第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家.為掌握各類超市的營業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本容量為20的樣本，則抽取中型超市的數(shù)量為(

)A.12 B.6 C.4 D.22.已知A(?1,?1)，B(x,3)，C(2,5)三點共線，則x=(

)A.1 B.3 C.?1 D.?23.已知z?i=1+3i3?i，則z的虛部為(

)A.?1 B.1 C.?2 D.24.已知直線a，b與平面α，β，則能使α⊥β的充分條件是(

)A.a⊥α，b⊥β，a/?/b B.a?α，b?β，a⊥b

C.a/?/b，a⊥β，b?α D.α∩β=a，b⊥a，b?β5.柜子里有3雙不同的手套，現(xiàn)從中隨機地取出2只.若A表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一雙手套”，B表示事件“取出的手套都是右手的”，C表示事件“取出的手套不成雙”，則(

)A.P(C)=P(A)+P(B) B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(A∪C)=P(A)+P(C)6.已知e1，e2是兩個垂直的單位向量.若a=e1?e2，b=2e1A.110 B.22 C.7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=π3，c=2，且a?1=3cosCA.6+24 B.28.一個棱長為6的正方體紙盒內(nèi)有一個正四面體，若正四面體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正四面體體積的最大值為(

)A.26 B.66 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，在圓錐PO中，AB=4,PB=BC=22，點E為線段PB上的動點，則(

)A.PO=3

B.圓錐PO的側(cè)面積為42π

C.直線PA與BC所成角為π3

D.當(dāng)E為線段PB中點時，直線CE與平面PAB所成角的正弦值最大

10.已知復(fù)數(shù)z1A.z1+z2?=z1?11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=120°,BA在BC上的投影向量為?34BCA.a=23c B.tanA=34三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，記B?為事件B的對立事件，若P(A)=0.8，P(B?)=0.6，且A與B相互獨立，則P(A+B)=13.如圖，小明為了測量河對岸的塔高AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測得∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠BDC=135°，CD=102，則塔高AB=______．14.如圖，在棱長均為4的正四棱錐V?ABCD中，VEVC=14，若過點E且垂直于棱VC的平面分別交棱VB，AB，AD，VD于點F，G，H，I，則五邊形四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

2025年春節(jié)期間國產(chǎn)動漫電影《哪吒之魔童鬧?！坊鸨澜?，引起人們對中國動漫產(chǎn)業(yè)的關(guān)注.為了解中國動漫市場受市場群體關(guān)注的年齡(單位：歲)占比情況，某電影院調(diào)查了某天觀看中國動漫系列電影的觀眾年齡情況，并按年齡進行適當(dāng)分組(每組為左閉右開的區(qū)間)，得到頻率分布直方圖如圖所示(同一組的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表)．

(1)求a的值；

(2)求該樣本的平均數(shù)x?和中位數(shù)y．16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=π3．

(1)若a=13，且△ABC的面積為33，求b+c；

(2)若b=4，c=3，∠BAC的平分線交BC17.(本小題15分)

某商店舉行促銷抽獎活動，在一個不透明袋子中放有6個大小質(zhì)地完全相同的球，其中m(m∈{2,3,4,5})個為紅球，其余均為白球，現(xiàn)從中不放回地依次隨機摸出2個球，若取到的兩個球同色，則稱為中獎，可以領(lǐng)取一張優(yōu)惠券；若取到的兩個球不同色，則稱為不中獎.一次抽獎結(jié)束后，取出的球放回袋子中，供下一位顧客抽獎(每位顧客只有一次抽獎機會)．

(1)若m=2，求一次抽獎中獎的概率；

(2)若要求一次抽獎中獎的概率最?。?/p>

(i)求m；

(ii)求兩位顧客抽獎至少有一位顧客中獎的概率．18.(本小題17分)

(用坐標(biāo)法不給分)已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1所有棱長均為2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π3．

(1)求證：平面A1ACC1⊥平面ABCD19.(本小題17分)

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，AM=xAB(0<x<1)，AN=yAC(0<y<1)，設(shè)CM與BN交于點P，且CP=2PM．

(1)求2xy?3y的值；

(2)定義平面非零向量之間的一種運算“⊕”：a⊕b=|a|sinθ|b|(其中θ是兩非零向量a和b的夾角)．

(i)

參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.D

8.C

9.BCD

10.ACD

11.AB

12.0.88

13.5+514.515.(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，10×0.01+10a+10×0.035+10×0.02+10×0.004+10×0.001=1，所以a=0.030；

(2)x?=(10×0.01+20×0.03+30×0.035+40×0.02+50×0.004+60×0.001)×10=28.1，

前兩個矩形面積之和為10×(0.01+0.03)=0.4，

前三個矩形面積之和為0.4+10×0.035=0.75，所以y∈(25,35)，

由中位數(shù)的定義可得0.4+(y?25)×0.035=0.5，解得y=195716.(1)因為A=π3，且△ABC的面積為33，

所以S=12bcsinA=12bc×32=33，所以bc=12，

由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA=(b+c)2?3bc，

所以(b+c)2=17.(1)記這2個紅球的編號為1，2，4個白球的編號為3，4，5，6，

所以樣本空間Ω={(m,n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n}，共有30個樣本點，

設(shè)事件A=“一次抽獎中獎”，

所以A={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(4,6)，(6,4)，(5,6)，(6,5)}，

所以n(A)=14，則p(A)=n(A)n(Ω)=1430=715；

(2)(i)當(dāng)m∈{2,3,4}時，P(A)=n(A)n(Ω)=m(m?1)+(6?m)(5?m)30=m2?6m+1515，

所以m=3時，P(A)min=25，

當(dāng)m=5時，18.(1)證明：如圖，設(shè)BD與AC交于O點，連接A1O，

在菱形ABCD中，BD⊥AC，O為BD中點，

易知△A1AB≌△A1AD，

所以A1B=A1D，

所以△A1BD為等腰三角形，則A1O⊥BD，

又因為AC∩A1O=O，AC?平面AA1CC1，A1C?平面AA1CC1，

所以BD⊥平面A1ACC1，

因為BD?平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD．

(2)證明：連接B1D1，易知BD//B1D1，

因為BD?平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，

所以BD//平面A1B1C1D1，

因為平面BDC1∩平面A1B1C1D1=1，

所以BD//l，

因為l?平面A1BD，BD?平面A1BD，

所以l//平面A1BD；

(3)由題意知，則BD=2，

設(shè)．A1C1∩B1D1=O1，連接OO1，由(1)19.解：(1)因為CP=2PM，所以AP=13AC+23AM，

又因為