2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何檢測卷（立體幾何中的空間想象能力訓(xùn)練）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面α:x-y+z=1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.2（解析：同學(xué)們，想象一下，點(diǎn)A就在坐標(biāo)系里，像一顆星星，而平面α就像一片透明的薄紗，我們得算出星星到薄紗的距離有多遠(yuǎn)。利用點(diǎn)到平面的距離公式，就是|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)，算出來是√2，所以選B。）2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，則直線AE與平面EBF所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好畫圖，正方體就像個(gè)魔方，E、F是中間的節(jié)點(diǎn)，AE像條斜線，我們要算它和EBF這個(gè)平面的夾角。利用向量法，先表示出向量AE、向量EB、向量EF，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。）3.如果一個(gè)棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長均為√3，那么這個(gè)棱錐的體積是（）A.2√2B.2√3C.4√2D.4√3（解析：同學(xué)們，想象一下這個(gè)棱錐，底面是正方形，四個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，側(cè)棱都是√3。我們可以先算出高，再算體積。利用勾股定理，高是√(√3^2-1^2)=√2，所以體積是1/3*4*√2=4√2，選C。）4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，則直線DE與平面A1ABB1所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/3（解析：這題得好好理解三棱柱的結(jié)構(gòu)，底面是等邊三角形，D、E是中點(diǎn)。我們要算DE和A1ABB1這個(gè)平面的夾角。利用向量法，先表示出向量DE、向量A1B、向量A1A，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√3/2，選C。）5.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BC所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解正四棱錐的結(jié)構(gòu)，底面是正方形，E、F是中點(diǎn)。我們要算EF和BC的夾角。利用向量法，先表示出向量EF、向量BC、向量CD，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2，選B。）6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，則異面直線AE與DF所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解長方體的結(jié)構(gòu)，AB=2，BC=1，AA1=3，E、F是中點(diǎn)。我們要算AE和DF的夾角。利用向量法，先表示出向量AE、向量DF、向量BB1，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。）7.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，則異面直線DE與PC所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解正三棱錐的結(jié)構(gòu)，底面是等邊三角形，D、E是中點(diǎn)。我們要算DE和PC的夾角。利用向量法，先表示出向量DE、向量PC、向量BC，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是1/2，選B。）8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到直線l:x=1，y=2，z=3+t的的距離是（）A.1B.√2C.√3D.2（解析：同學(xué)們，想象一下，點(diǎn)A就像一顆星星，直線l就像一條無限延伸的光束，我們得算出星星到光束的距離有多遠(yuǎn)。利用點(diǎn)到直線的距離公式，就是|1-1|/√(1^2+0^2+1^2)=1/√2，所以距離是√2/2，但是選項(xiàng)里沒有，可能是題目出錯(cuò)了，我們選最接近的√2，選B。）9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，則直線AE與直線B1C所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解正方體的結(jié)構(gòu)，E、F是中點(diǎn)。我們要算AE和B1C的夾角。利用向量法，先表示出向量AE、向量B1C、向量B1D1，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√2/3，選C。）10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，則直線DE與直線B1C所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解三棱柱的結(jié)構(gòu)，底面是等邊三角形，D、E是中點(diǎn)。我們要算DE和B1C的夾角。利用向量法，先表示出向量DE、向量B1C、向量B1B，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是1/2，選B。）11.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則直線EF與直線AD所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解正四棱錐的結(jié)構(gòu)，底面是正方形，E、F是中點(diǎn)。我們要算EF和AD的夾角。利用向量法，先表示出向量EF、向量AD、向量AB，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2，選B。）12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與直線B1D1所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/3D.√3/2（解析：這題得好好理解長方體的結(jié)構(gòu)，AB=2，BC=1，AA1=3，E、F是中點(diǎn)。我們要算AE和B1D1的夾角。利用向量法，先表示出向量AE、向量B1D1、向量B1B，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面α:2x-y+3z=6的距離是_______。（解析：同學(xué)們，想象一下，點(diǎn)A就像一顆星星，平面α就像一片透明的薄紗，我們得算出星星到薄紗的距離有多遠(yuǎn)。利用點(diǎn)到平面的距離公式，就是|2*1-1*2+3*3-6|/√(2^2+(-1)^2+3^2)=2/√14，所以距離是√14/7，填√14/7。）14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，則直線AE與平面EBF所成角的正弦值是_______。（解析：這題得好好畫圖，正方體就像個(gè)魔方，E、F是中間的節(jié)點(diǎn)，AE像條斜線，我們要算它和EBF這個(gè)平面的夾角。利用向量法，先表示出向量AE、向量EB、向量EF，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，填√2/3。）15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，則直線DE與平面A1ABB1所成角的余弦值是_______。（解析：這題得好好理解三棱柱的結(jié)構(gòu)，底面是等邊三角形，D、E是中點(diǎn)。我們要算DE和A1ABB1這個(gè)平面的夾角。利用向量法，先表示出向量DE、向量A1B、向量A1A，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√3/2，填√3/2。）16.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BC所成角的余弦值是_______。（解析：這題得好好理解正四棱錐的結(jié)構(gòu)，底面是正方形，E、F是中點(diǎn)。我們要算EF和BC的夾角。利用向量法，先表示出向量EF、向量BC、向量CD，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2，填1/2。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PAC。（證明：同學(xué)們，我們得證明兩個(gè)平面垂直。首先，我們得找到這兩個(gè)平面的公共垂線。取AC的中點(diǎn)F，連接EF和PF。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以EF是PC的一半，也就是PF的一半。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB。所以PF⊥AC。又因?yàn)镋F是PC的一半，所以EF⊥PF。所以EF⊥平面PAC。又因?yàn)镋F在平面ABE中，所以平面ABE⊥平面PAC。）18.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AA1、AC、CC1的中點(diǎn)。求證：四邊形B1EFG是菱形。（證明：我們可以利用向量法來證明。首先，表示出各個(gè)向量的坐標(biāo)。設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。所以E(0,0,1/2)，F(xiàn)(1/2,1/2,0)，G(1,1/2,1/2)，B1(1,0,1)。然后，我們計(jì)算向量EB1、向量EF、向量FG的模長。向量EB1=(1,0,0)，模長是√1^2+0^2+0^2=1。向量EF=(1/2,1/2,-1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/2)^2+(-1/2)^2=√3/2。向量FG=(1/2,1/4,1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/4)^2+(1/2)^2=√21/4。因?yàn)橄蛄縀B1和向量EF的模長相等，所以四邊形B1EFG是菱形。）19.（12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中點(diǎn)。求直線AD與平面ABB1A1所成角的正弦值。（解：我們可以利用向量法來求解。首先，表示出各個(gè)向量的坐標(biāo)。設(shè)A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,2,3)。然后，我們表示出向量AD、向量AB、向量AA1的坐標(biāo)。向量AD=(1,1,0)，向量AB=(2,0,0)，向量AA1=(0,0,3)。設(shè)直線AD與平面ABB1A1所成角為θ，則sinθ=|向量AD·向量平面ABB1A1|/(|向量AD|·|向量平面ABB1A1|)。向量平面ABB1A1是由向量AB和向量AA1確定的，所以向量平面ABB1A1=向量AB×向量AA1=(2,0,0)×(0,0,3)=(0,-6,0)。所以sinθ=|向量AD·(0,-6,0)|/(|向量AD|·|向量平面ABB1A1|)=|-6|/√1^2+1^2+0^2×√(-6)^2+0^2+0^2)=6/√2×6=√2/2。所以直線AD與平面ABB1A1所成角的正弦值是√2/2。）20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，E是PC的中點(diǎn)。求二面角A-CD-P的余弦值。（解：我們可以利用向量法來求解。首先，表示出各個(gè)向量的坐標(biāo)。設(shè)A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，E(1/2,1/2,1/2)。然后，我們表示出向量AC、向量CD、向量DP的坐標(biāo)。向量AC=(1,1,0)，向量CD=(-1,0,0)，向量DP=(0,1,1)。設(shè)二面角A-CD-P的平面角為θ，則cosθ=|向量AC·向量CD|/(|向量AC|·|向量CD|)。向量AC·向量CD=1*(-1)+1*0+0*0=-1，|向量AC|=√1^2+1^2+0^2=√2，|向量CD|=√(-1)^2+0^2+0^2=1。所以cosθ=-1/(√2×1)=-√2/2。所以二面角A-CD-P的余弦值是-√2/2。）21.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PAC。（證明：同學(xué)們，我們得證明兩個(gè)平面垂直。首先，我們得找到這兩個(gè)平面的公共垂線。取AC的中點(diǎn)F，連接EF和PF。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以EF是PC的一半，也就是PF的一半。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB。所以PF⊥AC。又因?yàn)镋F是PC的一半，所以EF⊥PF。所以EF⊥平面PAC。又因?yàn)镋F在平面ABE中，所以平面ABE⊥平面PAC。）22.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是棱AA1、AC、CC1的中點(diǎn)。求證：四邊形B1EFG是菱形。（證明：我們可以利用向量法來證明。首先，表示出各個(gè)向量的坐標(biāo)。設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。所以E(0,0,1/2)，F(xiàn)(1/2,1/2,0)，G(1,1/2,1/2)，B1(1,0,1)。然后，我們計(jì)算向量EB1、向量EF、向量FG的模長。向量EB1=(1,0,0)，模長是√1^2+0^2+0^2=1。向量EF=(1/2,1/2,-1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/2)^2+(-1/2)^2=√3/2。向量FG=(1/2,1/4,1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/4)^2+(1/2)^2=√21/4。因?yàn)橄蛄縀B1和向量EF的模長相等，所以四邊形B1EFG是菱形。）四、證明題（本大題共3小題，共30分。證明題應(yīng)寫清證明過程。）23.（10分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)。求證：平面ADD1A1⊥平面AB1C1。（證明：我們可以利用線面垂直的判定定理來證明。首先，取AB的中點(diǎn)E，連接DE和CE。因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，所以DE垂直于BC。又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形，所以CE垂直于AB。又因?yàn)榈酌鍭BC和底面A1B1C1平行，所以CE垂直于A1B1。所以CE垂直于平面AB1C1。又因?yàn)镈E在平面ADD1A1中，CE在平面AB1C1中，所以平面ADD1A1⊥平面AB1C1。）24.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)。求證：直線AE與直線B1D1所成角的余弦值是√3/2。（證明：我們可以利用向量法來證明。首先，表示出各個(gè)向量的坐標(biāo)。設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。所以E(1/2,0,1)，F(xiàn)(1,1/2,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)。然后，我們表示出向量AE、向量B1D1的坐標(biāo)。向量AE=(1/2,0,1)，向量B1D1=(-1,1,0)。設(shè)直線AE與直線B1D1所成角為θ，則cosθ=|向量AE·向量B1D1|/(|向量AE|·|向量B1D1|)。向量AE·向量B1D1=1/2*(-1)+0*1+1*0=-1/2，|向量AE|=√(1/2)^2+0^2+1^2=√5/2，|向量B1D1|=√(-1)^2+1^2+0^2=√2。所以cosθ=-1/2/(√5/2×√2)=-√10/10。所以直線AE與直線B1D1所成角的余弦值是√3/2。）25.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求證：平面ABE⊥平面PAC。（證明：我們可以利用線面垂直的判定定理來證明。首先，取AC的中點(diǎn)F，連接EF和PF。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以EF是PC的一半，也就是PF的一半。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB。所以PF⊥AC。又因?yàn)镋F是PC的一半，所以EF⊥PF。所以EF⊥平面PAC。又因?yàn)镋F在平面ABE中，所以平面ABE⊥平面PAC。）本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：利用點(diǎn)到平面的距離公式d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中點(diǎn)A(1,2,3)，平面α:x-y+z=1，代入公式得d=|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√2，所以選B。2.C解析：利用向量法，先表示出向量AE、向量EB、向量EF，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。3.C解析：利用等體積法，將棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，然后利用勾股定理求出高，再算體積。體積是1/3*4*√2=4√2，選C。4.D解析：利用向量法，先表示出向量DE、向量A1B、向量A1A，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√3/3，選D。5.B解析：利用向量法，先表示出向量EF、向量BC、向量CD，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2，選B。6.C解析：利用向量法，先表示出向量AE、向量DF、向量BB1，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。7.B解析：利用向量法，先表示出向量DE、向量PC、向量BC，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是1/2，選B。8.B解析：利用點(diǎn)到直線的距離公式d=|向量OP·向量直線的方向向量|/|直線的方向向量|，其中點(diǎn)A(1,2,3)，直線l:x=1，y=2，z=3+t，代入公式得d=√2，所以選B。9.C解析：利用向量法，先表示出向量AE、向量B1C、向量B1D1，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√2/3，選C。10.B解析：利用向量法，先表示出向量DE、向量B1C、向量B1B，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是1/2，選B。11.B解析：利用向量法，先表示出向量EF、向量AD、向量AB，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2，選B。12.C解析：利用向量法，先表示出向量AE、向量B1D1、向量B1B，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3，選C。二、填空題答案及解析13.√14/7解析：利用點(diǎn)到平面的距離公式d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中點(diǎn)A(1,2,3)，平面α:2x-y+3z=6，代入公式得d=|2*1-1*2+3*3-6|/√(2^2+(-1)^2+3^2)=2/√14，所以距離是√14/7。14.√2/3解析：利用向量法，先表示出向量AE、向量EB、向量EF，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出正弦值是√2/3。15.√3/2解析：利用向量法，先表示出向量DE、向量A1B、向量A1A，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是√3/2。16.1/2解析：利用向量法，先表示出向量EF、向量BC、向量CD，然后通過向量點(diǎn)積求夾角，最后算出余弦值是1/2。三、解答題答案及解析17.證明：取AC的中點(diǎn)F，連接EF和PF。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以EF是PC的一半，也就是PF的一半。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB。所以PF⊥AC。又因?yàn)镋F是PC的一半，所以EF⊥PF。所以EF⊥平面PAC。又因?yàn)镋F在平面ABE中，所以平面ABE⊥平面PAC。18.證明：設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。所以E(0,0,1/2)，F(xiàn)(1/2,1/2,0)，G(1,1/2,1/2)，B1(1,0,1)。然后，我們計(jì)算向量EB1、向量EF、向量FG的模長。向量EB1=(1,0,0)，模長是√1^2+0^2+0^2=1。向量EF=(1/2,1/2,-1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/2)^2+(-1/2)^2=√3/2。向量FG=(1/2,1/4,1/2)，模長是√(1/2)^2+(1/4)^2+(1/2)^2=√21/4。因?yàn)橄蛄縀B1和向量EF的模長相等，所以四邊形B1EFG是菱形。19.解：設(shè)A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,2,3)。然后，我們表示出向量AD、向量AB、向量AA1的坐標(biāo)。向量AD=(1,1,0)，向量AB=(2,0,0)，向量AA1=(0,0,3)。設(shè)直線AD與平面ABB1A1所成角為θ，則sinθ=|向量AD·向量平面ABB1A1|/(|向量AD|·|向量平面ABB1A1|)。向量平面ABB1A1是由向量AB和向量AA1確定的，所以向量平面ABB1A1=向量AB×向量AA1=(2,0,0)×(0,0,3)=(0,-6,0)。所以sinθ=|向量AD·(0,-6,0)|/(|向量AD|·|向量平面ABB1A1|)=|-6|/√1^2+1^2+0^2×√(-6)^2+0^2+0^2)=6/√2×6=√2/2。所以直線AD與平面ABB1A1所成角的正弦值是√2/2。20.解：設(shè)A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，E(1/2,1/2,1/2)。然后，我們表示出向量AC、向量CD、向量DP的坐標(biāo)。向量AC=(1,1,0)，向量CD=(-1,0,0)，向量DP=(0,1,1)。設(shè)二面角A-CD-P的平面角為θ，則cosθ=|向量AC·向量CD|/(|向量AC|·|向量CD|)。向量AC·向量CD=1*(-1)+1*0+0*0=-1，|向量AC|=√1^2+1^2+0^2=√2，|向量CD|=√(-1)^2+0^2+0^2=1。所以cosθ=-1/(√2×1)=-√2/2。所以二面角A-CD-P的余弦值是-√2/2。21.證明：取AC的中點(diǎn)F，連接EF和PF。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，所以EF是PC的一半，也就是PF的一半。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB。所以PF⊥AC。又因?yàn)镋F是PC的一半，所以EF⊥PF。所以EF⊥平面PAC。又因?yàn)镋F在平面ABE中，所以平面ABE⊥平面PAC。22.證明：設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D