lái)簡(jiǎn)單可靠且性能優(yōu)異，曾一度成為人們研究和應(yīng)用的主要對(duì)象，但人無(wú)完人，IIR數(shù)字濾波器也存在著一些問(wèn)題，一個(gè)很大的問(wèn)題就是無(wú)法很好地控制相位，很難做到嚴(yán)格的線性相位。而FIR數(shù)字濾波器因?yàn)樽陨淼慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)在這方面就有著天然的優(yōu)勢(shì)，有限的的脈沖響應(yīng)h（n）帶來(lái)的就是FIR數(shù)字濾波器可以輸出穩(wěn)定的因果序列，加上快速傅里葉變換（FFT）的提出也讓FIR數(shù)字濾波器擺脫了執(zhí)行效率低下的帽子[16]，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器得到了快速發(fā)展，并提出了一系列用于設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的可靠方法。（1）窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器 這是設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器最簡(jiǎn)單的方法。在根據(jù)實(shí)際需求得到一個(gè)理想濾波器模型后，設(shè)其沖激響應(yīng)為Hdejw，此時(shí)就要設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h（n）來(lái)對(duì)其進(jìn)行逼近。由于理想濾波器沖激響應(yīng)Hd是在時(shí)域，則要先對(duì)其進(jìn)行傅里葉逆變換得到?d?（4-3）式中的w（n）就是一個(gè)有限長(zhǎng)用來(lái)截取?d圖4-3 幾種常見(jiàn)窗函數(shù)的基本參數(shù) （2）頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR