2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何幾何關(guān)系解析與突破模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+3z=0的距離等于（）A.2B.√14/7C.3D.√7/32.已知直線l：x=2y-1與平面β：x+y+z=1相交，則直線l在平面β上的投影方程是（）A.x=2y-1B.x-y=1C.x+y=3D.2x-y=13.設(shè)直線l1：x-2y+1=0與直線l2：2x+y-3=0的夾角為θ，則θ的值為（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，則直線EF與平面BB1C1C所成的角的正弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.15.已知點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），則三角形ABC的面積為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/26.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）到直線l：x=y=z的distance等于（）A.√3B.√6C.√9D.√157.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0的夾角為φ，則φ的余弦值等于（）A.1/√3B.1/√6C.1/√2D.1/√58.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱A1D1的中點(diǎn)，則直線EF與直線BC所成的角的余弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.19.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（2，3，4），C（3，4，5），則向量AB與向量AC的夾角的余弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.110.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距離等于（）A.2B.√6/3C.√3D.√7/311.已知直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1的夾角為θ，則θ的值為（）A.45°B.60°C.90°D.120°12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，則直線EF與直線DD1所成的角的正弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=y=z的距離等于__________。14.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0的夾角的正弦值等于__________。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱A1D1的中點(diǎn)，則直線EF與直線BC所成的角的正切值等于__________。16.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（2，3，4），C（3，4，5），則向量AB與向量AC的夾角的余弦值的平方等于__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2），求三角形ABC的面積。18.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0相交，求它們的交線方程。19.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，求直線EF的方程。20.已知直線l：x=2y-1與平面β：x+y+z=1相交，求直線l在平面β上的投影方程。21.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）到直線l：x=y=z的距離等于多少？請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。22.已知點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），求向量AB與向量AC的夾角的余弦值。請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。四、證明題（本大題共2小題，共30分。請(qǐng)寫出證明過(guò)程。）23.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（3，2，1），點(diǎn)C（2，1，2），證明三角形ABC是一個(gè)等腰三角形。24.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，證明直線EF與平面BB1C1C所成的角是一個(gè)銳角。五、應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分。請(qǐng)結(jié)合實(shí)際情境進(jìn)行解答。）25.在一個(gè)三維空間中，有一個(gè)物體ABC，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1，2），求這個(gè)物體的體積。26.在一個(gè)工廠中，有一個(gè)正方體箱子，棱長(zhǎng)為2米，箱子的一個(gè)頂點(diǎn)是原點(diǎn)，求箱子對(duì)角線的長(zhǎng)度。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-2y+3z=0的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入A（1，2，3）得d=|1*1-2*2+3*3+0|/√(1^2+(-2)^2+3^2)=|1-4+9|/√14=6/√14=√7/3。2.答案：C解析：直線l：x=2y-1與平面β：x+y+z=1相交，投影在平面β上，只需考慮平面β的法向量與l的方向向量的關(guān)系。l的方向向量為（1，-2，0），β的法向量為（1，1，1），投影方向向量為l的方向向量減去其在法向量上的投影，計(jì)算得投影方程為x+y=3。3.答案：B解析：直線l1：x-2y+1=0的斜率為1/2，l2：2x+y-3=0的斜率為-2，兩直線夾角θ滿足tanθ=|1/2-(-2)|/(1+1/2*(-2))=3/0，夾角為90°，但題目問(wèn)的是夾角的度數(shù)，應(yīng)為45°。4.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，EF在平面BB1C1C上的投影為EF在BC上的投影，計(jì)算得sinθ=1/2。5.答案：C解析：三角形ABC的面積公式為S=1/2|AB×AC|，計(jì)算得S=√3/2。6.答案：B解析：點(diǎn)P（1，2，3）到直線l：x=y=z的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入得d=√6。7.答案：B解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0的夾角φ滿足cosφ=|1*2+1*(-1)+1*3|/√(1^2+1^2+1^2)√(2^2+(-1)^2+3^2)=√6/6，余弦值為√6/6。8.答案：A解析：正方體中，EF與BC所成的角即為EF與BC的夾角，計(jì)算得cosθ=1/2。9.答案：C解析：向量AB（1，1，1），向量AC（2，2，2），夾角余弦值為cosθ=|1*2+1*2+1*2|/√(1^2+1^2+1^2)√(2^2+2^2+2^2)=√3/2。10.答案：B解析：點(diǎn)P（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距離公式為d=|2*1+1*2+3*3+(-1)|/√(2^2+1^2+1^2)=√6/3。11.答案：A解析：直線l1：x+y=1的斜率為-1，l2：x-y=1的斜率為1，夾角θ滿足tanθ=|(-1)-1|/(1+(-1)*1)=2/0，夾角為45°。12.答案：D解析：正方體中，EF與DD1所成的角即為EF與DD1的夾角，計(jì)算得sinθ=1。二、填空題答案及解析13.答案：√6/2解析：點(diǎn)P（1，2，3）到直線l：x=y=z的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入得d=√6/2。14.答案：√30/10解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0的夾角φ滿足cosφ=|1*2+1*(-1)+1*3|/√(1^2+1^2+1^2)√(2^2+(-1)^2+3^2)=√30/10。15.答案：√2/2解析：正方體中，EF與BC所成的角即為EF與BC的夾角，計(jì)算得tanθ=√2/2。16.答案：3/4解析：向量AB（1，1，1），向量AC（2，2，2），夾角余弦值的平方為cos^2θ=(1*2+1*2+1*2)^2/(√(1^2+1^2+1^2)^2√(2^2+2^2+2^2)^2)=3/4。三、解答題答案及解析17.答案：√3/2解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），向量AB×AC的模為√(2^2+0^2+(-2)^2)√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=√8√3=√24=2√6，三角形面積為1/2*2√6=√6，√6/2=√3/2。18.答案：x-y=1解析：平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+3z=0相交，聯(lián)立方程得x-y=1。19.答案：x=1/2，y=1/2，z=1解析：正方體中，E為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，EF的坐標(biāo)為(1/2,1/2,1)。20.答案：x=2y-1解析：直線l：x=2y-1與平面β：x+y+z=1相交，投影在平面β上，只需考慮平面β的法向量與l的方向向量的關(guān)系。l的方向向量為（1，-2，0），β的法向量為（1，1，1），投影方向向量為l的方向向量減去其在法向量上的投影，計(jì)算得投影方程為x=2y-1。21.答案：√6/2解析：點(diǎn)P（1，2，3）到直線l：x=y=z的距離公式為d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)，代入得d=√6/2。22.答案：1/2解析：向量AB（1，1，1），向量AC（1，-1，-1），夾角余弦值為cosθ=|1*1+1*(-1)+1*(-1)|/√(1^2+1^2+1^2)√(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=1/2。四、證明題答案及解析23.證明：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），向量AB